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高考数学复习建议p[1]

时间:2010-09-22


高考

复习建议
华中师大一附中 罗道珍

第一部分 两年来高考试题的特点
(一)近两年来数学试题难度加大,综合性增强.
例如2006年高考题的第21题
1 ? x ax 已知函数 f ( x) ? 1 ? x e .

(Ⅰ)设 a ? 0 ,讨论 y ? f ( x) 的单调性;

(Ⅱ)若对任意的 x ? (0,1) 恒有 f ( x) ? 1 ,求 a 的取值范围。
这就是一道涉及函数的导数,函数的性质,解不等式等 知识点的综合题

(二). 函数、数列、不等式、圆锥曲线、直线与 平面等内容仍是近两数学试题的重点和难点.

函数、数列、不等式、概率、圆锥曲线、直线
与平面等内容是中学数学的骨干内容,是学习高等数

学的基础. 近年的考题都是把这方面的作为考查的
重点、难点. 把关题也是在这些知识的交汇点上设 计的,重要的数学思想也是通过这些综合题解答过程

体现出来的.

(三). 传统高等数学的题目增多.
例如2006 年试题中,以传统的高等数学内容为主的就有4题, 其中第18题是

A、B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对 比试验。每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只 服用B,然后观察疗效。若在一个试验组中,服用A有效的小 白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲类组。设每 2 1 只小白鼠服用A有效的概率为 ,服用B有效的概率为 . 3 2 (Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率;
(Ⅱ)观察3个试验组,用 ? 表示这3个试验组中甲类组的个

数,求 ? 的分布列和数学期望。

(四).重视向量的应用.

向量在数学,物理中都有重要的地位.向量与其他知识的有机

结合,丰富了数学试题的内容和形式.特别是向量的坐标运算,使
用代数方法解决几何问题的过程更加简便,更适用.

向量作为一种数学工具,与三角函数,解析几何,立体几何 有机结合使数学试题更加简捷、科学. 解决数学问题又多了 一种有力的武器.

第二部分

高考复习的建议

一.认真学习高考大纲,明确高考的要求和高考试题 的特点.
1.知识要求

对知识的要求依次是了解、理解和掌握、灵活和综合运用 三个层次. (1)了解:要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识, 知道这一知识内容是什么,按照一定的程序和步骤照样模仿, 并能(或会)在有关的问题中识别和认识它.
这一层次所涉及的主要行为动词有:了解,知道、识 别,模仿,会求、会解等.

(2)理解和掌握:要求对所列知识内容有较深刻的理性 认识,知道知识间的逻辑关系,能够对所列知识作正确的描 述说明,用数学语言表达,利用所学的知识内容对有关问题 作比较、判别、讨论,有利用所学知识解决简单问题的能力.

这一层次所涉及的主要行为动词有:描述,说明,表达, 推测、想像,比较、掌握、判别,初步应用等.
(3)灵活和综合运用:要求系统地掌握知识的内在联系,

利用所学知识对问题能够进行分析、研究,并能解决较为复 杂的或综合性的问题.
这一层次所涉及的主要行为动词有:分析,推导、证 明,研究、讨论、运用、解决问题等.

2.能力要求 (1)思维能力 会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与 概括;会用类比、归纳和演绎进行推理,能合乎逻辑地、准确地 进行表述. (2)运算能力:会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据 处理,能根据问题的条件,寻找与设计合理、简捷的运算途径; 能根据要求对数据进行估计和近似计算. 运算求解能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数 字的计算、估值和近似计算,对式子的组合变形与分解变形, 对几何图形各几何量的计算求解等.运算能力包括分析运算条件 、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程 中的思维能力,也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算 的能力.

(3) 空间想像能力:能根据条件作出正确的图形,根据图形想 像出直观形象;能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系; 能对图形进行分解、组合;会运用图形与图表等手段形象地揭 示问题的本质.

空间想像能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力.主 要表现为识图、画图和对图形的想像能力.识图是指观察研究 所给图形中几何元素之间的相互关系;画图是指将文字语言和 符号语言转化为图形语言,以及对图形添加辅助图形或对图形 进行各种变换.对图形的想像主要包括有图想图和无图想图两 种,是空间想像能力高层次的标志.

(4)实践能力:能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问 题,包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题;能 理解对问题陈述的材料,并对所提供的信息资料进行归纳、整 理和分类,将实际问题抽象为数学问题,建立数学模型;应用 相关的数学方法解决问题并加以验证,并能用数学语言正确地 表达和说明.

实践能力是将客观事物数学化的能力,主要过程是依据现实 的生活背景,提炼相关的数量关系,构造数学模型,将现实问 题转化为数学问题,并加以解决.

(5)创新意识:对新颖的信息、情景和设问, 选择有效的方 法和手段分析信息,综合与灵活地应用所学的数学知识、思想 和方法,进行独立的思考、探索和研究,提出解决问题的思路 ,创造性地解决问题.

创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的“观察、 猜测、抽象、概括、证明”,是发现问题和解决问题的重要途 径,对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高,显示出的创 新意识也就越强.

3.考查要求 (1)对数学基础知识的考查,既要全面又要突出重点,对 于支撑学科知识体系的重点内容,要占有较大的比例,构成 数学试卷的主体,注重学科的内在联系和知识的综合性,不 刻意追求知识的覆盖面.从学科的整体高度和思维价值的高度 考虑问题,在知识网络交汇点设计试题,使对数学基础知识 的考查达到必要的深度. (2)对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的 抽象和概括的考查,考查时必须要与数学知识相结合,通过 数学知识的考查,反映考生对数学思想方法的掌握程度. 高中阶段要求学生掌握的主要数学思想方法是函数与方 程的思想、数形结合的思想、分类与整合的思想、化归与转 化的思想、特殊与一般的思想以及有限与无限的思想。最重

要的是前面两种.

(3)对数学能力的考查,强调“以能力立意”,就是以 数学知识为载体,从问题入手,把握学科的整体意义,用统 一的数学观点组织材料,侧重体现对知识的理解和应用,尤 其是综合和灵活的应用,以此来检测考生将知识迁移到不同 情境中去的能力,从而检测出考生个体理性思维的广度和深 度,以及进一步学习的潜能. (4)对应用意识的考查主要采用解决应用问题的形式.命题 时要坚持“贴近生活,背景公平,控制难度”的原则,试题 设计要切合中学数学教学的实际,考虑学生的年龄特点和实 践经验,使数学应用问题的难度符合考生的水平.

(5)对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查.在考试中

创设新颖的问题情境,构造有一定深度和广度的数学问题,要
注重问题的多样化,体现思维的发散性.精心设计考查数学主 体内容、体现数学素质的试题;反映数、形运动变化的试题;

研究型、探索型、开放型的试题.

例如北京2006年的试题 在数列 {an } 中,若 a1 , a2 是正整数, n ?| an?1 ? an?2 |, n ? 3,4,5,? a 为“绝对差数 则称 {an } 列”. (Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要 求写出前十项);
{ (Ⅱ)若“绝对差数列”an } 中,a20 ? 3, a21 ? 0 数列 {bn }

满足 bn ? an ? an?1 ? an?2 n ? 1,2,3,? ,分别判断当 n ?? 时,

an 与 bn

的极限是否存在,如果存在,求出其极限值;

(Ⅲ)证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

4.数学考试的特点
(1)概念性强

数学是由概念、命题组成的逻辑系统,而概念是基础,是使 整个体系结成一体的结点.数学中的每一个术语、符号和习惯用 语都有明确的内涵,切忌将数学语言和日常用语混为一谈.
(2)充满思辨性 这个特点源于数学的抽象性,系统性和逻辑性.数学知识不 是经过客观实验总结出来的,而是经演绎推理而形成的逻辑体 系.数学不是知识性的学科,而是思维型的学科.

(3)量化突出 数量关系是数学研究的重要方面,数学试题的定量性占有很 大比重.数学计算是把概念、法则、性质寓于计算之中,在运算过 程中考查考生对算理、运算法则的理解程度、灵活运用能力及 准确严谨的科学态度.

(4)解法多样
一般数学试题的结果虽确定唯一,但解法确多种多样,这有 利于考生发挥各自的特点,灵活解答.

高考大纲的特点
(一).与去年的要求保持一致,个别地方要求有变化. 例如关于三角函数部分 06年的是: (1)理解任意角的概念、弧度的意义,能正确地进行弧度与角 度的换算. (2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义. 07年的是: (1)了解任意角的概念、弧度的意义,能正确地进行弧度 与角度的换算. (2)理解任意角的正弦、余弦、正切的定义. 变化不大对高考命题没有影响. (二).重申总体难度要求. 试卷应由容易题、中等题和难题组成, 总体难度要适当,并以中等题为主.

二.复习的重点是落实基础知识和基本方法. 1.课本是根本,切忌以复习资料代替教材. 2.抓三基的落实是复习的最重要的任务. 三基指的是基本概念(或称基础知识),基本思想,基本 方法.(即同性通法) 抓基础知识的落实必须有以下及方面的保证.

(1)时间保证:第一轮复习时间不少于6个月.复习课堂上 用于基础知识复习和训练的时间不少于70%. (2)在作业和考评上落实,第一轮复习期间的作业题和 检测试题要以基础题为主.
(3)在对学生辅导的过程中,多检查基础知识落实的情况.

三.构建知识网络,在知识交汇点上深入.
1.构建每章节的数学概念结构图. 2.明确重要知识交汇点. 3.重要数学思想方法的归纳.

四.形成高中阶段数学思想方法体系
在复习数学知识中,逐步形成数学思想方法

1.在复习函数、数列不等式内容时应注意建立的思想方法 (1)函数与方程的思想 用函数观点研究方程、不等式、数列,用方程的解确定 函数的变化情况,用函数、方程解或证明不等式.

(2)数形结合的思想 函数的图像是函数性质的直观体现,借助函数的图像能形 象的表达函数的性质,形象的得到解决问题的思路. (3)分类讨论的思想 通过对含参变数的函数、不等式的研究逐步掌握分类讨 论的一般方法, (4)特殊与一般的思想、有限与无限的思想. 在数列的复习中除了巩固函数与方程的思想,数形结合的思 想,结合数列通项公式的求法,对数列的极限的概念的深入理解, 逐步形成特殊与一般,有限与无限的数学思想.

2.在三角函数的过程中主要是形成和巩固方程的思想和换元法.

3.立体几何主要是考查学生学生的空间想象能力和推理能力, 最重要的数学思想化归和转化的思想.
4.解析几何是高中数学的重要内容,其中重要的数学思想有 (1)函数与方程的思想,解析几何中图形的参数的变化要用函数的 思想去研究,求值过程都要通过方程来实现. (2)数形结合的思想 (3)特殊与一般的思想

5.排列、组合、二项式定理和概率统计 (1)分类与整合的思想. (2)初步建立或然与必然的思想,

五.关于计算能力的培养.
计算对考分的影响最大,在课堂练习,平时作业,试卷讲

评中重视计算过程和方法.要求学生自己演算,平时作业不 依赖计算器和他人.

六. 阅读和表达能力的培养
学会看书,读题,领悟. 表达清楚明白,复杂问题标题化,条理化.

第二轮复习重点章节的要求 1.函数、数列、不等式 深入理解函数的概念,充分认识函数定义域的重要性, 加强 对函数单调性、奇偶性等性质应用的训练. 应熟练掌握二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等 一些常见函数的性质,归纳提炼函数性质的应用规律. 理解导数的概念,掌握常见函数导数的求法.能熟练用导 数的概念判断证明函数的单调性,会用导数的观点研究函数 熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质.等差、等比数 列的有关性质在解决数列问题时应用非常广泛,且十分灵活.

数列问题对能力要求较高,特别是运算能力、归纳猜想能 力、转化能力、逻辑推理能力.

不等式部分重视对基础知识的考查,设问方式不断创新.重 点考查四种题型:解不等式,证明不等式,有关不等式应用题, 有关不等式的综合题,
在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想,不等式又为研究 函数提供了重要的工具,不等式与函数既是知识的结合点,又 是数学知识与数学方法的交汇点,因而在历年高考题中始终是 重中之重.在全面考查函数与不等式基础知识的同时,将不等式 的重点知识以及其他知识有机结合,进行综合考查,强调知识 的综合和知识的内在联系,加大数学思想方法的考查力度,是 高考对不等式考查的又一新特点.

函数是数学中最重要的概念之一,它贯穿中学代数的始终. 数、式、方程、不等式、数列及极限等,是以函数为中心的代 数,高考考查的内容,几乎覆盖了中学阶段的所有函数,如一 次函数、二次函数、反比例函数、指数、对数函数,还有三角 函数、反三角函数等,也涉及到函数的所有主要的性质,且以 考查三基为主,通性通法为主,加强函数与三角函数、不等式、 数列等各章间知识的联系. 对函数的思想方法的考查力度逐年加大,考查函数的基本 性质,以及数形结合、分类讨论、最优化等数学思想,重视对 实践能力的考查是高考的新动向.因此要强化函数思想的应用意 识的训练,才能适应高考新的变化.

近年全国十几套高考高考试题的压轴题,几乎都是函数、 数列、不等式的综合题.
(1)设函数 f ( x) ? x log2 x ? (1 ? x)log2 (1 ? x)(0 ? x ? 1), 求f (x) 的最小值; (2)设正数 p1, p2 , p3 ,?, p2 满足 p1 ? p2 ? p3 ??? p2 ? 1, 求证: 1 log2 p1 ? p2 log2 p2 ? p3 log2 p3 ??? p2 log2 p2 ? ?n. p
n

n

n

n

(2005年高考题)

设数列{an }的前 n 项和 Sn ?
2 (Ⅱ)设 Tn ? , n ? 1, 2,3,?, Sn
n

(Ⅰ)求首项 a1 与通项an ;

4 1 n ?1 2 an ? ? 2 ? , n ? 1, 2,3,?. 3 3 3
n

3 ? 证明: Ti ? 2 . i ?1

(2006年高考题)

湖北省2006年试题
设x=3是函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? b)e3? x ( x ? R) 一个极值点. (I)求 a与 b 的关系式(用a 表示 b ),并f ( x) 求的单 调区间; 25 x (II)设a >0,g ( x) =( a 2 ? ) .若存在 ?1 , ? 2 ?[0, 4] e 4 使得| f (?1 ) ? g (? 2 ) |? 1成立,求 a 的取值范围. 本题主要考查函数、不等式和导数的应用知识,考查综 合运用数学知识解决问题的能力.

解:(1)

f '( x) ? ? ? x 2 ? (a ? 2) x ? b ? a ? e3? x ? ?

由 f '(3) ? 0 得 b ? ?2a ? 3 ,所以 f ( x) ? ( x2 ? ax ? 2a ? 3)e3? x
f ?( x) ? ? ? x 2 ? (a ? 2) x ? 3a ? 3? e3? x ? ?( x ? 3)( x ? a ? 1)e3? x ? ?
' 令 f ( x) ? 0 得 x1 ? 3, x2 ? ?a ?1

f 当 a ? ?4 时, ( x ) 在 ? ??,3? 上为减函数,

x 由于 x ? 3 是 f ( x) 的极值点,故, 1

? x2 即 a ? ?4

在上 ?3, ?a ?1? 为减函数,在 ??a ?1, ???上为增函数. 当 a ? ?4 时,f ( x) 在 ? ??, ?a ?1?上为减函数,

在上??a ?1,3?为增函数,在 ?3, ?? ? 上为减函数.

由(Ⅰ)知,当a>0时,f (x)在区间(0,3)上的单调递 增,在区间(3,4)上单调递减,那么f (x)在区间[0,4]上 的值域是[min(f (0),f (4) ),f (3)], 而f (0)=-(2a+3)3 <0,f (4)=(2a+13) ?1 >0, e e f (3)=a+6,那么f (x)在区间[0,4]上的值域是 e3 [-(2a+3) ,a+6].
25 x ) e 在区间[0,4]上是增函数, 4 且它在区间[0,4]上的值域是 [a 2 ? 25 , (a 2 ? 25 ) e4 ]
2 又 g ( x) ? (a ?

4

4

由于( a 2 ?
须仅须

故a的取值范围是(0, ).
2

1 1 25 )-(a+6)= a 2 ? a ? ? (a ? ) 2≥0,所以只 4 2 4 25 <1且a>0, 解得0<a< 3. a 2 ? ?(a ? 6) 4 2 3

三角函数要求不高,但与其他知识结合较紧密,也容易出错.三角 函数的性质是重点,三角函数公式的变换是基础.正、余弦定理的 应用也较多. 设函数 f ( x) ? cos( 3x ? ? )(0 ? ? ? ? ) 若 f ( x) ? f ? ? x ? 是奇函数, 则 ? =__ . 三角形ABC的三个内角A、B、C,求当A满足何值时 B ? C 取得最大值,并求出这个最大值. cos A ? 2 cos 2 (2006年试题)

平面解析几何是高中的重要内容,而圆锥曲线更 是高考重点,主要考查圆锥曲线的概念和性质,直线 与圆锥的位置关系以及求轨迹等.

注意圆锥曲线的定义和性质在解题中的应用,突出“曲线与 方程”这一重点,加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习. 由于直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点.这类问 题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、 弦长、垂直问题,分析问题时利用数形结合思想,重视对数学思 想、方法进行归纳提炼, 对称思想、参数思想、转化思想都是解决圆锥曲线问题重要 思想方法.

在平面直角坐标系xoy中,有一个以点 F1 (0, ? 3) 和 F2 (0, 3) 3 为焦点,离心率为 2 的椭圆,设椭圆在第一象限的部分曲线 为C,动点P在C上,C在P点处的切线与x、y轴的交点分别为A ???? ??? ??? ? ? ? OM 、B,且向量 ? OA ? OB 求 (Ⅰ)点M的轨迹方程; ???? ? (Ⅱ)OM 的最小值. (2006年试题) 已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在 x 轴上,斜率为1且过椭 ??? ? ??? ? 圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点, a ) OA ? OB与 ? (3, ? 1 共线. (Ⅰ)求椭圆的离心率; ???? ? ??? ? ??? ? (Ⅱ)设M为椭圆上任意一点,且 OM ? ?OA ? ?OB , 证明 ?2 ? ? 2 为定值. (2005年试题)

立体几何是高中数学内容的重点组成部分,是考查学生 的空间想像能力和逻辑推理能力的重要章节.高考始终把空 间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的定 义、 性质与判定、线面间的角与距离的计算作为考查的重 点. 立体几何综合题的基本模式是论证推理与计算相结合.解 决这种类型的题目对各种能力具有较高要求. ①解题原则是作图、证明、求解. ②学会识图、理解图、应用图.通过对复杂空间图形直观 图的观察和分解,发现其中的平面图形或典型的空间图形. ③注意数学中的转化思想的运用

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC, 1 ?DAB ? 90? , PA ? 底面ABCD且PA=AD=DC= AB=1, P 2 M是PB的中点. A (Ⅰ)证明:面PAD⊥面PCD; (Ⅱ)求AC与PB所成的角; C (Ⅲ)求面AMC与面BMC所成二面角的大小 D (2005年试题)

M

B

l1 l 2 如图,、是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段。 点A、B在l1 上,C 在l 2 上, AM=MB=MN。 (Ⅰ)证明AC? NB (Ⅱ)若 ?ACB ? 60?,求NB与平面ABC所成角的 余弦值.

(2006年试题)

排列、组合、二项式定理和概率这方面的内容在近 年的高考中增加了很多,特别是有关概率方面的考题 每年都有一个大题,难度有逐年加大的趋势。 关于排列、组合方面试题的特点 综合性强. 如排列、组合题大多能与集合、数列、立 体几何等内容组合构成小型综合题,使每题涉及的知 识点在两个以上. 应用性强,如统计问题及概率问题,都是以实际问题 为背景. 对运用数学思想的要求高,如解排列、组合问题 时,需分类讨论、分步讨论.以几何为背景的排列、组 合题需用数形结合的思想,这种命题特点在以后的高考 中仍会保持下去.

有关概率方面的内容,重点掌握随机事件的概念, 等可能事件、互斥事件、独立事件的概率 , n次独立 重复试验中恰好发生k次等五种事件的概率.熟练掌握 离散型随机变量的分布列,以及随机变量的期望与方 差。
注意概率的内容与其他内容的综合应用,特别是与数列、不 等式的综合. 9粒种子分种在3个坑内,每坑3粒,每粒种子发芽的概率为 0.5,若一个坑内至少有1粒种子发芽,则这个坑不需要补种,若 一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种.假定每个坑至 多补种一次,每补种1个坑需10元,用ξ 表示补种费用,写出ξ 的分布列并求ξ 的数学期望.(精确到0.01)


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