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二次函数专题合刊(图象性质实际应用)

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《二次函数》专题合刊 专题一 求二次函数的解析式 1.二次函数 y ? x ? bx ? c 的图象过点 A(-2,5) ,且当 x ? 2 时, y ? ?3 ,求这个二次函数的解析 式. 2 2.抛物线 y ? ax ? bx ? c 过点(0,4) , (1,3) , (-1,4)三点,求抛物线的解析式. 2 3.抛物线 y ? ax ? bx ? c 的顶点为(2,4) ,且过点(1,2)点,求抛物线的解析式. 2 4.抛物线过(-1,-1)点,它的对称轴是直线 x ? ?2 ,且在 x 轴上截得线段的长度为 2 2 ,求抛物 线的解析式. 5.把抛物线 y ? ? x ? 1? 沿 y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点 Q(3,0) ,求平移后的抛物线的解 2 析式. 6.如图所示,已知直线 y ? ?2 x ? 2 分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B,以线段 AB 为直角边在第一象限内 作等腰 Rt△ABC,∠BAC=90°,过 C 作 CD⊥x 轴,D 为垂足,求过 B、A、C 三点的抛物线的解析式. 《二次函数》专题二 ------二次函数的实际应用 1.一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图 1) ,拱高 6m,跨度 20 m ,相邻两支柱间的距离均为 5m. (1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图 2) ,求抛物线的解析式; (2)求支柱 EF 的长度; (3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽 2m 的隔离带) ,其中的一条行车道能否并排行驶宽 2m、高 3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说明你的理由. 2.如图,足球场上守门员在 O 处开出一高球,球从离地面 1 米的 A 处飞出(A 在 y 轴上) ,运动员乙在 距 O 点 6 米的 B 处发现球在自己头的正上方达到最高点 M, 距地面约 4 米高, 球落地后又一次弹起. 据 实验测算,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一 半. (1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式. (2)足球第一次落地点 C 距守门员多少米?(取 4 3 =7) (3)运动员乙要抢到第二个落点 D,他应再向前跑多少米?(取 2 6 =5) 3.观察图 1 至图 5 中的小黑点的摆放规律,并按照这样的规律继续摆放.记第 n 个图中小黑点的个数 为 y. 解答下列问题: (1)填表: n y 1 1 2 3 3 7 4 13 5 … … (2)当 n=8 时,y=_____________; (3)根据上表中的数据,把 n 作为横坐标,把 y 作为纵坐标,在下图的平面直角坐标系中描出相应的 各点(n,y) ,其中 1≤n≤5; (4)请你猜一猜上述各点会在某一函数的图象上吗?如果在某一函数的图象上,请写出该函数的解析 式. 4. (2012 达州市)问题背景:若矩形的周长为 1,则可求出该矩形面积的最大值,我们可 以设矩形的一 边长为 x,面积为 s,则 s 与 x 的函数关系式为: s ? ? x ? 2 1 ,利用函数的图象或通过配方均 x (x>0) 2 可求得该函数的最大值. 提出新问题 若矩形的面积为 1,则该矩形的周长有无最大值或最小值?若有,最大(小)值是多少? 分析问题 1? ? 若设该矩形的一边长为 x,周长为 y,则 y 与 x 的函数关系式为: y ? 2 ? x ? ? (x>0) ,问题就转 x? ? 化为研究该函数的最大(小)值了. 解决问题 1? ? 借鉴我们已有的研究函数的经验,探索函数 y ? 2 ? x ? ? (x>0)的最大(小)值. x? ? (1)实践操作:填写下表,并用描点法画出函数 1? ? y ? 2 ? x ? ? (x>0)的图象: x? ? x y · · · 1 4 1 3 1 2 1 2 3 4 · · · 1? ? (2) 观察猜想: 观察该函数的图象, 猜想当 x=_________时, 函数 y ? 2 ? x ? ?(x>0) 有 最____值 (填 x? ? “大”或“小”) ,是__________. (3)推理论证 :问题背景中提到,通过配方可求二次函数 s ? ? x ? 2 1 x (x>0)的最 大值,请你尝试 2 1? ? 通过配方求函数 y ? 2 ? x ? ?(x>0) 的最大 (小) 值, 以证明你的猜想. 〔提示: 当 x >0 时,x ? x? ? ? x? 〕 2 5.通过实验研究,专家们发现:初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的, 讲课开始时,学生的兴趣激增,中间有一段时间的兴趣保持平稳状态,随后开始分散.学生注意力指标 数 y 随时间 x(分钟)变化的函数图象如图所示(y 越大表示注意力越集中) .当 0≤x≤10 时,图象是抛 物线的一部分,当 10≤x≤20 和 20≤x≤40 时,图象是线段. (1)当 0≤x≤10 时,求注意力指标数 y 与时间 x 的函数关系式; (2)一道数学综合题,需要讲解 24 分钟.问老师能否经过适当安排,使学生听这道题时,注意力的指 标数都不低于 36. 6.如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=5,BC=10,F 为 AD 的中点,CE⊥AB 于点 E,设∠ABC= ? (60°≤ ? ≤90°) . (1)当 ? =60°时,求 CE 的长; (2)当 60°< ? <90°时, ①是否存在正整数 k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由. ②连接 CF,当 CE ? CF 取最大值时,求 BE 的长度. 2 2 《二次函数》专题三 ------二次函数与几何的小综合 (1)二次函数与面积 1.如图,抛物线 y ? x ? 1 3 2 2 x ? 1 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,在 x

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