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长沙市一中教案

时间:2011-03-01


长沙市第一中学高二数学备课组

椭圆的简单几何性质( 椭圆的简单几何性质(三)
教学目的: 教学目的: 1、 通过例题让学生学会确定直线与二次曲线的各种关系; 2、 通过例题让学生学会求弦长。 重点与难点 重点: 重点:直线与二次曲线的各种关系及求弦长 难点: 难点:把几何问题代数化,用代数运算来解决几何问题 教学过程 复习引入 一.复习引入 问题 1:完成下列填空: :完成下列填空:

x2 y2 1. 椭圆 + = 1的准线方程为 169 25 2. 椭圆 x2 y2 + = 1两准线之间的距离为 9 10 .

.

1 3. 中心在原点,准线方程 y = ±4,离心率为 的椭圆方程为 中心在原点, 2
二.例题讲解 例 1:教材 P47 面例 7。 问题 2:直线与椭圆是否有交点?怎样判断? :直线与椭圆是否有交点?怎样判断? 例 2.已知椭圆的两个焦点为 F1 ( ? 3 ,0) , F2 ( 3 ,0) ,离心率为 e = (1)求椭圆的方程;

.

3 。 2

(2)设直线 l : y = x + m ,若 l 与椭圆交于 P、Q 两点,且∣PQ∣等于椭圆的短轴长,求 m 的值。 问题 3:直线与椭圆相交时怎么求弦长? :直线与椭圆相交时怎么求弦长? 练习:P48 面第 7 题。此题是求焦点弦长,你还有其它方法吗? 例 3. 已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方 形,两准线间的距离为 l。 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)直线 l 过点 P(0,2)且与椭圆相交于 A、B 两点,当ΔAOB 面积取得最大值时,求直线 l 的方程。 解:设椭圆方程为

x2 y2 + = 1(a > b > c) a2 b2

?b = c ?a 2 = 2 ? 2 ? x2 ? 2a (Ⅰ)由已知得 ? =4 ? ?b 2 = 1 ∴所求椭圆方程为 + y 2 = 1 。 2 ? c ?c 2 = 1 2 2 2 ? ?a = b + c ?
(Ⅱ)解法一:由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y = kx + 2, A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 )

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? y = kx + 2 ? 由 ? x2 ,消去 y 得关于 x 的方程: (1 + 2k 2 ) x 2 + 8kx + 6 = 0 , 2 ? + y =1 ?2
由直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,∴ > 0 ? 64k 2 ? 24(1 + 2k 2 ) > 0 ,解得 k >
2

3 。 2

8k ? ? x1 + x2 = ? 1 + 2k 2 ? 又由韦达定理得 ? , ?x ? x = 6 ? 1 2 1 + 2k 2 ?

∴| AB |= 1 + k 2 | x1 ? x2 |= 1 + k 2 ( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 =
原点 O 到直线 l 的距离 d =

1+ k 2 16k 2 ? 24 。 2 1 + 2k

2 1+ k 2



QS

AOB

=

1 16k 2 ? 24 2 2 2k 2 ? 3 | AB | ?d = = . 2 1 + 2k 2 1 + 2k 2 16k 2 ? 24 两边平方整理得: 1 + 2k 2

解法 1:对 S =

4 S 2 k 4 + 4( S 2 ? 4)k 2 + S 2 + 24 = 0 (*) ,

? ?16( S 2 ? 4) 2 ? 4 × 4 S 2 ( S 2 + 24) ≥ 0, ? 2 1 ?4 ? S 2 ∵S ≠ 0,? ,整理得: S ≤ 。 >0 2 2 ? S 2 ? S + 24 >0 ? ? 4S 2
又 S > 0 , ∴0 < S ≤

2 ,从而 S 2
4 2

AOB

的最大值为 S =

2 , 2
14 。 2

此时代入方程(*)得 4k ? 28k + 49 = 0 ,∴ k = ± 所以,所求直线方程为: ± 14 x ? 2 y + 4 = 0 。 解法 2:令 m =

2k 2 ? 3(m > 0) ,则 2k 2 = m 2 + 3 。

∴S =

2 2m 2 2 2 = ≤ 2 2 m +4 m+ 4 m

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当且仅当 m =

4 2 14 即 m = 2 时, S max = ,此时 k = ± 。 m 2 2

所以,所求直线方程为 ± 14 x ? 2 y + 4 = 0 三.课堂小结: 课堂小结: 1.直线与椭圆的位置关系的判断; 2.直线与椭圆相交时弦长的求法; 3.过焦点的弦长的求法。 后作业: 四.课后作业: 《学案》P42 面双基训练


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