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【高考领航】2015人教数学(理)总复习 第03章 三角函数、解三角形3.4三角函数的图象和性质Word版含解析]

时间:2015-04-08

第 4 课时

三角函数的图象和性质

1.能画出 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的图象,了解三角函 数的周期性. 2. 理解正弦函数、 余弦函数在区间[0, 2π ]上的性质(如单调性、 最 大 值和 最 小值以 及与 x 轴的 交点 等 ) , 理解 正切函 数 在区 间
? π π? ?- , ?内的单调性. 2? ? 2

[对应学生用书 P54]

【梳理自测】 1.(教材改编)函数 y=|sin x|的一个单调增区间是( )

A.?- , ? C.?π ,
? ?

?

π ? 4

π? 4?

B.? ,
?4



3π ? ? 4 ?

3π ? ? 2 ?

D.?

?3π ? 2

,2π ?
? ? ?

?

2.(教材习题改编)设函数 f(x)=sin?2x- 是( ) A.最小正周期为π 的奇函数 B.最小正周期为π 的偶函数 C.最小正周期为 D.最小正周期为 3.y=sin?x-
? ?

π? ?,x∈R,则 f(x) 2?

π 的奇函数 2 π 的偶函数 2 )

π? ?的图象的一个对称中心是( 4? B.?-
? ? 3π ,0? 4 ? ?

A.(-π ,0)
?3π ? ,0 ? C.? ? 2 ?

?π ? D.? ,0? ?2 ?

?π ? 4.(教材精编题)函数 y=tan? -x?的定义域为________. ?4 ?

5.函数 y=cos?x-
?

?

? π? π? ?,x∈?0, ?的值域为________. 3? 3? ?

答案:1.C
? ? ? ?

2.B

3.B
?1 ? 5.? ,1? ?2 ?

4.?x?x≠kπ -

π? ?(k∈Z) 4?

◆以上题目主要考查了以下内容: (1)三角函数的图象和性质 函数

y=sin x

y=cos x

y=tan x

图象

{x|x∈R 且 x≠ 定义域

x∈R
[-1,1] 在

x∈R
[-1,1]

π +kπ ,k∈Z 2 R

值域

? π π , 2 k π ] , k ?- +kπ , 在 ∈Z 上递增; 2 ?

错误!错误!,k

在[(2k-1)

单调性


?π ? +2 k π , ?2
错误!,k∈Z

∈Z 上递增; 在 [2kπ ,(2k+ 1)π ],k∈Z 上递减

? π +kπ ?,k 2 ?

∈Z 上递增

上递减

x= +2kπ
(k∈Z)时, 最值

π 2

x=2kπ
(k∈Z)时,ymax =1;x=π + 2kπ (k∈Z) 时,ymin=-1 无最值

ymax=1;x=
π - +2 k π 2 (k∈Z)时,

ymin=-1
奇偶性 对 称 对称 性 中 心 对 称 轴 周期 (2)周期性 ①一般地,对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时, 都有 f(x+T)=f(x), 那么函数 f(x)就叫 做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期. ②对于一个周期函数 f(x),如果在它所有的周期中存在一个最 小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期. ③函数 y=Asin(ω x+φ ),x∈R 及函数 y=Acos(ω x+φ ); (kπ , 0)k∈Z
? ? π ?kπ + ,0? 2 ? ? ?kπ ? ? ,0?,k∈Z ? 2 ?







(k∈Z) π 2

x =k π +

x=kπ (k∈Z)



(k∈Z) 2π 2π π

x∈R(其中 A、ω 、φ 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T=

2π . ω

【指点迷津】 1.一点提醒 求函数 y=Asin(ω x+φ )的单调区间时,应注意 ω 的符号,只 有当 ω >0 时,才能把 ω x+φ 看作一个整体,代入 y=sin t 的相 应单调区间求解,否则将出现错误. 2.两类点

y=sin x,x∈[0,2π ],y=cos x,x∈[0,2π ]的五点是:零
点和极值点(最值点). 3.求周期的三种方法 ①利用周期函数的定义.f(x+T)=f(x) ②利用公式:y=Asin(ω x+φ )和 y=Acos(ω x+φ )的最小正 2π π 周期为 ,y=tan(ω x+φ )的最小正周期为 . |ω | |ω | ③利用图象.图象重复的 x 的长度.

[对应学生用书 P55]

考向一

三角函数的定义域、值域

(1)函数 y=

1 的定义域为________. tan x- 3

? π? (2)求函数 y=cos2x+sin x?|x|≤ ?的最大值与最小值. 4? ?

【审题视点】

(1)使分母及 tan x 都有意义的 x 值.

(2)换元,设 t=sin x 转化二次函数最值. π ? ?x≠kπ+ 2 ,k∈Z (1)由已知得? , ? ?tan x≠ 3

【典例精讲】

π x≠kπ+ ? ? 2 ∴? ,k∈Z. π ? ?x≠kπ+ 3 ∴所求函数定义域为
? ? ? π π ?x?x≠kπ+ 且x≠kπ+ ,k∈Z?. 2 3 ? ? ?

(2)函数变为 y=1-sin2x+sin x.
? ? π? 2 2? 设 t=sin x,?|x|≤ ?,∴t∈? . - , ? ? 4 2 2? ? ? ? ?

? 1?2 5 函数变为 f(t)=-t2+t+1=-?t- ? + 2? 4 ?

1 1 π 5 ∴当 t= ,即 sin x= ,x= 时,ymax= . 2 2 6 4 当 t=- 2 π 1 2 ,即 x=- 时,ymin= - . 2 4 2 2 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角

【类题通法】

不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解. (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目: ①形如 y=asin x+bcos x+c 的三角函数,化为 y=Asin(ω x +φ )+k 的形式,再求最值(值域); ②形如 y=asin2x+bsin x+c 的三角函数,可先设 sin x=t, 化为关于 t 的二次函数求值域(最值); ③形如 y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c 的三角函数,可 先设 t=sin x±cos x,化为关于 t 的二次函数求值域(最值).

1.(2014·北京市海淀区高三调研)已知函数 f(x)=2-( 3sin

x-cos x)2.
?π ? (1)求 f? ?的值和 f(x)的最小正周期; ?4?

(2)求函数 f(x)在区间[-

π π , ]上的最大值和最小值. 6 3

解析:(1)因为 f(x)=2-( 3sin x-cos x)2 =2-(3sin2x+cos2x-2 3sin xcos x) =1-2sin2x+ 3sin 2x =cos 2x+ 3sin 2x

=2sin(2x+

π ), 6

π π π 2π 所以 f( )=2sin(2× + )=2sin = 3, 4 4 6 3 所以 f(x)的最小正周期为 T= (2)当 x∈[- (2x+ 2π =π. 2

π π π 2π , ]时,2x∈[- , ], 6 3 3 3

π π 5π )∈[- , ], 6 6 6 π π 时,函数取得最小值 f(- )=-1, 6 6

所以当 x=- 当 x=

π π 时,函数取得最大值 f( )=2. 6 6 考向二 三角函数的单调性

? π? (1)函数 y=cos?2x+ ?的单调递增区间为________; 6? ? ?π ? (2)已知函数 y=sin? -2x?,求函数在[-π ,0]上的单调递减 ?3 ?

区间.
?π ? ? π? π 【审题视点】 把 sin? -2x?变为-sin?2x- ?视 2x+ 、2x 3? 6 ?3 ? ?

π - 为一个整体, (并注意定义域)使之落在正、 余弦的单调区间内求 3

x 的区间.
【典例精讲】 (1)设 u=2x+ π ,则 y=cos u, 6

当 2kπ-π≤u≤2kπ(k∈Z)时,

y=cos u 随 u 的增大而增大.

又∵u=2x+

π 随 x 的增大而增大(x∈R), 6 π ≤2kπ(k∈Z), 6

∴当 2kπ-π≤2x+ 即 kπ-

7 π π≤x≤kπ- (k∈Z)时,y 随 x 的增大而增大, 12 12

? π? ∴y=cos?2x+ ?的单调递增区间为: 6? ? ? 7 π? ?kπ- π,kπ- ?(k∈Z). 12 12? ? ?π ? ? π? (2)由 y=sin? -2x?可化为 y=-sin?2x- ?. 3? ?3 ? ?

令 2kπ- 得 kπ-

π π π ≤2x- ≤2kπ+ , k∈Z, 2 3 2

π 5π ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12

?π ? 所以 x∈R 时,y=sin? -2x?的减区间为 ?3 ? ? π 5 π? ?kπ- ,kπ+ ?,k∈Z. 12 12 ? ?

从而 x∈[-π,0]时,

y=sin? -2x?的减区间为?-π,-
?3 ? ?



?

?

? 7π? ? π ?,?- ,0?. 12 ? ? 12 ?

【类题通法】

(1)代换法:求形如 y=Asin(ω x+φ )+k 的单

调区间时,只需把 ω x+φ 看作一个整体代入 y=sin x 的相应单调 区间内即可,若 ω 为负则要先把 ω 化为正数. (2)图象法 函数的单调性表现在图象上是: 从左到右, 图象上升趋势的区间 为单调递增区间, 图象下降趋势的区间为单调递减区间, 如果能画出

三角函数的图象,那它的单调区间就直观明了了.

2.(1)y=tan?2x-
?

?

π? ?的单调递增区间为________. 3?

?π ? (2)已知函数 f(x)=sin x+ 3cos x,设 a=f? ?,b= ?7?

f? ?,c=f? ?,则 a,b,c 的大小关系是(
?6? ?3?

?π ?

?π ?

)

A.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a

B.c<a<b

解析:(1)由 kπ- π 6 -

π π π <2x- <kπ+ (k∈Z)得, 2 3 2 5π (k∈Z), 6 12 (k∈Z),

kπ- <2x<kπ+


kπ π
2 12

<x<

kπ 5π
2 +

故函数的单调增区间为? 区间.

?kπ

π kπ 5π ? ? (k∈Z),无单调减 - , + 12 2 12 ? ? 2

? π? (2)f(x) = sin x + 3cos x = 2sin ?x+ ? ,因为函数 f(x) 在 3? ? ? ?π? ?π? π? ?0, ?上单调递增,所以 f? ?<f? ?,而 c= 6? ? ?7? ?6?

f? ?=2sin
?3?

?π?

?π? 2π π =2sin =f(0)<f? ?, 3 3 ?7?

所以 c<a<b. 答案:(1)?
?kπ ? 2



π kπ 5π ? ?(k∈Z) (2)B , + 12 2 12 ? 三角函数的奇偶性、周期性、对称性

考向三

(1)(2014· 泉州模拟 ) 已知 f(x) = cos( 3 x + φ ) - 3 sin( 3x+φ )为偶函数,则 φ 可以取的一个值为( A. π 6 π B. 3 π 6 π D.- 3 )

C.-

(2)(2014· 湖南六校联考 ) 若函数 f(x) = asin ω x + bcos ω

x(0<ω <5, ab≠0)的图象的一条对称轴方程是 x=

π , 函数 f′(x) 4ω

?π ? 的图象的一个对称中心是? ,0?, 则 f(x)的最小正周期是________. ?8 ?

【审题视点】

(1)利用 f(-x)=f(x)恒成立求 φ .

(2)利用对称轴、对称中心及周期公式求解. 【典例精讲】
? ?

(1)由已知得
? ?

f(x)=2cos? 3x+?φ + ??,
则 2cos? 3x+?φ +
? ? ? ? ? ? π? ? π?? ??=2cos?- 3x+?φ + ??恒成立,展开 3 ?? 3 ?? ? ?

π?? 3 ??

得 sin 3xsin(φ + sin?φ +
? ?

π )=0 恒成立,故 3

π? ?=0 恒成立,只有选项 D 符合. 3?

?π? ?=± a2+b2, (2)由题设,有 f? ?4ω?



2 (a+b)=± a2+b2,由此得到 a=b. 2

?π? 又 f′? ?=0, ?8?

所以 aω ?cos
?

?

ωπ
8

-sin

ωπ?
8 ?

?= 0,

从而 tan

ωπ
8

=1,

ωπ

π =kπ+ ,k∈Z,即 ω =8k+2,k∈Z, 8 4

而 0<ω <5,所以 ω =2,于是 f(x)=a(sin 2x+cos 2x) = 2asin?2x+
? ?

π? ?, 4?

故 f(x)的最小正周期是π. 【答案】 (1)D (2)π

【类题通法】

(1)三角函数的奇偶性的判断技巧

首先要知道基本三角函数的奇偶性, 再根据题目去判断所求三角 函数的奇偶性;也可以根据图象做判断. (2)三角函数的对称性 正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切 函数的图象只是中心对称图形,y=sin x,y=cos x 的对称轴通过 它们的极值点,对称中心是图象的零点.

y=tan x 的对称中心是它的零点或间断点.

3 . (1)(2014· 石家庄高三模拟 ) 已知函数 f(x) = |sin(2x - π )|,下面说法正确的是( 6 A.函数的周期为 π 4 π 3 )

B.函数图象的一条对称轴方程为 x=

2π 5π C.函数在区间[ , ]上为减函数 3 6 D.函数是偶函数

解析:选 B.若 x= ∴x=

π ,则 f(x)=1, 3

π 是函数图象的一条对称轴,故选 B. 3

(2)(2014·荆州市高三质检)函数 y=sin(ω x+φ )(ω >0, 0< 3π φ <π )的最小正周期为π ,且函数图象关于点(- ,0)对称,则 8 函数的解析式为________. 解析:由题意知最小正周期 T=π= ∴ω=2,2×(- ∴φ=kπ+ 3π )+φ =kπ, 8 2π

ω



3π 3π ,又 0<φ <π,∴φ= , 4 4 3π ). 4

∴y=sin(2x+

3π 答案:y=sin(2x+ ) 4

[对应学生用书 P56]

三角函数单调性忽视 x 的系数致错

?π 2x? 1 求函数 y= sin? - ?的单调区间为________. 2 ?4 3?

【正解】

?2x π? 1 2x π 原函数变形为 y=- sin? - ?,令 u= - , 4? 2 3 4 ?3

则只需求 y=sin u 的单调区间即可. ∴y=sin u 在 2kπ-

π 2x ≤u= 2 3

π π 3π 9π - ≤2kπ+ (k∈Z), 即 3kπ- ≤x≤3kπ+ (k∈Z)上单调 4 2 8 8 递增;y=sin u 在 2kπ+ π+ π 2x π 3π ≤u= - ≤2kπ+ (k∈Z),即 3k 2 3 4 2

9π 21 ≤x≤3kπ+ π(k∈Z)上单调递减. 8 8
?π 2x? ? 3π 9π ? 1 ? 故 y = sin ? - ? 的 递 减 区 间 为 ?3kπ- ,3kπ+ 3? 8 8 ? 2 ?4 ?

(k∈Z),递增区间为?3kπ+
? ? ?

?

9π 21π? ?(k∈Z). ,3kπ+ 8 8 ? 3π 9π ? ?(k∈Z),递增区 ,3kπ + 8 8 ?

【答案】 递减区间为?3kπ - 间为?3kπ +
? ?

9π 21π ? ?(k∈Z) ,3kπ + 8 8 ?

【易错点】 由于受思维定式影响, 本题容易出现仍然按照函数

y=Asin(ω x+φ )(ω >0)的单调区间的判断方法进行,如认为当 x
满足 2kπ- π π 2 π ≤ - x≤2kπ+ (k∈Z)时函数单调递增,就会求 2 4 3 2

错函数的单调区间. 【警示】 (1) 对于其它形式的三角函数,首先要变换到 y =

Asin(ω x+φ )或 y=Acos(ω x+φ ),y=Atan(ω x+φ )(ω >0)才
可. (2)求单调区间要注意定义域.

1.(2013·高考浙江卷)已知函数 f(x)=Acos(ω x+φ )(A>0, ω >0,φ ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ = A.充分不必要条件 C.充分必要条件 π ”的( 2 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 π ,再判断由 2

解析:选 B.先判断由 f(x)是奇函数能否推出 φ = φ= π 能否推出 f(x)是奇函数. 2

π 若 f(x)是奇函数,则 f(0)=0,所以 cos φ=0,所以 φ = + 2

kπ(k∈Z),故 φ = 不成立;
若 φ=
? π? π ,则 f(x)=Acos?ωx+ ?=-Asin(ω x),f(x)是奇 2? 2 ?

π 2

π 函数.所以 f(x)是奇函数是 φ = 的必要不充分条件. 2 2 . (2012· 高 考 课 标 全 国 卷 ) 已 知 ω > 0 , 函 数 f(x) = sin?ω x+
? ? ? π ? ?π ?在? ,π ?单调递减,则 ω 的取值范围是( 4? ?2 ? ?1 3? B.? , ? ?2 4?

)

?1 5? A.? , ? ?2 4? ? 1? C.?0, ? 2? ?

D.(0,2] π ωπ π π π <x<π得 + <ω x+ <ω π+ , 2 2 4 4 4

解析:选 A.由

ωπ π π ? ? 2 +4≥2, ?π 3 ? 又 y=sin α在? , π?上递减,所以? ?2 2 ? π 3 ω π+ ≤ π, ? ? 4 2
1 5 解得 ≤ω≤ ,故选 A. 2 4 3.(2013·高考全国大纲卷)已知函数 f(x)=cos xsin 2x,下 列结论中错误的是( )

A.y=f(x)的图象关于点(π ,0)中心对称 π B.y=f(x)的图象关于直线 x= 对称 2 C.f(x)的最大值为 3 2

D.f(x)既是奇函数,又是周期函数 解析:选 C.逐项分析检验,确定答案. A 项,因为 f(2π-x)=cos(2π-x)sin(4π-2x) =cos(-x)sin(-2x)=-cos xsin 2x=-f(x), 所以 y=f(x)的图象关于点(π,0)中心对称,故正确. B 项,因为 f(π-x)=cos(π-x)sin(2π-2x) π =cos xsin 2x=f(x), 所以 y=f(x)的图象关于直线 x= 对称, 2 故正确. C 项,f(x)=cos xsin 2x=2sin xcos2x=2sin x(1-sin2x)= -2sin3x+2sin x,令 sin x=t,则 t∈[-1,1],f(x)的最大值问 题转化为求 h(t)=-2t3+2t 在 t∈[-1,1]上的最大值.h′(t)= -6t2+2,令 h′(t)=0,得 t=- 3 3 或 ,经计算比较得最大值为 3 3

h? ?

? 3? 4 3 ? ?= 9 ,故错误. ? 3 ?

D 项,由 f(-x)=cos(-x)sin(-2x)=-cos xsin 2x=-f(x) 知其为奇函数,综合选项 A、B 知 f(x)为周期函数,故正确. 4.(2013·高考江西卷)函数 y=sin 2x+2 3sin2x 的最小正周 期 T 为________. 解析:由于 y=sin 2x+2 3sin2x =sin 2x+ 3(1-cos 2x) =sin 2x- 3cos 2x+ 3 =2sin?2x-
? ?

π? ?+ 3, 3?

∴T=

2π =π. 2

答案:π


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