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2018版高中数学第二章统计章末分层突破学案苏教版必修3

时间:2018-01-13


第二章 统计

[自我校对] ①分层抽样 ②线性回归分析 ③频率分布直方图 ④方差与标准差

抽样方法 常用的抽样方法有三种. (1)简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法; (2)系统抽样要求把总体均衡地分成几部分,然后从每部分中抽取相同数目的个体; (3)分层抽样则是根据样本的差异分成几层,然后在各层中按各层在总体中所占的比例 进行抽样,不要求各部分抽取的样本数相同,但各层之间要有明显的差异.三种抽样的共同 点都是等概率抽样, 即抽样过程中每个个体被抽取的概率相等, 体现了这三种抽样方法的客 观性和公平性.
1

某单位 200 名职工的年龄分布情况如图 2?1, 现要从中抽取 40 名职工作样本. 用 系统抽样法,将全体职工随机按 1~200 编号,并按编号顺序平均分为 40 组(1~5 号,6~ 10 号,?,196~200 号).若第 5 组抽出的号码为 22,则第 8 组抽出的号码应是________, 若用分层抽样方法,则 40 岁以下年龄段应抽取________人.

图 2?1 【精彩点拨】 按各种抽样方法的步骤抽取样本即可. 【规范解答】 法一:由系统抽样知第 1 组抽出的号码为 2,则第 8 组抽出的号码为 2 1 +5×7=37;当用分层抽样抽取,则 40 岁以下年龄段应抽取 ×40=20 名. 2 法二:由系统抽样知,第 5 组抽出的号码为 22,而分段间隔为 5,则第 6 组抽取的应为 27,第 7 组抽取的应为 32,第 8 组抽取的号码应为 37. 40 1 1 由图知 40 岁以下的人数为 100 人, 则抽取的比例为 = , ∴100× =20 为抽取人数. 200 5 5 【答案】 37 20 [再练一题] 1.某地区有小学 150 所,中学 75 所,大学 25 所.现采用分层抽样的方法从这些学校 中抽取 30 所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取 ________ 所学校,中学中抽取 ________所学校. 150 【解析】 根据分层抽样的特点求解.从小学中抽取 30× =18(所)学校; 150+75+25 75 从中学中抽取 30× =9(所)学校. 150+75+25 【答案】 18 9 用样本估计总体 用样本估计总体的方式有两种, 一是用样本的频率分布估计总体分布, 二是用样本的数 字特征估计总体的数字特征. 在用样本的频率分布估计总体分布时, 主要是利用统计图表分 析估计总体的分布规律,要求掌握图表的绘制方法,明确图表中数据的有关意义,学会从图 表中获取有关信息并会加以整理. 样本的数字特征可分为两大类: 一类是反映样本数据集中 趋势的, 包括众数、 中位数和平均数; 另一类是反映样本波动大小的, 包括方差及标准差. 我 们常通过样本的数字特征估计总体的数字特征. 某学校为了了解学生的日平均睡眠时间(单位:h),随机选择了 n 名同学进行 调查.下表是这 n 名同学的日睡眠时间的频率分布表.
2

序号(i) 1 2 3 4 5

分组(睡眠时间) [4,5) [5,6) [6,7) [7,8) [8,9)

频数(人数) 6

频率 0.12 0.20

a b
0.08

(1)求 n 的值;若 a=20,将表中数据补全,并画出频率分布直方图; (2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[4,5)的中点值是 4.5)作 为代表.若据此计算的上述数据的平均值为 6.52,求 a,b 的值. 【精彩点拨】 (1)根据频率、频数与样本容量的关系求出相关数据,补全表,然后结 合画频率直方图的步骤画出图形; (2)根据平均数的定义及题意列出方程组求解. 【规范解答】 (1)由频率分布表可知

n=

6 =50. 0.12

补全数据如下表: 序号(i) 1 2 3 4 5 频率分布直方图如下: 分组(睡眠时间) [4,5) [5,6) [6,7) [7,8) [8,9) 频数(人数) 6 10 20 10 4 频率 0.12 0.20 0.40 0.20 0.08

(2)由题意得 1 ? ?50?6×4.5+10×5.5+a×6.5+b×7.5+4×8.5? ?=6.52, ? ?6+10+a+b+4=50,

3

解得?

?a=15, ? ?b=15. ?

[再练一题] 2.甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩用茎叶图表示如图 2?2 所示,则平均分 数较高的是________,成绩较为稳定的是________.

图 2?2 【解析】 由题意得 -

x 甲= (68+69+70+71+72)=70,
1 5

1 5

2 2 2 2 2 s2 甲= [(68-70) +(69-70) +(70-70) +(71-70) +(72-70) ]=2,



x 乙= (63+68+69+69+71)=68.
1 5

1 5

2 2 2 2 2 s2 乙= [(63-68) +(68-68) +(69-68) +(69-68) +(71-68) ]=7.2.

- - 2 2 ∴ x 甲> x 乙,s甲<s乙. ∴甲的平均分高,且甲的成绩较稳定. 【答案】 甲 甲 线性回归方程 分析两个变量的相关关系时, 我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相 关关系, 若存在, 再利用最小平方法求出回归直线方程, 然后利用线性回归方程可进行预测. 某种产品的广告费用支出 x(万元)与销售额 y(万元)之间有如下的对应数据:

x y
(1)画出散点图;

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70

(2)判断 x,y 是否线性相关,若线性相关,求 y 关于 x 的线性回归方程. 【精彩点拨】 根据所给的数据,写出5组坐标,描点得散点图

→ 观察样本点的分布规律判断是否线性相关 → 根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程 【规范解答】 (1)根据所给的数据,写出 5 组坐标,作出散点图如图所示.

4

(2)由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近,可见 y 与 x 线性相关. - 2+4+5+6+8 由所给数据得 x = =5, 5 -

y=

30+40+60+50+70 =50, 5

-- ?xiyi-5 x y
i=1

5

b=
2 i-5 x ?x2 5



i=1



2×30+4×40+5×60+6×50+8×70-5×5×50 =6.5, 2 2 2 2 2 2 2 +4 +5 +6 +8 -5×5 - -

a= y -b x =50-6.5×5=17.5,
^ 所以 y 关于 x 的回归直线方程为y=6.5x+17.5. [再练一题] 3.为了了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李 某月 1 号到 5 号每天打篮球时间 x(单位:小时)与当天投篮命中率 y 之间的关系: 时间 x 命中率 y 1 0.4 2 0.5 3 0.6 4 0.6 5 0.4

小李这 5 天的平均投篮命中率为________;用线性回归分析的方法,预测小李该月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率为________.
5 1 【解析】 平均命中率 y = (0.4+0.5+0.6+0.6+0.4)=0.5; 而 x =3, ?xiyi=7.6, 5 i=1

i=55,由公式得 b=0.01, ?x2 i=1

5

a= y -b x =0.5-0.01×3=0.47,

^ ^ ∴y=0.01x+0.47,令 x=6,得y=0.53. 【答案】 0.5 0.53 数形结合思想
5

在统计中,常常利用频率分布直方图,频率分布折线图、茎叶图等来呈现样本及总体的 分布情况, 这便是数形结合思想的具体运用, 解题时要注意挖掘图表中数字的意义及相关信 息. 甲、乙两人在相同的条件下各射靶 10 次,每次射靶成绩(单位:环)如图 2?3 所示:

图 2?3 (1)填写下表: 平均数 甲 乙 7 方差 1.2 5.4 中位数 命中 9 环及以上 1 3

(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析: ①从平均数和方差结合分析偏离程度; ②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些; ③从平均数和命中 9 环以上的次数相结合看谁的成绩好些; ④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力. 【精彩点拨】 根据图形得到具体的样本数据,然后根据要求求解. 1 - 【规范解答】 (1)乙的射靶环数依次为 2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.所以 x 乙= (2+4+6 10 +8+7+7+8+9+9+10)=7;乙的射靶环数从小到大排列为 2,4,6,7,7,8,8,9,9,10,所 7+8 以中位数是 =7.5;甲的射靶环数从小到大排列为 5,6,6,7,7,7,7,8,8,9,所以中位数 2 为 7.于是填充后的表格如下表所示: 平均数 甲 乙 7 7 方差 1.2 5.4
2

中位数 7 7.5
2

命中 9 环及以上 1 3

(2)①甲、乙的平均数相同,均为 7,但 s甲<s乙,说明甲偏离平均数的程度小,而乙偏离 平均数的程度大. ②甲、乙的平均水平相同,而乙的中位数比甲大,说明乙射靶环数的优秀次数比甲多.

6

③甲、乙的平均水平相同,而乙命中 9 环以上(包含 9 环)的次数比甲多 2 次,可知乙的 射靶成绩比甲好. ④从折线图上看,乙的成绩呈上升趋势,而甲的成绩在平均线上波动不大,说明乙的状 态在提升,更有潜力. [再练一题] 4.甲、乙两名运动员,在某项测试中的 8 次成绩如图 2?4 所示, x 1, x 2 分别表示甲、 乙两名运动员这项测试成绩的平均数,s1,s2 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标 准差,则 x 1________ x 2,s1________s2.(填“>”“<”或“=”)

图 2?4 1 2 2 【解析】 由茎叶图中数据求得 x 1= x 2=15,且由方差公式可得 s1= [(-7) +(- 8 6) +(-1) +1 +6 +7 ]= 【答案】 = <
2 2 2 2 2

43 2 1 117 2 2 2 2 2 2 ,s2= [(-8) +(-7) +(-2) +2 +7 +8 ]= ,故 s1<s2. 2 8 4

1.已知一组数据 4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为______. 【解析】 - 4+6+5+8+7+6 x= =6. 6

【答案】 6 2. 为了了解一片经济林的生长情况, 随机抽测了其中 60 株树木的底部周长(单位: cm), 所得数据均在区间[80,130]上, 其频率分布直方图如图 2?5 所示, 则在抽测的 60 株树木中, 有________株树木的底部周长小于 100 cm.

图 2?5 【解析】 底部周长在[80,90)的频率为 0.015×10=0.15,底部周长在[90,100)的频 率为 0.025×10=0.25,样本容量为 60,所以树木的底部周长小于 100 cm 的株数为(0.15

7

+0.25)×60=24. 【答案】 24 3.已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是________. 【解析】 1 5 - 1 x = (4.7+4.8+5.1+5.4+5.5)=5.1,则方差 5

s2= [(4.7-5.1)2+(4.8-5.1)2+(5.1-5.1)2+(5.4-5.1)2+(5.5-5.1)2]
1 = (0.16+0.09+0+0.09+0.16)=0.1. 5 【答案】 0.1 4.在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图 2?6 所示,若 将运动员按成绩由好到差编为 1~35 号, 再用系统抽样方法从中抽取 7 人, 则其中成绩在区 间[139,151]上的运动员人数是________.

图 2?6 【解析】 由茎叶图可知,在区间[139,151]上的人数为 20,再由系统抽样的性质可知 7 人数为 20× =4 人. 35 【答案】 4 5.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3∶3∶4,现用分层抽样的方法从 该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取________名学生. 【解析】 由题意知高二年级的学生人数占该校高中人数的 3 ,故应从高二年级抽取 10

3 50× =15 名学生. 10 【答案】 15

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