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历届高考数学真题汇编专题直线和圆最新模拟理

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【备战 2013 年】历届高考数学真题汇编专题 9 直线和圆最新模 拟 理
1、 (2012 济南一中模拟)直线 l1 :kx+(1-k)y-3=0 和 l2 :(k-1)x+(2k+3)y-2=0 互相垂直, 则 k= A. -3 或-1 C. -3 或1 B. 3 或1 D. -1 或 3

2、 (2012 滨州二模)直线 l 与圆 x +y +2x-4y+1=0 相交于 A,B 两点,若弦 AB 的中点(- 2,3) ,则直线 l 的方程为: (A)x+y-3=0 (B)x+y-1=0 (C)x-y+5=0 (D)x-y-5=0

2

2

3、 (2012 德州一模)若直线 ax ? by ? 1 ? 0( a,b ? ( 0, ?? )) 平分圆 x ? y ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 ,
2 2



1 2 ? 的最小值是( a b
A. 4 2 答案:B

) C.2 D.5

B. 3 ? 2 2

解析:圆方程化为: (x-1) +(y-1) =4,圆心坐标为(1,1) ,因为直线平分圆,所 以它必过圆心, 因此, 有: a+b=1, ?

2

2

1 a

2 1 2 1 2 b 2a = ( ? ) ? 1 = ( ? )( a ? b ) =3+ ? ≥3 b a b a b a b

- 1 - / 13

+2

b 2a = 3 ? 2 2 ,故选 B。 ? a b
4、 (2012 临沂 3 月模拟)直线 l 过点 ( 4, 0) 且与圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 25 交于 A、B 两

点,如果 AB ? 8 ,那么直线 l 的方程为____________。 【答案】 5 x ? 12y ? 20 ? 0 或 x ? 4

5、 (2012 临沂二模)设圆 x2 ? y 2 ? 2 的切线 l 与 x 轴的正半轴、 y 轴的正半轴分别交于 点 A、B ,当 AB 取最小值时,切线 l 的方程为________________。

6、 (2012 青岛二模)函数 y ? 9 ? ? x ? 5? 的图象上存在不同的三点到原点的距离构成
2

等比数列,则以下不可能成为该等比数列的公比的数是

- 2 - / 13

A.

3 4

B. 2

C. 3

D. 5

【答案】D 【解析】函数等价为 ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 9, y ? 0 ,表示为圆心在 (5,0) 半径为 3 的上半圆, 圆上点到原点的最短距离为 2,最大距离为 8,若存在三点成等比数列,则最大的公比 q 应有

8 ? 2q 2 ,即 q 2 ? 4, q ? 2 ,最小的公比应满足 2 ? 8q 2 ,所以 q 2 ?
取值范围为

1 1 , q ? ,所以公比的 4 2

1 ? q ? 2 ,所以选 D. 2

B 两点, 7、 (2012 青岛二模) 已知直线 y ? x ? a 与圆 x2 ? y 2 ? 4 交于 A 、 且 OA ? OB ? 0 ,
其中 O 为坐标原点,则正实数 a 的值为 .

8、 (2012 青岛 3 月模拟)已知圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的圆心为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦 点,且与直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 相切,则该圆的方程为 A. ( x ? 1) ? y ?
2 2

64 25

B. x ? ( y ? 1) ?
2 2

64 25

C. ( x ?1) ? y ? 1
2 2

D. x ? ( y ?1) ? 1
2 2

9、 (2012 日照 5 月模拟)直线 y ? kx 与函数 y ? a x (0 ? a ? 1) 的图象交与 A,B 两点(点 B 在 A 上方) ,过 B 点做 x 轴平行线交函数 y ? b x 图象于 C 点,若直线 AC // y 轴,且 b ? a , 且 A 点纵坐标为 答案: 3 . - 3 - / 13 .
3

【解析】 设 A 点的横坐标为 x0 ( x0 ? 0) , 由题意 C 点的纵坐标为 b 0 , 又 b ? a3 , b
x

x0

? a3 x0

∴B 点横坐标为 3 x0 ,又 A, B, O 三点共线,?

a 3 x0 a x0 x0 ? ,a ? 3 . 3x0 x0

10、 (2012 泰安一模)过点 A(2,3)且垂直于直线 2 x ? y ? 5 ? 0 的直线方程为 A. x ? 2 y ? 4 ? 0 C. x ? 2 y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 7 ? 0 D. x ? 2 y ? 5 ? 0

11、 (2012 烟台二模)已知倾斜角为 ? 的直线 l 与直线 x ? 2y ? 2 ? 0 平行,则 tan 2? 的 值为 A.

4 5

B.

4 3

C.

3 4

D.

2 3

答案:B 解析:依题意,得: tan ? =

1 2 tan ? 4 1 , tan 2? ? = = 。 2 1 3 2 1 ? tan ? 1? 4

【 2012 江 西 师 大 附 中 高 三 模 拟 理 】 “ a ? 3 ” 是 “ 直 线 ax ? 2 y ? 2a ? 0 和 直 线

3x ? (a ? 1) y ? a ? 7 ? 0 平行”的(
A.充分而不必要条件 C.充要条件 【答案】A



B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件

【解析】a ? 3 代入,? 直线 ax ? 2 y ? 2a ? 0 和直线 3x ? (a ? 1) y ? a ? 7 ? 0 平行,反 之 - 4 - / 13

直线 ax ? 2 y ? 2a ? 0 和 3x ? (a ? 1) y ? a ? 7 ? 0 平行 ? a(a ? 1) ? 2 ? 3 ? 2a(?a ? 7)

a ? 3 或 a ? ?2 , 所 以 “ a ? 3 ” 是 “ 直 线 ax ? 2 y ? 2a ? 0 和 直 线
3x ? (a ? 1) y ? a ? 7 ? 0 平行”的充分而不必要条件
【2012 北京师大附中高三模拟理】

2 由于 | PA |? | PC | ?1 ,故 PC 最小时 PA 最小垂直此时 CP 常这样直线直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0

| PC |?

3? 4?8| ? 3,| PA |? | PC |2 ?1 ? 2 2 ∴ 四 边 形 PACB 面 积 的 最 小 值 是 5

2 2.
【2012 厦门模拟质检理 4】直线 x+y-1=0 被圆(x+1) +y =3 截得的弦长等于 A.
2 2

2

B. 2

C.2 2

D. 4

【答案】B 【 解 析 】 求 圆 的 弦 长 利 用 勾 股 定 理 , 弦 心 距

d ? 2 , r ? 3, r 2 ? d 2 ?

l2 , l ? 2 3 ? 2 =2,选 B; 4
2 2

【2012 粤西北九校联考理 12】点 P(2 , ? 1) 为圆 ( x ? 3) ? y ? 25 的弦的中点,则该弦 所在直线的方程是____;

- 5 - / 13

【答案】 x ? y ? 1 ? 0 【解析】点 P(2 , ? 1) 为圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 25 的弦的中点,则该弦所在直线与 PC 垂直, 弦方程 x ? y ? 1 ? 0 ; 【2012 海南嘉积中学模拟理 2】直线 l 与直线 y = 1 ,直线 x = 7 分别交于 P, Q 两点,

PQ 中点为 M (1, - 1) ,则直线 l 的斜率是(
A、



1 3

B、

2 3

C、 -

3 2

D、 -

1 3

【2012 海南嘉积中学模拟理 7】直线 3x + y - 2 3 = 0 与圆 O : x2 + y 2 = 4 交于 A 、 B 两 点,则 OA?OB A、2 【答案】A 【解析】直线 3x + y - 2 3 = 0 与圆 O : x + y = 4 交于 A (1, ? 3 ) ,B(2,0) ,
2 2



) B、-2 C、4 D、-4

O AO B ?

2

【 2012 黑 龙 江 绥 化 市 一 模 理 10 】 若 圆 C: x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 关 于 直 线

2ax ? by ? 6 ? 0 对称,则由点 ( a, b) 向圆所作的切线长的最小值是(
A. 2 B. 3 C. 4 D.6



【2012 浙江瑞安模拟质检理 7】已知点 P ( x, y ) 是直线 kx ? y ? 4 ? 0(k ? 0) 上一动点,

- 6 - / 13

PA, PB 是圆 C : x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 的两条切线, A, B 为切点,若四边形 PACB 的最小面
积是 2,则 k 的值为( A.4 【答案】C 【解析】 因为四边形 PACB 的最小面积是 2, 此时切线长为 2 , 圆心到直线的距离为 5 , ) B. 2 2 C.2 D. 2

d?

5 1? k 2

? 5, k ? 2
3 且与直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 ? x ? 0 ? 上, x

【2012 泉州四校二次联考理 8】 圆心在曲线 y ? 相切的面积最小的圆的方程为( )

3? ? A. ? x ? 2 ? ? ? y ? ? ? 9 2? ?
2

2

? 16 ? B. ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? ? ? ?5?
2 2 2

2

? 18 ? C. ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? ? ? ?5?
2 2

D. x ? 3

?

? ? ? y ? 3?
2

2

?9

【2012 泉州四校二次联考理 14】已知直线 ax ? by ? c ? 0 与圆 O : x ? y ? 1 相交于 A,B 两
2 2

点,且 AB ? 3 ,则 OA ? OB ? _________.

【2012 延吉市质检理 15】 曲线C: y ?

b (a ? 0, b ? 0) 与 y 轴的交点关于原点的对称点 | x | ?a
- 7 - / 13

称为“望点”,以“望点”为圆心,凡是与曲线 C 有公共点的圆,皆称之为“望圆”,则当 a=1,b=1 时,所有的“望圆”中,面积最小的“望圆”的面积为 .

【2012 金华十校高三模拟联考理】已知点 A(?2,0), B(1, 3) 是圆 x2 ? y 2 ? 4 上的定点, 经过点 B 的直线与该圆交于另一点 C,当 ?ABC 面积最大时,直线 BC 的方程是 【答案】 x ? 1 【解析】AB 的长度恒定,故 ?ABC 面积最大,只需要 C 到直线 AB 的距离最大即可。 此时,C 在 AB 的中垂线上,AB 的中垂线方程为 y ? ;

3 3 ? ( x ? 1) 代入 x2 ? y 2 ? 4 得 2 3

C(1, ? 3) ,所以直线 BC 的方程是 x ? 1 。
【2012 金华十校高三模拟联考理】设 M(1,2)是一个定点,过 M 作两条相互垂直 的 直 线 l1 , l2 设 原 点 到 直 线 l1 , l2 的 距 离 分 别 为 d1 , d 2 , 则

d1 ? d2 的最大值是
【答案】



10

【解析】本题主要考查数形结合的思想及均值不等式 . 属于基础知识、基本运算的考查.由题意,设 O 到两条直线的 距 离 为 OC,OD , 则 四 边 形 OCMD 是 矩 形 , d12 ? d22 ? OM 2 ? 5 ,

(d1 ? d2 )2 ? 2d1d2 ? 5 ? (d1 ? d2 )2 ? 5 ? 2d1d2
因为 d1d 2 ?

d1 ? d 2 (d ? d ) 2 ? d1d 2 ? 1 2 2 4
- 8 - / 13

所以 (d1 ? d 2 ) ? 5 ?
2

(d1 ? d 2 )2 ? (d1 ? d 2 ) 2 ? 10 ? d1 ? d 2 ? 10 2

从而 d1 ? d2 的最大值是 10 【2012 年石家庄市高中毕业班教学质检 1 理】圆心在抛物线 x =2y 上,与直线 2x+2y+3=0 相切的圆中,面积最小的圆的方程为 .
2

【2012 江西师大附中高三模拟理】已知圆的半径为 10 ,圆心在直线 y ? 2 x 上,圆被直 线 x ? y ? 0 截得的弦长为 4 2 ,则圆的标准方程为

【2012 三明市普通高中高三模拟理】经过点 P(2, ?3) 作圆 x ? 2 x ? y ? 24 的弦 AB ,使得
2 2

点 P 平分弦 AB ,则弦 AB 所在直线的方程为 【答案】 x ? y ? 5 ? 0



【解析】 点 P 在圆内,则过点 P 且被点 P 平分的弦所在的直线,此直线和圆心与 B 的连 - 9 - / 13

线垂直,又圆心与 B 的连线的斜率是-1,则所求直线的斜率为 1,且过点 P(2,-3),则所 求直线方程是:x-y-5=0 【2012 黄冈市高三模拟考试理】 已知直线 ax ? y ? 2 ? 0 与双曲线 x ?
2

y2 ? 1的一条 4


渐近线平行,则这两条平行直线之间的距离是

【2012广东佛山市质检理】 如图,P 为圆 O 外一点, 由 P 引圆 O 的切线 PA 与圆 O 切于 A 点, 引圆 O 的割线 PB 与圆 O 交于 C 点 . 已知 AB ? AC , PA ? 2, PC ? 1 . 则圆 O 的面积



.

【答案】 ? 【解析】由 AB ? AC 得 BC 为圆的直径,又由切割线定理可得 PA2 ? PC ? PB , 即

9 4

22 ? 1? (1 ? 2r ) ,解得 r ?

3 9 ,故圆 O 的面积为 ? 。 2 4
( ) B. 2 x ? y ? 12 ? 0 或 2 x ? 5 y ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0 或 2 x ? 5 y ? 0

【山东省微山一中2012届高三模拟理】4.过点 (5, 2) ,且在y轴上的截距是在x轴上的截 距的2倍的直线方程是 A. 2 x ? y ? 12 ? 0 C. x ? 2 y ? 1 ? 0 答案: B 解析:考查直线方程的截距式以及截距是0的易漏点,当直线过原点时方程为 2 x ? 5 y ? 0 , 不过原点时,可设出其截距式为

x y ? ? 1再由过点 (5, 2) 即可解出. a 2a
- 10 - / 13

【唐山一中 2012 届高三模拟理】7.直线 y ? x ? b 与曲线 x ? 1 ? y 2 有且仅有一个公共 点,则 b 的取值范围是 A. | b |? 2 ( ) C. ?1 ? b ? 2 D. 2 ? b ? 1

B. ?1 ? b ? 1 或 b ? ? 2

? x ? 0, ? 【山东省日照市 2012 届高三模拟理】 (9)如果不等式组 ? y ? 2 x, 表示的平面区域是一 ?kx ? y ? 1 ? 0 ?
个直角三角形,则该三角形的面积为 (A)

1 1 或 2 5

(B)

1 1 或 2 3

(C) 或

1 5

1 4

(D) 或

1 4

1 2 1 , 2

【答案】C 解析:有两种情形: (1)直角由 y ? 2 x 与 kx ? y ? 1 ? 0 形成,则 k ? ? 三角形的三个顶点为(0,0) , (0,1) , (

2 4 1 , ) ,面积为 ; (2)直角由 x ? 0 与 kx ? y ? 1 ? 0 5 5 5 1 1 形成,则 k ? 0 ,三角形的三个顶点为(0,0) , (0,1) , ( ,1 ) ,面积为 。 2 4
【山东实验中学 2012 届高三模拟考试理】 16. 以抛物线. 的焦点为圆心, 且与双

曲线-

的两条渐近线都相切的圆的方程为_______
2 2

【答案】 ( x ? 5) ? y ? 9 【解析】解:由已知可以知道,抛物线的焦点坐标为( 5,0 ) ,双曲线的渐近线方程为

- 11 - / 13

3 y?? x 4
则所求的圆的圆心为(5,0) ,利用圆心到直线 3x-4y=0 的距离为半径 r,则有

r?

| 3? 5 ? 4 ? 0 | 32 ? 42

?3

,故圆的方程为 ( x ? 5) ? y ? 9
2 2

【黄冈中学模拟(理) 】8.若直线 ?x ? y ? a ? ? 过圆 x? ? y ? ? ? x ? ? y ? ? 的圆心,则 a 的值为 A. ? 1 ( ) B.1 C. 3 D. ? 3

【山东省青岛市 2012 届高三模拟检测 理】22. (本小题满分 14 分) 已知圆 C1 的圆心在坐标原点 O ,且恰好与直线 l1 : x ? y ? 2 2 ? 0 相切. (Ⅰ) 求圆的标准方程; (Ⅱ)设点 A( x0, y0 ) 为圆上任意一点, AN ? x 轴于 N ,若动点 Q 满足

OQ ? mOA ? nON ,(其中 m ? n ? 1, m, n ? 0, m 为常数),试求动点 Q 的轨迹方程 C2 ;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的结论下,当 m ?

3 时,得到曲线 C ,问是否存在与 l1 垂直的一条直线 l 2

与曲线 C 交于 B 、 D 两点,且 ?BOD 为钝角,请说明理由. 【答案】22. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)设圆的半径为 r ,圆心到直线 l1 距离为 d ,则 d ?
2 2

| ?2 2 | 12 ? 12

? 2 …………2 分

所以圆 C1 的方程为 x ? y ? 4 ……………………………………………………3 分 (Ⅱ)设动点 Q( x, y ) , A( x0, y0 ) , AN ? x 轴于 N , N ( x0 ,0) 由题意, ( x, y) ? m( x0 , y0 ) ? n( x0 ,0) ,所以 ?

? x ? (m ? n) x0 ? x0 ………………5 分 ? y ? my0

? x0 ? x x2 y2 1 ? 2 2 A ( x , y ) ? ? 1 ………………7 分 即: ? ,将 代入 , 得 x ? y ? 4 1 2 2 m 4 4 m y ? y 0 ? m ? 0 2
0 9 0 5 1 0 0 - 12 - / 13 9 0 5

- 13 - / 13


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