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【成才之路】2015版高中数学(人教版必修5)配套练习:1.1 正弦定理和余弦定理 第2课时

时间:2015-08-01


第一章

1.1

第 2 课时

一、选择题 1.在△ABC 中,a=3,b= 7,c=2,那么 B 等于( A.30° C.60° [答案] C a2+c2-b2 9+4-7 1 [解析] cosB= = = , 2ac 12 2 ∴B=60° . 2.在△ABC 中,已知 a=1,b=2,C=60° ,则边 c 等于( A. 3 C .3 [答案] A [解析] 由 余 弦 定 理 , 得 c2 = a2 + b2 - 2abcosC = 1 + 4 - 2×1×2×cos60° =1+4- B. 2 D.4 ) B.45° D.120° )

1 2×1×2× =3, 2 ∴c= 3. 3.在△ABC 中,若 a<b<c,且 c2<a2+b2,则△ABC 为( A.直角三角形 C.钝角三角形 [答案] B [解析] ∵c2<a2+b2,∴∠C 为锐角. ∵a<b<c,∴∠C 为最大角,∴△ABC 为锐角三角形. π 4.(2013· 天津理,6)在△ABC 中,∠ABC= ,AB= 2,BC=3,则 sin∠BAC=( 4 A. 10 10 B. D. 10 5 5 5 ) B.锐角三角形 D.不存在 )

3 10 C. 10 [答案] C

[解析] 本题考查了余弦定理、正弦定理.
-1-

π 由余弦定理,得 AC2=AB2+BC2-2AB×BC· cos 4 =2+9-2× 2×3× 2 =5.∴AC= 5. 2

AC BC 由正弦定理,得 = , sinB sinA 2 3× 2 3 10 BCsinB ∴sinA= = = . AC 10 5 5.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB= 3ac,则角 B 的值为( π A. 6 π 5π C. 或 6 6 [答案] D a2+c2-b2 3 [解析] 依题意得, · tanB= , 2ac 2 ∴sinB= 3 π 2π ,∴B= 或 B= ,选 D. 2 3 3 ) ) π B. 3 π 2π D. 或 3 3

6.如果等腰三角形的周长是底边边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为( A. C. 5 18 3 2 3 B. 4 7 D. 8

[答案] D [解析] 设等腰三角形的底边边长为 x,则两腰长为 2x(如图), 由余弦定理得 4x2+4x2-x2 7 cosA= = , 2· 2x· 2x 8 故选 D. 二、填空题 7.以 4、5、6 为边长的三角形一定是________三角形.(填:锐角、直角、钝角)
-2-

[答案] 锐角 16+25-36 [解析] 由题意可知长为 6 的边所对的内角最大, 设这个最大角为 α, 则 cosα= 2×4×5 1 = >0,因此 0° <α<90° .故填锐角. 8 8.在△ABC 中,若 a=5,b=3,C=120° ,则 sinA=________. [答案] 5 3 14

[解析] ∵c2=a2+b2-2abcosC =52+32-2×5×3×cos120° =49, ∴c=7. a c asinC 5 3 故由 = ,得 sinA= = . sinA sinC c 14 三、解答题 1 9.在△ABC 中,已知 sinC= ,a=2 3,b=2,求边 C. 2 1 π 5π [解析] ∵sinC= ,且 0<C<π,∴C 为 或 . 2 6 6 π 3 当 C= 时,cosC= , 6 2 此时,c2=a2+b2-2abcosC=4,即 c=2. 5π 3 当 C= 时,cosC=- , 6 2 此时,c2=a2+b2-2abcosC=28,即 c=2 7. 10.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 2b· cosA=c· cosA+a· cosC. (1)求角 A 的大小; (2)若 a= 7,b+c=4,求 bc 的值. [解析] (1)根据正弦定理 2b· cosA=c· cosA+a· cosC 可化为 2cosAsinB=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB, 1 ∵sinB≠0,∴cosA= , 2 ∵0° <A<180° ,∴A=60° .
-3-

(2)由余弦定理,得 7=a2=b2+c2-2bc· cos60° =b2+c2-bc=(b+c)2-3bc, 把 b+c=4 代入得 bc=3.

一、选择题 1.在△ABC 中,若 AB= 3-1,BC= 3+1,AC= 6,则 B 的度数为( A.30° C.60° [答案] C AB2+BC2-AC2 [解析] ∵cosB= 2AB· BC = ? 3-1?2+? 3+1?2-? 6?2 2? 3-1?? 3+1? 1 = ,∴B=60° . 2 ) B.45° D.120° )

→ → 2.在△ABC 中,已知 AB=3,AC=2,BC= 10,则AB· AC等于( 3 A.- 2 2 C. 3 [答案] D 2 B.- 3 3 D. 2

→ → → → → → → [解析] ∵AB· AC=|AB|· |AC|· cos<AB,AC>,由向量模的定义和余弦定理可以得出|AB|=3, AB2+AC2-BC2 1 → → → |AC|=2,cos<AB,AC>= = . 2AB· AC 4 1 3 → → 故AB· AC=3×2× = . 4 2 3.在△ABC 中,已知 AB=3,BC= 13,AC=4,则边 AC 上的高为( 3 2 A. 2 3 C. 2 [答案] B [解析] 如图,在△ABC 中,BD 为 AC 边上的高,且 AB=3,BC= 13,AC=4.∵cosA= 32+42-? 13?2 1 = , 2 2×3×4
-4-

)

3 3 B. 2 D.3 3

∴sinA=

3 . 2 3 3 3 = . 2 2

故 BD=AB· sinA=3×

4.△ABC 的三内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,设向量 p=(a+c,b),q=(b -a,c-a),若 p∥q,则 C 的大小为( π A. 6 π C. 2 [答案] B [解析] ∵p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),p∥q, ∴(a+c)(c-a)-b(b-a)=0, 即 a2+b2-c2=ab. a2+b2-c2 ab 1 由余弦定理,得 cosC= = = , 2ab 2ab 2 π ∵0<C<π,∴C= . 3 二、填空题 5.在△ABC 中,已知 sinA [答案] a b c [解析] 由正弦定理,得 = = ,得 a b sinA sinB sinC 令 a=4k,b=5k,c=6k(k>0), 由余弦定理得 25k2+36k2-16k2 3 cosA= = , 4 2×5k×6k 9 1 同理可得 cosB= ,cosC= , 16 8 故 cosA B 3 C= 4 9 16 1 = 8
-5-

) π B. 3 2π D. 3

B

C=

,则 cosA

B

C=________.

c=sinA

B

C=



6.在△ABC 中,a=b+2,b=c+2,又最大角的正弦等于 [答案] 3,5,7 [解析] ∵a-b=2,b-c=2,∴a>b>c, ∴最大角为 A.sinA= 3 1 ,∴cosA=± , 2 2

3 ,则三边长为__________. 2

设 c=x,则 b=x+2,a=x+4, x2+?x+2?2-?x+4?2 1 ∴ =± , 2 2x?x+2? ∵x>0,∴x=3,故三边长为 3,5,7. 三、解答题 1 7.△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a=2,c=3,cosB= . 4 (1)求边 b 的值; (2)求 sinC 的值. [解析] (1)由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accosB 1 =4+9-2×2×3× =10, 4 ∴b= 10. 1 15 (2)∵cosB= ,∴sinB= . 4 4 csinB 由正弦定理,得 sinC= = b 3× 15 4 3 6 = . 8 10

7 8.设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 a+c=6,b=2,cosB= . 9 (1)求 a、c 的值; (2)求 sin(A-B)的值. [解析] (1)由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accosB,b2=(a+c)2-2ac(1+cosB), 7 又已知 a+c=6,b=2,cosB= ,∴ac=9. 9 由 a+c=6,ac=9,解得 a=3,c=3. 7 (2)在△ABC 中,∵cosB= , 9
-6-

∴sinB=

1-cos2B=

4 2 . 9

asinB 2 2 由正弦定理,得 sinA= = , b 3 ∵a=c,∴A 为锐角,∴cosA= 1 1-sin2A= . 3

10 2 ∴sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB= . 27

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