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高考数学复习点拨 用基本不等式证题的技巧与策略

时间:2016-04-25

用基本不等式证题的技巧与策略
在使用基本不等式证明问题时, 根据所证不等式的结构, 常常需要配合一定的变形技巧 与转化策略,才可以使用基本不等式把问题.现举例说明如下.

一、凑项 在凑“和”或“积”为定值时,还需要注意凑“等号”成立,此时必须合理 凑项. 例1 ≤ 21 . 分析:考虑等号成立的条件时,必须注意 a、b、c 在问题中的对称地位,即
1 7 只有 a = b = c = 时,才有可能达到最值,而此时 4a + 1 = 4b + 1 = 4c + 1= . 3 3

设 a、 b、 c 均为正数, 且 a + b + c = 1, 求证: 4a ? 1 + 4b ? 1 + 4c ? 1

证明:∵ 4a ? 1 =

7 3 3 · (4a ? 1) ? ≤ · 3 7 7
4b ? 1 ? 2

4a ? 1 ? 2

7 3,

3 同理 4b ? 1 ≤ · 7

7 7 4c ? 1 ? 3 3 , 4c ? 1 ≤ 3 . · 7 2

∴ 4a ? 1 + 4b ? 1 + 4c ? 1 ≤

3 1 · [4(a + b + c) + 3 + 7] = 21 . 7 2
7 1 ,即 a = b = c = 时,上式“=” 3 3

当且仅当 4a + 1 = 4b + 1 = 4c + 1= 号成立. 二、配项

在使用基本不等式时,若能巧妙地添式配项,就可以把问题转化. 例2 已知 a 1 ,a 2 ,?,a n 均为正数,且 a 1 + a 2 + ? + a n = 1,求证:

2 2 an a12 a2 1 + + ? + ≥ . a1 ? a 2 a n ? a1 2 a 2 ? a3

2 a1 ? a 2 a12 a2 证明:因 a 1 ,a 2 ,?,a n 均为正数,故 + ≥a 1 , + 4 a1 ? a 2 a 2 ? a3

a 2 ? a3 ≥a 2 , 4
2 a ? a1 an ??, + n ≥a n . a n ? a1 4

又因

a ? a3 a ? a1 1 a1 ? a 2 1 + 2 + ? + n = ( a1 + a 2 + ? + a n ) = , 4 4 4 2 2

所以,把以上各同向不等式相加,得:
2 2 an a12 a2 1 + + ? + + ≥a 1 + a 2 + ? + a n = 1 . a1 ? a 2 a n ? a1 2 a 2 ? a3 2 2 an a12 a2 1 + + ? + ≥ . a1 ? a 2 a n ? a1 2 a 2 ? a3



三、构造 根据问题的整体结构,用基本不等式构造对偶式,然后经过某些运算,促使 问题的转化与解决. 例3 已知 a 1 ,a 2 ,?,a n 均为实数,且 a 1 + a 2 + ? + a n = A (A>0),

2 2 a1 + a2 2+ ? + an=

A2 2A (n ? N,n≥2) ,求证:0≤a k ≤ . ( k =1,2,?, n n?1

n) 证明:构造基本不等式如下:

A ? a1 A ? a1 2 A ? a1 A ? a1 2 1 1 · a 2 ≤ [( ) + a2 · a 3 ≤ [( ) + 2 ], n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 2 2
2 a3 ],??,

A ? a1 A ? a1 2 1 · a n ≤ [( ) + a2 n ] . n ?1 n ?1 2

将上述(n-1)个同向不等式相加得:

A ? a1 n ?1 1 2 2 ( a 2 + a 3 + ? + a n )≤ [ (A-a 1 ) 2 + a 2 2 + a 3 + ? + a n ], 2 n ?1 2 (n ? 1)

2A . n

( A ? a1 ) 2 A2 1 ( A ? a1 ) 2 2 2 ≤ [ + -a 1 ] ? na 1 -2a 1 A≤0, ? 0≤a 1 ≤ n ?1 n ?1 2 n?1

同理可求得 0≤a k ≤ 四、平方

2A . ( k =1,2,?,n) n

通过平方运算, 一可以把和(积)凑成定值, 二可以把和(积)问题转化为积(和) 问题. 例4 ≤3 3 . 证明:∵( 2a ? 1 + 2b ? 1 + 2c ? 1 ) 2 = 2a + 1 + 2b + 1 + 2c + 1 +2 (2a ? 1)(2b ? 1) +2 (2b ? 1)(2c ? 1) + 2 (2c ? 1)(2a ? 1) ≤2(a + b + c) + 3 + (2a + 1) + (2b + 1) + (2b + 1) + (2c + 1) + (2c + 1) + (2a + 1) = 6(a + b + c) + 9 = 27. ∴ 2a ? 1 + 2b ? 1 + 2c ? 1 ≤3 3 . 五、引参 通过巧妙地引入参数,把问题转化成基本不等式结构,使参数在用不等式证 题过程中起到一个桥梁作用. 例5 ≤4 3 . 证明:引入待定正参数 t ,
1 2 (t + 13a + 1) ①, 2 1 同理 t 13b ? 1 = t 2 (13b ? 1) ≤ (t 2 + 13b + 1) ②, 2 1 t 13c ? 1 = t 2 (13c ? 1) ≤ (t 2 + 13c + 1) ③。 2
+ 已知 a、b、c? R ,a + b + c = 1,,求证: 13a ? 1 + 13b ? 1 + 13c ? 1

若 a、b、c ? R+,a + b + c =3,求证: 2a ? 1 + 2b ? 1 + 2c ? 1

∵t 13a ? 1 = t 2 (13a ? 1) ≤

① + ② + ③得: t( 13a ? 1 + 13b ? 1 + 13c ? 1 )≤ 8 . ∵t>0 ,∴ 13a ? 1 + 13b ? 1 + 13c ? 1 ≤
3 8 t + . ④ 2 t 1 3 (3t 2 + 13a + 13b + 13c + 3) = t 2 + 2 2

由于 t>0 ,则

3t 8 3 8 ? = 3 3. t + ≥2 2 t 2 t
4 3 时,④式取等号, 3

当且仅当 t = 13a ? 1 = 13b ? 1 = 13c ? 1 ,即 t =

将t =

4 3 代入④得: 13a ? 1 + 13b ? 1 + 13c ? 1 ≤4 3 . 3

六、换元 通过换元,把生疏的结构转化为基本不等式形式,使证题思路自然、简捷. 例6 + a-b). 证明:设 m = b + c-a,n = c + a-b,p = a + b-c,则由三角形两边 之和大于第三边,得 m>0,n>0,p>0,且 a = 于是 abc =
n?p m?p n? m , b= ,c = . 2 2 2

已知 a、b、c 为△ABC 三边的长,求证:abc≥(a + b-c)(b + c-a)( c

n?p m?p n? m · · ≥ np · mp · mn = mnp = (a + b- 2 2 2

c)(b + c-a)( c + a-b). 七、配对 根据已知不等式的某一边结构,给其配上一个与之对称的代数式,然后将两 个代数式联立再使用基本不等式,完成不等式的证明. 例7 设 a 1 ,a 2 ,?,a n 和 b 1 ,b 2 ,?,b n 均为正数,且 a 1 + a 2 + ? + a n =
2 2 an a12 a2 1 + + ? + ≥ ( a1 + a 2 + ? a1 ? b1 2 a 2 ? b2 a n ? bn

b 1 + b 2 + ? + b n ,求证: + a n ). 证明:设 M =

2 2 an a12 a2 + + ? + , a1 ? b1 a 2 ? b2 a n ? bn

2 2 bn b12 b2 给 M 配对:N = + + ? + . a1 ? b1 a 2 ? b2 a n ? bn 2 2 a 2 ? bn a12 ? b12 a 2 ? b2 + 2 + ? + n a1 ? b1 a 2 ? b2 a n ? bn

则 M-N =

= (a 1 -b 1 ) + (a 2 -b 2 ) + ? + (a n -b n )

= (a 1 + a 2 + ? + a n )-(b 1 + b 2 + ? + b n ) = 0 . ∴M = N . 当注意到 a 2 + b 2 ≥ M + N =
1 (a + b) 2 和 a 1 + a 2 + ? + a n = b1 + b 2 + ? + b n 得: 2

2 2 a 2 ? bn a12 ? b12 a 2 ? b2 + 2 + ? + n a1 ? b1 a 2 ? b2 a n ? bn

1 1 1 (a 1 + b 1 ) + (a 2 + b 2 ) + ? + (a n + b n ) 2 2 2 1 1 = (a 1 + a 2 + ? + a n ) + (b 1 + b 2 + ? + b n ) 2 2



= a1+ a 2 + ? + a n .
2 2 an a12 a2 1 由 M = N,所以 + + ? + ≥ ( a 1 + a 2 + ? + a n ). a1 ? b1 2 a 2 ? b2 a n ? bn

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