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【数学】广东各地2012年前高考数学联考试题分类汇编(3)数列

时间:2012-04-27


年高考数学最新联考试题( 广东省各地市 2010 年高考数学最新联考试题(3 月-6 月)分类汇编 部分:数列 第 3 部分 数列
一、选择题: 选择题 4 . 广 东 省 惠 州 市 2010 届 高 三 第 三 次 调 研 理 科 ) 等 差 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 2010 (

S n , 若a2 + a8 + a11 = 30 ,那么 S13 值的是
A.130 B.65 C.70 D.以上都不对

( A



7. 广东省惠州市 2010 届高三第三次调研文科)设等比数列 {an } 的公比 q = 2 , 前 n 项和 ( 2010 届高三第三次调研文 为 Sn ,则 A. 2

S4 =( a2

) B. 4 C.

15 2

D.

17 2

【答案】C

4. 2010 年广东省 揭阳市高考一模试题理科)数列 {an } 是公差不为 0 的等差数列,且 (2010 年广东省揭阳市高考一模试题理科) 揭阳市高考一模试题理科

a1 , a3 , a7 为等比数列 {bn } 的连续三项,则数列 {bn } 的公比为
A. 2 【答案】C 【 解 析 】 设 数 列 {an } 的 公 差 为 d ( d ≠ 0 ) , 由 a3 = a1a7 得
2

B.4

C.2

D.

1 2

(a1 + 2d ) 2 = a1 (a1 + 6d ) ? a1 = 2d
故q =

a3 a1 + 2d 2a1 = = = 2 ,选 C. a1 a1 a1

2. 2010 年广东省揭阳市高考一模试题 文 科 ) 已知数列 {an } 是等比数列,且 a1 = (2010 年广东省揭阳市高考一模试题文

1 , 8

a4 = ?1 ,则 {an } 的公比 q 为
A.2 【答案】C 【解析】由 B.-

1 2

C.-2

D.

1 2

a4 = q 3 = ?8 ? q = ?2 ,故选 C. a1

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7. 广东省佛山市顺德区 2010 年 4 月普通高中毕业班质量检测试题理科)甲、乙两间工厂 (广东省佛山市顺德区 月普通高中毕业班质量检测试题理科) 的月产值在 08 年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值. 乙以后每个月比 前一个月增加产值的百分比相同.到 08 年 11 月份发现两间工厂的月产值又相同.比较甲、 乙两间工厂 08 年 6 月份的月产值大小,则有( C A. 甲的产值小于乙的产值 C. 甲的产值大于乙的产值 ) B. 甲的产值等于乙的产值 D.不能确定

8. 2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题)如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼 ( 广州市 一模数学理科试题 年 月广东省广州 高三一模数学理科试题) 兹调和三角形”, 它们是由整数的倒数组成的,第 n 行有 n 个数且两端

1 ( n≥2 ) ,每个数是它下一行左右相邻两数 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ,…, 的和,如 = + , = + , = + 1 2 2 2 3 6 3 4 12
的数均为 则第10行第4个数(从左往右数)为( B )

1 1260 1 C. 504
A.

1 840 1 D. 360
B.

10. 2010年3月广东省广州市高三一模数学文科试题)如图3所示的三角形数阵叫“莱布尼 ( 广州市 一模数学文 年 月广东省广州 高三一模数学 科试题) 兹调和三角形”, 它们是由整数的倒数组成的,第 n 行有 n 个数且两端的数均为 下一行左右相邻两数 的和,如 =

1 ( n≥2 ) ,每个数是它 n

1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 + , = + , = + ,…, 2 2 2 3 6 3 4 12 1 105 1 D. 42
B.

则第7行第4个数(从左往右数)为( A )

1 140 1 C. 60
A.

6. 广东省深圳高级中学 2010 届高三一模理科)数列 {an } 前 n 项和为 S n ,已知 a1 = ( 届高三一模理科)

1 , 3

且对任意正整数 m, n ,都有 am+ n = am ? an ,若 S n < a 恒成立则实数 a 的最小值为( A )

1 A. 2

B.

2 3

C.

3 2

D.2

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4.(2010 年 3 月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已知点 An ( n , an ) n ∈ N*) ( 广东省深圳市高三年级第一次调研考试 深圳市高三年级第一次调研考试文 ( 都在函数 y = a x ( a > 0, ≠ 1 )的图象上,则 a3 + a7 与 2a5 的大小关系是( A ) a A. a3 + a7 > 2a5 B. a3 + a7 < 2a5 C. a3 + a7 = 2a5 D. a3 + a7 与 2a5 的大小与 a 有关
二、填空题:

9. (广东省惠州市 2010 届高三第三次调研理科) 为确保信息安全,信息需加密传输,发 2010 届高三第三次调研理科)
送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则如图所示,例如, 明文 1, 2,3, 4 对应密文 5, 7,18,16 . 当接收方收到密文 14,9, 23, 28 时, 则解密得
开始

到的明文为 【答案】 6, 4,1, 7

.
输入 a,b,c,d

m = a + 2b n = 2b + c p = 2c + 3d q = 4d
输出 m,n,p,q

【解析】 d = 28 ? d = 7, 2c + 3d = 23 ? c = 1, 2b + c = 9 ? b = 4, a + 2b = 14 ? a = 6 4 【考点定位】本题考查实际应用能力等数学基本能力。 【备考要点】复习时,要加强新的信息与创新题,高考中几乎年年必有。

9. (广东省佛山市顺德区 2010 年 4 月普通高中毕业班质量检测试题理科)在等比 月普通高中毕业班质量检测试题理科) 广东省佛山市顺德区
数列 {an } 中,若 a1a2 a3 = 2 , a2 a3 a4 = 16 , 则公比 q =

结束 第 9 题图

2

9. 2010 年 3 月广东省广州市高三一模数学理科试题)在等比数列 {an } 中, a1 = 1 ,公比 广东省广州 高三一模数学理科试题 广州市 一模数学理科试题) (

q = 2 ,若 {an } 前 n 项和 S n = 127 ,则 n 的值为

7



9.(2010 年 3 月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科)设等差数列 {a n } 的前 n 项和 广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科 深圳市高三年级第一次调研考试理科) (
为 S n ,若 S 9 = 81 ,则 a 2 + a 5 + a8 =

27



三、解答题 21. 2010 年 3 月广东省广州市高三一模数学理科试题) 本小题满分 14 分) 广东省广州 高三一模数学理科试题 (本小题满分 广州市 一模数学理科试题) ( 设数列

{an }

的 前 n 项 和 为 S n , 且 对 任 意 的 n ∈ N , 都 有 an > 0 ,
*

Sn = a13 + a23 + L + an 3 .
(1)求 a1 , a2 的值;

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(2)求数列 {an } 的通项公式 an ; (3)证明: a2 n +1≥a2 n + a2 n ?1 .
n n n

21. 本小题满分 14 分) (本小题满分 本小题主要考查数列 不等式、二项式定理等知识 考查化归与转化的数学思想方法, 主要考查数列、 等知识, (本小题主要考查数列、不等式、二项式定理等知识,考查化归与转化的数学思想方法, 以及抽象概括能力 运算求解能力和创新意识 抽象概括能力、 和创新意识) 以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识 (1)解:当 n = 1 时,有 a1 = S1 = 解 由于 an > 0 ,所以 a1 = 1 . 当 n = 2 时,有 S 2 =
3 3 a13 + a2 ,即 a1 + a2 = a13 + a2 ,

a13 ,

将 a1 = 1 代入上式,由于 an > 0 ,所以 a2 = 2 .

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证明 2:要证 a2 n +1≥a2 n + a2 n ?1 , :
n n n

只需证 ( 2n + 1) ≥ ( 2n ) + ( 2n ? 1) ,
n n n

1 ? 1 ? ? ? 只需证 ? 1 + ? ≥1 + ?1 ? ? , ? 2n ? ? 2n ?
只需证 ? 1 +

n

n

? ?

1 ? ? 1 ? ? ? ?1 ? ? ≥1 . 2 n ? ? 2n ?
n n

n

n

1 ? ? 1 ? ? 由于 ? 1 + ? ? ?1 ? ? ? 2n ? ? 2n ?

2 3 2 3 ? 0 ? ? 0 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 2? 1 ? 2? 1 ? = ?Cn + C1 ? ? + Cn ? ? + C3 ? ? + L? ? ?Cn-C1 ? ? + Cn ? ? -C3 ? ? + L? n n n n ? 2n ? ? 2n ? ? 2n ? ? 2n ? ? 2n ? ? 2n ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? 1 ? = 2 ?C1 ? ? + C3 ? ? + C5 ? ? + L? n n n ? 2n ? ? 2n ? ? ? 2n ? ? ? ? 5 ? 3 ? 1 ?3 ? 5 ? 1 ? = 1 + 2 ?C n ? ? + C n ? ? + L? ≥1 . ? 2n ? ? ? 2n ? ? ? ?

因此原不等式成立. 21. 2010年3月广东省广州市高三一模数学文科试题) 本小题满分 分) 广州市 一模数学文 (本小题满分 ( 年 月广东省广州 高三一模数学 科试题) 本小题满分14分 已 知 数 列

{an }

满 足 对 任 意 的 n∈N

*

, 都 有 an > 0 , 且

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a13 + a2 3 + L + an 3 = ( a1 + a2 + L + an ) .
2

(1)求 a1 , a2 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式 an ; (3)设数列 ?

?

1 ? 1 ? 的前 n 项和为 Sn ,不等式 S n > log a (1 ? a ) 对任意的正整数 n 3 ? an an + 2 ?

恒成立,求实 数 a 的取值范围. 21. 本小题满分 分) (本小题满分 本小题满分14分 本小题主要考查数列通项、求和与不等式等知识 考查化归与转化的数学思想方法, 主要考查数列通项 等知识, (本小题主要考查数列通项、求和与不等式等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以 抽象概括能力、运算求解能力和创新意识 和创新意识) 及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识 (1)解:当 n = 1 时,有 a1 = a1 , 解
3 2

由于 an > 0 ,所以 a1 = 1 . 当 n = 2 时,有 a1 + a2 = ( a1 + a2 ) ,
3 3 2

将 a1 = 1 代入上式,由于 an > 0 ,所以 a2 = 2 . (2)解:由于 a1 + a2 + L + an = ( a1 + a2 + L + an ) , 解
3 3 3 2


2

则有 a1 + a2 + L + an + an +1 = ( a1 + a2 + L + an + an +1 ) .
3 3 3 3


2

②-①,得 an +1 = ( a1 + a2 + L + an + an +1 ) ? ( a1 + a2 + L + an ) ,
3 2

由于 an > 0 ,所以 an +1 = 2 ( a1 + a2 + L + an ) + an +1 .
2



同样有 an = 2 ( a1 + a2 + L + an ?1 ) + an ( n≥2 ) ,
2



③-④,得 an +1 ? an = an +1 + an .
2 2

所以 an +1 ? an = 1 . 由于 a2 ? a1 = 1 ,即当 n≥1 时都有 an +1 ? an = 1 ,所以数列 {an } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列. 故 an = n .

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20. (广东省惠州市 2010 届高三第三次调研理科) 2010 届高三第三次调研理科) (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 中,

a1 = 2, an ? an ?1 ? 2n = 0 ( n ≥ 2, n ∈ N ) .
(1)写出 a2、a3 的值(只写结果)并求出数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn =

1 1 1 1 ,若对任意的正整数 n ,当 m ∈ [ ?1,1] 时,不等 + + + ?? ? + an +1 an + 2 an + 3 a2 n

式 t 2 ? 2mt +

1 > bn 恒成立,求实数 t 的取值范围。 6


20、解: (1)∵ a1 = 2, an ? an ?1 ? 2n = 0 ( n ≥ 2, n ∈ N )

a2 = 6, a3 = 12 ……………2 分

当 n ≥ 2 时, an ? an ?1 = 2n, an ?1 ? an ? 2 = 2 ( n ? 1) , ? ? ?, a3 ? a2 = 2 × 3, a2 ? a1 = 2 × 2 , ∴

an ? a1 = 2 ? n + ( n ? 1) + ??? + 3 + 2 ? , ? ?

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∴ an = 2 ? n + ( n ? 1) + ??? + 3 + 2 + 1? = 2 ? ?

n ( n + 1) 2

= n ( n + 1)

…………………5 分

当 n = 1 时,a1 = 1 × (1 + 1) = 2 也满足上式, ∴数列 {an } 的通项公式为 an = n ( n + 1) …6 分 (2) bn =

1 1 1 1 1 1 + + ??? + = + + ??? + an +1 an + 2 a2 n ( n + 1)( n + 2 ) ( n + 2 )( n + 3) 2n ( 2n + 1) 1 1 1 1 1 1 ? + ? + ??? + ? n + 1) ( n + 2 ) ( n + 2 ) ( n + 3) 2n ( 2n + 1) (
1 1 n 1 ? = 2 = ( n + 1) ( 2n + 1) 2n + 3n + 1 (2n + 1 ) + 3 n
…………………8 分

=

=

令 f ( x ) = 2x + ∴

1 1 ( x ≥ 1) ,则 f ′ ( x ) = 2 ? 2 , 当 x ≥ 1时, f ′ ( x ) > 0 恒成立 x x

f ( x ) 在 x ∈ [1, +∞ ) 上是增函数,故当 x = 1 时, f ( x ) min = f (1) = 3
即当 n = 1 时,

(bn )max =

1 6

……………11 分

要使对任意的正整数 n ,当 m ∈ [ ?1,1] 时,不等式 t 2 ? 2mt +

1 > bn 恒成立,则须使 6

t 2 ? 2mt +

1 1 > (bn ) max = ,即 t 2 ? 2mt > 0, 对?m ∈ [ ?1,1] 恒成立 , 6 6
∴ 实数 t 的取值范围为 ( ?∞, ?2 ) ∪ ( 2, +∞ ) …14



?t 2 ? 2t > 0 , 解得,t > 2或t < ?2 ? ?t2 + 2t > 0



另解:

bn +1 ? bn = =

1 1 1 1 1 1 1 ? ? 1 ? ? + = + ?? + ? n + 2 2n + 3 n + 1 2n + 1 n + 2 2 n + 1 ? 2 n + 3 n + 1 ?
2

3n + 3 3n + 4 ? 2 <0 2 n + 5n + 2 2 n + 5n + 3 1 ∴ 数列 {an } 是单调递减数列,∴ (bn )max = b1 = 6 21. 广东省惠州市 2010 届高三第三次调研文科) (广东省惠州市 2010 届高三第三次调研文 (本小题满分 14 分)
函数 f (x) 对任意 x ∈ R 都有 f ( x ) + f (1 ? x ) = (1)求 f ( ) 的值. (2)数列{an} 满足: an = f (0) + f (

1 2

1 2

1 2 n ?1 ) + f ( ) + L L + f ( ) + f (1 ) , n n n

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数列 {an } 是等差数列吗?请给予证明; (3)令 b n

=

4 4an ? 1

2 2 2 , T n = b12 + b 2 + b 3 + L L + b n , S n = 32 ?

16 . n

试比较 Tn 与 Sn 的大小.

所以 T n

≤ S n ……………………………………………………………………14 分

21. 2010 年广东省揭阳市高考一模试题理科) 本题满分 14 分) (2010 年广东省揭阳市高考一模试题理科) ( 已知: x1 , x2 ( x1 < x2 )是方程 x ? 6 x + 5 = 0 的两根,且 yn =
2

n∈ N? .

xn +1 1 , xn + 2 = (5 + ) xn +1 . xn yn

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(1)求 y1 , y2 , y3 的值; (2)设 zn = yn yn +1 ,求证:
?

∑z
i =1

n

i

≥ 26n ;
1 1 ? n?2 。 625 26

(3)求证:对 ?n ∈ N 有 | y2 n ? yn |<
2

21.解: (1)解方程 x ? 6 x + 5 = 0 得 x1 = 1 , x2 = 5 ,-------------------------------------------1 分 ∴ y1 =

x2 = 5, -------------------------------------------------------------------------------------------2 分 x1
1 ) x2 = 26 , y1

x3 = (5 +

∴ y2 =

x3 26 = ,------------------------------------------------------------------------------------------3 分 x2 5
1 x 135 ) x3 = 135 ,∴ y3 = 4 = --------------------------------------------4 分 x3 26 y2

x4 = (5 +

(2)由 xn + 2 = (5 +

x 1 1 ) xn +1 得 n + 2 = 5 + yn xn +1 yn
1 ? yn +1 yn = 5 yn + 1 ----------------------------------------------------------------6 分 yn

即 yn +1 = 5 +

当 n ≥ 2 时 yn > 5 ,于是 z1 = y1 y2 = 26, zn = yn yn +1 = 5 yn + 1 > 26 ( n ≥ 2 )



∑z
i =1

n

i

= z1 + z2 + L + zn ≥ 26n ----------------------------------------------------------------9 分 1 25 26 = < ,结论成立;-------------------------------------10 分 25 625 625 y ? yn ?1 1 1 1 ? (5 + ) |=| n |≤ | yn ? yn ?1 | yn yn ?1 yn yn ?1 26

(3)当 n = 1 时 | y2 ? y1 |=

当 n ≥ 2 时,有 | yn +1 ? yn |=| 5 +



1 1 1 1 | yn ?1 ? yn ? 2 | ≤ L ≤ n ?1 | y2 ? y1 | = ? n?1 -------------------------------------12 分 2 26 26 25 26

∵ | y2 n ? yn |=| y2 n ? y2 n ?1 + y2 n ?1 ? y2 n ? 2 + y2 n ? 2 ? L + yn +1 ? yn | ∴ | y2 n ? yn |≤| yn +1 ? yn | + L + | y2 n ?1 ? y2 n ? 2 | + | y2 n ? y2 n ?1 |

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1 1 1 1 [ n ?1 + L + 2 n ?3 + 2 n ? 2 ] 25 26 26 26 1 1 (1 ? n ) 1 26 n ?1 26 < 26 ? 1 = 1 ? 1 ? = 1 25 625 26n ?1 625 26n ? 2 1? 26 1 1 ? ∴对 ?n ∈ N 有 | y2 n ? yn |< ? n ? 2 (n ∈ N ? ) ------------------------------------------14 分 625 26 ≤
20. 本题满分 14 分) ( 已知曲线 C : xy ? 4 x + 4 = 0 ,数列 {an } 的首项 a1 = 4 ,且当 n ≥ 2 时,点 ( an ?1 , an ) 恒 在曲线 C 上,数列 {bn } 满足 bn =
1 . 2 ? an

(1)试判断数列 {bn } 是否是等差数列?并说明理由; (2)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; 2 (3)设数列 {cn } 满足 an bn cn = 1 ,试比较数列 {cn } 的前 n 项和 Sn 与 2 的大小. 20.解: (1)∵当 n ≥ 2 时,点 ( an ?1 , an ) 恒在曲线 C 上 ∴ an ?1an ? 4an ?1 + 4 = 0 -----------------------------------------------1 分 由 bn =

1 得 2 ? an

当 n ≥ 2 时, bn ? bn ?1 =

an ? an ?1 1 1 ? = 2 ? an 2 ? an ?1 4 ? 2an ?1 ? 2an + an an ?1
an ? an ?1 4 ? 2an ?1 ? 2an + 4an ?1 ? 4

=

=

an ? an ?1 1 = ? ----5 分 ?2an + 2an ?1 2

∴数列 {bn } 是公差为 ? (2)∵ a1 =4,∴ b1 =

1 的等差数列.-------------------------------------------------------6 分 2

1 1 =? 2 ? a1 2

1 1 1 ∴ bn = ? + ( n ? 1) × ( ? ) = ? n -----------------------------------8 分 2 2 2
由 bn =

1 得 an = 2 ? 1 = 2 + 2 -----------------------------------------------10 分 2 ? an bn n
∴ cn =

(3)∵ an bn cn = 1
2

1 2 1 1 = = 2( ? ) ----------------------12 分 2 an bn n(n + 1) n n +1 1 1 1 1 1 1 ∴ S n = c1 + c2 + L + cn = 2[(1 ? ) + ( ? ) + L + ( ? ) < 2 -----14 分 )] = 2(1 ? n +1 2 2 3 n n +1

18. 广东省佛山市顺德区 2010 年 4 月普通高中毕业班质量检测试题理科) (广东省佛山市顺德区 月普通高中毕业班质量检测试题理科) (本小题满分 14 分)在等差数列 {an } 中,设 Sn 为它的前 n 项和,若 S15 > 0, S16 < 0, 且点 A(3, a3 ) 与

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B(5, a5 ) 都在斜率为-2 的直线 l 上,
(Ⅰ)求 a1 的取值范围;

(Ⅱ)指出

S S1 S 2 , ,L , 15 中哪个值最大,并说明理由. a1 a2 a15
a5 ? a3 = ?2 ,则公差 d = ?2 , …………………2 分 5?3

18.解(Ⅰ)由已知可得

15 × 14 ? ? S15 = 15a1 + 2 × d = 15(a1 ? 14) > 0 ? ∴? ?< 14 < a1 < 15 …………………7 分 ? S = 16a + 16 × 15 × d = 16(a ? 15) < 0 1 1 ? 16 ? 2

(Ⅱ)最大的值是

S8 a8

…………………8 分

Q S15 = 15a8 > 0

S16 = 8(a8 + a9 ) < 0
即 S8 最大

…………………10 分 …………………11 分

∴ a8 > 0, a9 < 0
又当 1 ≤ i ≤ 8 时,

Si S > 0 ;当 9 ≤ i ≤ 15 时, i < 0 ,数列 {an } 递减…………………13 分 ai ai

所以,

S S S S S1 S 2 ≤ ≤ L ≤ 8 ≥ 9 ≥ ??? ≥ 15 ? 8 最大…………………14 分 a1 a2 a8 a9 a15 a8

20. 广 东省深圳 高级中学 2010 届高 三一模理科 ) 本小 题满分 14 分 ) 已知 函数 ( (

f ( x) = x 2 + 2 x .
(Ⅰ)数列 {an }满足 : a1 = 1, an +1 = f ′(an ), 求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)已知数列 {bn }满足b1 = t > 0, bn +1 = f (bn )(n ∈ N *) ,求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅲ) cn = 设

bn + 1 若不等式 λ < S n 对所有的正整数 n 恒成立, , 数列{cn } 的前 n 项和为 Sn, bn +1

求 λ 的取值范围。

20、(本小题满分 14 分) 本小题满分
解: (I) f ′( x ) = 2 x + 2 ,………1 分

∴ an +1 = 2an + 2

∴ an +1 + 2 = 2(an + 2)
∴ an = 3 ? 2n ?1 ? 2 …………4 分

{an + 2}为等比数列,∴ an + 2 = ( a1 + 2)2 n ?1

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(Ⅱ)由已知得 bn > 0 , bn +1 + 1 = (bn + 1) 2 , ……1 分∴ lg(bn +1 + 1) = 2 lg(bn + 1), ∴ 又 lg(b1 + 1) = lg(t + 1) ≠ 0, 所 以 {lg(bn + 1)} 的 公 比 为 2 的 等 比 数 列 , ∴

bn = (t + 1)2 ? 1 。………8 分
( Ⅲ )

n ?1

Q ck +1 = bk2 + 2bk , ∴ bk + 2 =

bk +1 b + 1 (bk + 2) ? 1 1 1 , , ck = k = = ? bk bk +1 bk +1 bk bk +1

k = 1,2,L , n

∴ S n = c1 + c2 + L + cn = (

1 1 1 1 1 1 1 1 , ? ) + ( ? ) +L + ( ? )= ? n t (t + 1)2 ? 1 b1 b2 b2 b3 bn bn +1

Q t > 0, ∴ t + 1 > 1, ∴ S n在n ∈ [1, +∞ ) 上是增函数

1 1 t +1 ∴ Sn ≥ S 1 = ? = 2 , 2 t (t + 1) ? 1 t + 2t
∴λ < t +1 , t + 2t
2

又不等式 λ < S n 对所有的正整数 n 恒成立,

故 λ 的取值范围是 ( ?∞ ,

t +1 ) …………14 分 t + 2t
2

21.(2010 年 3 月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科)(本小题满分 14 分) ( 广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科 深圳市高三年级第一次调研考试理科) 在 单 调 递 增 数 列 {a n } 中 , a1 = 1 , a 2 = 2 , 且 a 2 n ?1 , a 2 n , a 2 n +1 成 等 差 数 列 ,

a 2 n , a 2 n +1 , a 2 n + 2 成等比数列, n = 1 , 2 , 3 , L . a a a a (1)分别计 算 3 , 5 和 4 , 6 的值; a1 a3 a 2 a 4 (2)求数列 {a n } 的通项公式(将 a n 用 n 表示) ; 4n 1 (3)设数列 { } 的前 n 项和为 S n ,证明: S n < , n ∈ N* . n+2 an
(1)由已知,得 a 3 = 2a 2 ? a1 = 2 × 2 ? 1 = 3 , a 4 = 解:
2 a3 32 9 = = , a2 2 2

a 5 = 2a 4 ? a 3 = 2 ×

9 ?3=6 2
…………………………2 分



a6 =

2 a5 6 2 = =8. 9 a4 2

(2) (法 1)∵ a 2 n ?1 , a 2 n , a 2 n +1 成等差数列,∴ a 2 n +1 = 2a 2 n ? a 2 n ?1 , n = 1 , 2 , 3 , L ;

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∵ a 2 n , a 2 n +1 , a 2 n + 2 成等比数列,∴ a 2 n + 2 =

2 a 2 n +1 , n =1, 2 , 3,L. a2n



a3 3 a 5 4 a 7 5 a 9 a 16 a 25 = , = , = ,……; 4 = , 6 = , 8 = ,…… a1 1 a3 2 a5 3 a2 4 a4 9 a6 16
猜 想



n ∈ N* ,

a 2 n+1 n + 2 = a 2 n ?1 n



a2n+ 2 ? n + 2 ? =? ? a2n ? n +1 ?

2



…………………………4 分 以下用数学归纳法证明之.

a a 3 1 + 2 a 2×1+ 2 a 4 9 ? 1 + 2 ? = = =? ①当 n = 1 时, 2×1+1 = 3 = = , ? ,猜想成立; a 2×1?1 a1 1 1 a 2×1 a2 4 ? 1 + 1 ?
2

a k + 2 a2k +2 ? k + 2 ? =? ②假设 n = k (k ≥ 1) 时,猜想成立,即 2 k +1 = , ? , a 2 k ?1 k a2k ? k +1 ?
2
2 a 2 k +1 ? a 2 k +1 a2k a 2 k +3 2a 2 k + 2 ? a 2 k +1 2a = = = 2 k +1 ? 1 那么 a 2 k +1 a 2 k +1 a 2 k +1 a2k a k+2 4 × 2 k +1 4× 2a 2 k +1 a 2 k ?1 k ?1 = ?1 = ?1 = a 2 k ?1 + a 2 k +1 a 2 k +1 k+2 1+ 1+ k 2 a 2 k ?1 2( k + 2) ( k + 1) + 2 , = ?1 = k +1 k +1 2 a 2 k +3 2 2 ? 2a 2 k + 2 ? a 2 k +1 ? a 2 k + 4 a 2 k + 2 ? a 2 k +3 ? ? =? ? = =? ? ? a 2k +2 a2k +2 ? a 2k +2 ? a2k +2 ? ? ? ?



? 2a ? a2k a2k +2 = ? 2k +2 ? a 2k +2 ?
2

? ? ? ?

2

? a 2k +2 ? ?2 ?1? a 2k ? ? =? ? a2k +2 ? ? ? ? a2k ? ?

2

k +2 ? ? 2 ?1? ? 2× k +1 ? ? = ? (k + 1) + 2 ? . = ? (k + 1) + 1 ? k +2 ? ? ? ? ? ? k +1 ? ?
∴ n = k + 1 时,猜想也成立. 由①②,根据数学归纳法原理,对任意的 n ∈ N* ,猜想成立. ∴ ……………6 分

a 2 n ?1 = a1 ×

a3 a5 a7 a a × × × L × 2 n ?3 × 2 n?1 a1 a3 a5 a 2 n ?5 a 2 n ?3

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3 4 5 n n + 1 n( n + 1) , = 1× × × × L× × = 1 2 3 n ? 2 n ?1 2 a a a a a2n = a2 × 4 × 6 × 8 × L × 2n a2 a4 a6 a2n?2

(n + 1) 2 ?3? ?4? ?5? ? n + 1? . = 2 × ? ? × ? ? × ? ? ×L× ? ? = 2 ?2? ?3? ?4? ? n ?
2 2 2 2

………8 分

a 2n

a 2 n+1 n + 2 = , n ∈ N* , a 2 n ?1 n n(n + 1) 则 由 a2 n ?1 = 2 n(n + 1) (n + 1)(n + 2) + a 2 n ?1 + a 2 n +1 (n + 1) 2 2 2 = = = ; 2 2 2 2 a2n+ 2 ? n + 2 ? =? 如果用数学归纳法仅证明 ? , n ∈ N* , a2n ? n +1 ?
(注:如果用数学归纳法仅证明了 注 则 由





a2n

(n + 1) 2 = 2





(n + 1) 2 (n + 2) 2 (n + 1)(n + 2) × = , 2 2 2 1 × (1 + 1) n(n + 1) 又 a1 = 1 = 也适合,∴ a 2 n ?1 = . ) 2 2 n +1? n +1 ? + 1? ? 2 ? 2 ? (n + 1)(n + 3) ; ∴当 n 为奇数时, a n = = 2 8 2 ?n ? ? + 1? 2 ? 2 ? = ( n + 2) . 当 n 为偶数时, a n = 2 8 ? (n + 1)(n + 3) , n为奇数 ? ? 8 即数列 {a n } 的通项公式为 a n = ? . ………9 分 2 ? (n + 2) , n为偶数 ? 8 ? 7 + (?1) n 1 2 1 (注:通项公式也可以写成 a n = n + n + ) 注 8 2 16 a (法 2)令 bn = 2 n +1 , n ∈ N* ,则 a 2 n ?1 a 2 n +1 = a 2 n a 2 n + 2 =
bn +1 = a 2 k +3 2a 2 k + 2 ? a 2 k +1 = a 2 k +1 a 2 k +1
2 a 2 k +1 2× ? a 2 k +1 a2k 2a = = 2 k +1 ? 1 a 2 k +1 a 2k

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a 2 k +1 2a 2 k +1 a 2 k ?1 4bn = ?1 = ?1 = ?1. a 2 k ?1 + a 2 k +1 a 2 k +1 1 + bn 1+ 2 a 2 k ?1 2(bn ? 1) (b ? 1) + 2 1 1 1 = n = + ∴ bn +1 ? 1 = , . 1 + bn bn +1 ? 1 2(bn ? 1) 2 bn ? 1 1 1 1 1 1 从而 , ? = (常数) n ∈ N* ,又 = , bn +1 ? 1 bn ? 1 2 b1 ? 1 2 1 1 1 1 1 1 n 故{ } 是首项为 ,公差为 的等差数列,∴ = + ( n ? 1) × = , 2 2 bn ? 1 bn ? 1 2 2 2 a 2 n+1 n + 2 n+2 = 解 之 , 得 , 即 , bn = n a 2 n ?1 n n ∈ N* . …………………………6 分 a a a a a ∴ a 2 n ?1 = a1 × 3 × 5 × 7 × L × 2 n ?3 × 2 n?1 a1 a3 a5 a 2 n ?5 a 2 n ?3 3 4 5 n n + 1 n( n + 1) , = 1× × × × L× × = 1 2 3 n ? 2 n ?1 2 n(n + 1) (n + 1)(n + 2) + a 2 n ?1 + a 2 n +1 (n + 1) 2 2 2 从 而 a 2n = = .( 余 同 法 = 2 2 2 4×
1)……………………8 分

a2n+2 a ,或令 bn = 2 n ,余下解法与法 2 类似) a2n a 2 n ?1 8 ? ? (n + 1)(n + 3) , n为奇数 1 ? (3) (法 1)由(2) ,得 . =? an ? 8 , n为偶数 ? ( n + 2) 2 ? 1 4 4 ×1 显然, S1 = ; …………………10 分 =1< = a1 3 1+ 2
(注:本小题解法中,也可以令 bn = 注

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②假设 n = k ( k ≥ 2) 时,不等式成立,即 S k < 那么,当 k 为奇数时,

4k , k+2

S k +1 = S k +

1 a k +1

<

4k 8 + k + 2 ( k + 3) 2

? k 4(k + 1) 2 k + 1 ? 4(k + 1) 8 4( k + 1) + 4? + ? < ; ? = k +3 ? 2 2 k +3 k + 3? (k + 1) + 2 (k + 2)(k + 3) ? k + 2 (k + 3) 当 k 为偶数时, 1 4k 8 S k +1 = S k + < + a k +1 k + 2 (k + 2)(k + 4) =
? k 4(k + 1) 2 k + 1 ? 4(k + 1) 8 + 4? + ? ? = k + 3 ? (k + 2)(k + 3)(k + 4) k +3 ? k + 2 (k + 2)(k + 4) k + 3 ? 4( k + 1) < . (k + 1) + 2 =

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∴ n = k + 1 时,不等式也成立. 由①②,根据数学归纳法原理,对任意的 n ∈ N* ,不等式 S n <

4n 成立.……14 分 n+2

说明:本题主要考查等差数列、等比数列、递推数列的有关概念,考查归纳推理、数学归纳 说明 法、分类讨论、不等式的放缩、差分、累积等重要数学思想方法,并对学生的创新意 识、推理论证能力、运算求解能力进行了考查. 20.(2010 年 3 月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)(本题满分 14 分) ( 广东省深圳市高三年级第一次调研考试 深圳市高三年级第一次调研考试文 已知数列 {an } 满足: a1 = 1 ,且对任意 n ∈ N*都有

1 a1

+

1 a2

+L+

1 an

=

1


2 a n a n +1

(Ⅰ)求 a 2 , a 3 的值; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)证明: a1a2 +

a2 a3 + L + an an+1 =

a n +1 ( n ∈ N *) . an

1
(Ⅰ)由已知, 解:

a1
1 a1
(Ⅱ)当 n ≥ 2 时,

=
1 a2

1 2 a1a 2
= 1

得 a2 =

1 4

+

2 a 2 a3

得 a3 =

1 9

…………………

2分

1 a1
1 a1

+

1 a2
1 a2

+L+

1 an
1 a n ?1

=

1


2 a n a n +1
1


+

+L+

=

2 a n ?1 a n
………………… 4 分

1
① ②得:

an

=

1 2 a n a n +1

?

1 2 a n ?1 a n

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