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高二数列极限测试练习(附 答案)

时间:2012-08-30


………………………………密…………………………………封……………………………线…………………………

2011 年高二数学 测试试卷
一. 填空题( 4 ? ? 13 ? 52 ? )

数列与极限
10.10

学号____________

1. 等差数列 ? a n ? , a 2 ? 4 , a 6 ? 1 6 ,则通项公式 a n ? ____________________. 2. 数列 ? a n ? , a1 ? 1, a 2 ? 3 , a n ? 1 ?
n ?1 n

an ? an?2 a n ?1

,则通项公式 a n ? ________________.

3. 计算: lim

3

?4

n

n? ?

3 ?4
?

n ?1

? ____________.

姓名___________

4. 计算: lim ? n? ?

?2 ?n

2 1 ? 3n ? ? __________; 2 ? 1? n ?

5. 计算: lim

1? 2 ? 3?? ? n 2n ? 1
2

n? ?

? __________.

班级____________

?? 6. 无限循环小数 0.123 化为分数是_________________.

7. 若 lim ?1 ? ?
n? ?

? ? ?

?1? a ? ? ? a ?

n

? ? ? 1 ,则 a 的取值范围是___________. ? ?

8. 等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 S 1 0 ? 1 0 , S 2 0 ? 3 0 ,则 S 3 0 ?
2
*

.

9. 数列 ? a n ? 的前 n 项和 S n ? n ? 1 ( n ? N ) ,则通项公式 a n ? ______________. 10. 数列 ? a n ? 的通项公式是 a n ?
1 n ? n ? 1?

前 ? n ? N ? , n 项的和为
*

10 11

, 则项数 n ? ______.

11. 若数列 ?a n ? 中, a 1 ?

1 3

,且对任意的正整数 p , q 都有 a p ? q ? a p a q ,则 .
1?1

a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2n ? ? ?

12. 观察下列等式:

1 ? 4 ? ? ?1 ? 2 ?
1? 4 ? 9 ? 1? 2 ? 3

1 ? 4 ? 9 ? 1 6 ? ? ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ?

可以猜测第 n 个等式为



1

13. 已知 f ? x ? 是定义域为正整数集的函数,具有如下性质:对于定义域内任意的 k ,如果
f ?k ? ? 1 k ?1

成立, f ? k ? 1 ? ? 则
1 5 1 6

1 k ?2

成立.那么下列命题正确的是



①若 f ? 4 ? ? ②若 f ? 5 ? ?

成立,则对于任意 k ? 5 ,均有 f ? k ? ?

1 k ?1

成立

成立,则对于任意 1 ? k ? 4 ,均有 f ? k ? ?

1 k ?1 1

成立

③若 f ? 6 ? ? 1 成立,则对于任意的 1 ? k ? 5 ,均有 f ? k ? ?
二. 解答题 (满分 48 ? 分)

k ?1

成立

14. (满分 14 分)已知等差数列 ? a n ? 中, a 4 ? 1 4 ,前 10 项和 S 10 ? 185 ,求: (1)求 a n ; (2)将 ? a n ? 中的第 2 项,第 4 项,第 8 项,…,第 2 项,即依次取出第 2 项,按原来
n
n

的顺序排成一个新数列,求此数列的前 n 项和 G n . 解:

15. (满分 14 分)已知 a n ?

1

?n ? 2?

2

(n ? N ) ,
*

记 An ? ? 1 ? a1 ? ? 1 ? a 2 ? ? 1 ? a 3 ? ? ? 1 ? a n ? . (1)计算 A1 , A2 , A3 , A4 ; (2)猜想 A n 表达式; (3)证明(2)结论.

2

16. (满分 20 分)如图, P1 是一块半径为 1 的半圆形纸板,在 P1 的左下端剪去一个半径为
1 2

的半圆得到图形 P2 ,然后依次剪去一个更小的半圆(其直径是前一个被剪掉半圆的半

径)可得图形 P3 , P4 , ? , Pn , ? ,记纸板 Pn 的面积为 S n . (1) 试求 S 1 , S 2 , S 3 ; (2) 试写出 S n ? n ? 2 ? ; (3) 求 lim S n .
n? ?

解:

(附加题) 17.(满分 20 分)已知正项数列 ? a n ? , a1 ?
1 2

,且 a n ? 1 ?

2an an ? 2

(*)

(1) 求证: ?

? 1 ? ? 是等差数列,并求 ? a n ? 的通项公式; ? an ?
1

(2) 数列 ? b n ? 满足 b n ? e

a

n

, m b1b 2 ? b m ? m ? N , m ? 2 ? 仍是 ? b n ? 中的项, m 在 若 求

区间 ? 2, 2 0 0 6 ? 中所有可能值之和 S ; (3) 若将上述递推关系(*)改为: a n ? 1 ? 试求满足要求的实数 p 取值范围. 解:
2an an ? 2

,且数列 ? n a n ? 中任意项 n a n ? p ,

3

数列与极限测试试卷
1. 3 n ? 2 2. 3
n ?1

(答案)
1 4
61 495
1 8

10.10

3. ? 4
? 2 ? ?2n ? 1 ?

4. ? 3

5.

6.

7. a ?

1 2

8. 7 0

9. a n ? ?
n ?1 2

? n ? 1? ?n ? 2?

10. 10

11.

12. 1 ? 4 ? 9 ? 1 6 ? ? ? ? ? 1 ? 14. (满分 14 分)
?a4 ? 14 解: (1)由 ? ∴ ? S10 ? 1 8 5

n ? ? ? 1?

n ?1

?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?

13.

① ③

? a1 ? 3 d ? 1 4 , ? ? 1 ? ?1 0a 1 ? ? 1 0 ?9 d9 ? ? 2
n

? a1 ? 5 ? 1 8 5?,d ? 3

? a n ? 3n ? 2

(2)设新数列为{ b n },由已知得 b n ? 3 ? 2 ? 2
? Gn ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
1 2 3 n

? ? 2n ? 6 ? 2

n

? 1? ? 2 n ? 3 ? 2

n ?1

? 2 n ? 6 , ( n ? N *)

15. (满分 14 分) 解:(1) A1 ?
8 9 8 9 A2 ? 5 6 5 6 A3 ? 4 5 A3 ? A4 ? 7 9 12 15 A4 ? 7 9 ? 14 18

(2) A1 ?

A2 ?

?

10 12

4 5

?

猜测 A n ?

2n ? 6 3n ? 6

(3)1? 当 n ? 1 时 显然已计算成立; 2? 假设当 n ? k ( k ? N )时
*

Ak ?

2k ? 6 3k ? 6

则当 n ? k ? 1 时
Ak ?1 ? ?1 ? a1 ? ?1 ? a 2 ? ? ?1 ? a k ? 2k ? 6 ? 1 ? ?1 ? 2 ? 3k ? 6 ?k ? 3? ? 2?k ? 4? 3 ?k ? 3? ?

? ?1 ? a k ?1 ?

? 2 ?k ? 3? ?k ? 4? ?k ? 2? ? ?? 2 ? 3?k ? 2? ? k ? 3? ?

?

2 ? k ? 1? ? 6 3 ? k ? 1? ? 6

等式成立 所以,由 1? 2?对所有 n ? N , A n ?
*

2n ? 6 3n ? 6

4

16.(满分 20 分) 解: (1) S 1 ? (2)
Sn ?

?
2

?1 ?
2

?
2

S2 ?

?
2

?

? ?1?

2

? ? ? 2 ?2? 8

3?

2 ? 1 ? ? 1 1? S3 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 2 2 ?? 2 ? 32 ?4? ? ? ?

?

2 ? ?? 1 ?

?
2

?

2 ? ?? 1 ?

2 2 2 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? n ?1 ? ? ?? ? 2 ?? 2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ? ? ? ? 2 3 n ?1

?n ? 2?

?1? ?1? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 2 ?4 ? 4 ? ?4? ?4? ?
1

?

? ?1

? ? ? ?

(3) lim S n ? ?
n? ?

?
2

?

?
2

4 1? 1 4

?

?
2

?

?
6

?

?
3

17. 解: (1) a n ? 1 ?

2an an ? 2

?

1 a n ?1

?

1 an

?

1 2



1 a n ?1

?

1 an

?

1 2
3 2 ? an ? 2 n?3
m ?1 4 m?7

? 1 ? 1 1 ? 2 ? ? 是以 为公差的等差数列,且 2 a1 ? an ?
1 n?3



1 an

?

1 2

n?

(2) b n ? e

an

?e

2

m

b1 b 2 ? b m ? e

1? 1 1 1 ? ? ?? ? ? ? m ? a1 a 2 am ?

?e
n?3

m ? m ?1? 1 ? 1? ?2m? ? m? 2 2? ? ?

?e

2?

?e

4

m?7

设 m b1b 2 ? b m 是 ? b n ? 中的第 n 项, 则 e

4

?e

2

? m ? 2n ? 1 ? 2 ? m ? 2006 ?

? 2 ? m ? 2 0 0 6 ? S ? 3 ? 5 ? ? ? 2005 ? 1006008
a n ?1 ? 2an an ? 2 ? 1 a n ?1 ? 1 an ? 1 2 1 a n ?1 ? 1 an ? 1 2

(3)



?

? 1 ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? 1 n ?1 n?3 ?? ? ? ? ? ?2? ??? ??? ? ? ?? an 2 2 ? a 2 a1 ? a1 ? a n a n ?1 ? ? a n ?1 a n ? 2 ? 1

? an ?

2 n?3

? nan ?

2n n?3

? 2?

?6 n?3

? 2

所以满足要求的实数 p 取值范围是 p ? 2 .

5


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