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§2.1.3不等式的的证明(3)

时间:2015-06-23


选修 4-5 学案

§ 2.1.3 不等式的的证明(3)
1. 理解并掌握反证法、换元法与放缩法; 2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式
王新敞
奎屯 新疆

姓名

☆学习目标:

?知识情景:
1. 不等式证明的基本方法:10. 比差法与比商法(两正数时).
2.
0

综合法和分析法. 反证法、换元法、放缩法

30.

2. 综合法:从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,
通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由



法.

用综合法证明不等式的逻辑关系: A ? B1 ? B2 ?

? Bn ? B

3. 分析法:从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,
直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),

从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法.
B ? B1 ? B2 ? ? Bn ? A 结 (步步寻求不等式 已 论 成立的充分条件) 知

用分析法证明不等式的逻辑关系:

?新知建构:
1.反证法:利用反证法证明不等式,一般有下面几个步骤:
第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论; 第二步 作出与所证不等式相反的假定; 第三步 从条件和假定出发,应用证确的推理方法,推出矛盾结果; 第四步 断定产生矛盾结果的原因,在于开始所作的假定不正确,于是原证不等式成立.

例 1 已知 a + b + c > 0, a b + bc + c a > 0, a bc > 0,求证: a , b, c > 0 .

2.换元法:一般由代数式的整体换元、三角换元,换元时要注意等价性.
常用的换元有三角换元有:

10.已知 x 2 ? y 2 ? a 2 ,可设 20.已知 x 2 ? y 2 ? 1 ,可设
x2 y2 3 .已知 a 2 ? b 2 ? 1 ,可设
0

, , ,

; ( 0 ? r ? 1 );

.


例 2 设实数 x, y 满足 x2 ? ( y ?1)2 ? 1 ,当 x ? y ? c ? 0 时, c 的取值范围是(
A. [ 2 ?1, ??) B. (??, 2 ?1] C. [ 2 ? 1, ??)

D. (??, 2 ? 1]

例 3 已知 x2 ? y 2 ? 1,求证: ? 1 ? a 2 ? y ? ax ? 1 ? a 2

3. 放缩法: “放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小
由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度. 常用的方法是:①添加或舍去一些项,如: a 2 ? 1 ? a , n(n ? 1) ? n , ②将分子或分母放大(或缩小)如:
1 1 1 ? 2? n(n ? 1) n n(n ? 1)
b b?m

③应用“糖水不等式” : “若 0 ? a ? b , m ? 0 ,则 a ? a ? m ” ④利用基本不等式,如: lg3 ? lg5 ? ( ⑤利用函数的单调性 ⑥利用函数的有界性:如: sin x ≤ 1 ? x ? R? ; ⑦绝对值不等式: a ? b ≤ a ? b ≤ a ? b ;
2 2 ⑧利用常用结论:如: 1 ? ? ?2 k k? k k ? k ?1

)2 ?

?

? lg 4 ;

?

k ?1 ? k

? ? k ? N , k ? 1? ,
*

1 2 2 ? ? ?2 k k? k k ? k ?1

?

k ? k ?1

? ? k ? N , k ? 1?
*

⑨应用贝努利不等式: (1 ? x) ? 1 ? nx ?
n

n(n ? 1) 2 x ? 1? 2

? x n ? 1 ? nx.

例4

当 n > 2 时,求证: logn (n ?1) ? log( n?1) n

例 5 求证: 1 ? ?

1 1 1 1 ? ??? ? 3. 1 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? ?? n

例 6 若 a, b, c, d?R+,求证:1 ?

a b c d ? ? ? ?2 a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c

选修 4-5 练习

§2.1.3 不等式的证明(3)

姓名

1 1、设二次函数 f ( x) ? x 2 ? px ? q ,求证: f (1) , f (2) , f (3) 中至少有一个不小于 . 2

2、设 0 < a, b, c < 1,求证:(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于

1 4

3、已知 a ? b ? 0 ,求证: n a ? n b ( n ? N 且 n ? 1 ).

4、若 x, y > 0,且 x + y >2,则

1? y 1? x 和 中至少有一个小于 2。 x y

1 5、已知 1 ≤ x 2 ? y 2 ≤ 2 ,求证: ≤ x2 ? xy ? y 2 ≤ 3 2

6、设 f ( x) ? x2 ? x ? 13 , x ? a ? 1,求证: f ( x) ? f (a ) ? 2 ? a ? 1? ;

7、求证: ? 1 ?

x ?1 1 ? x ? x ?1 3
2

8、求证

a?b 1? a ? b

?

a 1? a

?

b 1? b

.

9、设 n 为大于 1 的自然数,求证

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? . n ?1 n ? 2 n ? 3 2n 2

10、若 n 是自然数,求证

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2. 2 1 2 3 n

3 1 1 1 1 ? 1 ? 2 ? ??? ? 2 ? 2 ? (n ≥ 2) 11、求证: ? 2 n ?1 2 n n

12、求证: 2 n ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? ??? ? 1 ? 2 n
2 3 n

?n ? N ?
*

参考答案:
例1 例2 例3
3. 放缩法: “放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩
的适度。常用的方法是:

①添加或舍去一些项,如: a ? 1 ? a , n(n ? 1) ? n , ? a ?
2

? ?

1? 3 ? 1? ? ? ? ?a ? ? 2? 4 ? 2?

2

2

②将分子或分母放大(或缩小) ③真分数的性质: “若 0 ? a ? b , m ? 0 ,则 ④利用基本不等式,如: log 3 ? lg 5 ? (

a a?m ? ” b b?m

n(n ? 1) ?

n ? (n ? 1) 2

lg 3 ? lg 5 2 ) ? lg 15 ? lg 16 ? lg 4 ; 2

⑤利用函数的单调性 ⑥利用函数的有界性:如: sin x ≤ 1 ? x ? R? ; x ? x ≥
2

1 ? x ? R? ; 2 x ? 0 ? x ? R? 4

⑦利用常用结论: Ⅰ、

1 2 2 ? ? ?2 k k? k k ? k ?1 1 2 2 ? ? ?2 k k? k k ? k ?1

? ?

k ?1 ? k

? ? k ? N , k ? 1? ,
*

k ? k ?1

? ? k ? N , k ? 1?
*

Ⅱ、

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ; 2 ? (程度大) 2 k (k ? 1) k ? 1 k k (k ? 1) k k ? 1 k k 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ( ? ) ; (程度小) 2 k k ? 1 (k ? 1)(k ? 1) 2 k ? 1 k ? 1

Ⅲ、

⑧绝对值不等式: a ? b ≤ a ? b ≤ a ? b ;⑨应用二项式定理.

4. 构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式.
贝努利不等式 例如,对于任何 x ? 0 和任何正整数 n ,由牛顿二项式定理可得

(1 ? x) n ? 1 ? nx ?

n(n ? 1) 2 n(n ? 1)( n ? 2) 2 x ? x ??? xn. 1? 2 1? 2 ? 3
n

舍掉等式右边第三项及其以后的各项,可以得到不等式: (1 ? x) ? 1 ? nx . 在后面章节的学习中,我们将会用数学归纳法证明这一不等式的正确性。 该不等式不仅当 n 是正整数的时候成立,而且当 n 是任何大于 1 的有理数的时候也成立。 这就是著名的贝努利不等式。

在今后的学习中,可以利用微积分证明更一般的贝努利不等式:设 x ? ?1 , 则在 ? ? 1 或 ? ? 0 时, (1 ? x)? ? 1 ? ?x ,在 0 ? ? ? 1 时, (1 ? x)? ? 1 ? ?x.

例 4 证:∵n > 2

∴ logn (n ? 1) ? 0,

logn (n ? 1) ? 0
2 2

2 2 ? log (n ? 1) ? logn (n ? 1) ? ? logn (n ? 1) ? ? logn n ? ∴ logn (n ? 1) logn (n ? 1) ? ? n ? ? ? ?1 ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? ? 2 ?

2

∴n > 2 时,

logn (n ? 1) logn (n ? 1) ? 1

例 5 证明:由

1 1 1 ? ? k ?1 , ( k 是大于 2 的自然数) 1? 2 ? 3 ? ?? k 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 2 1 1 1 1 ? ??? 得1 ? ? 1 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? ?? n 1 1? n 1 1 1 1 2 ? 3 ? 1 ? 3. ? 1 ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ? 1 ? 1 2 2 2 2 2 n?1 1? 2 a b c d ? ? ? 例 6 证:记 m = a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c
∵a, b, c, d?R+ ∴m ?

a b c d ? ? ? ?1 a?b?c?d a?b?c?a c?d ?a?b d ?a?b?c a b c d m? ? ? ? ?2 a?b a?b c?d d ?c
即原式成立。

∴1 < m < 2

练习
1 1.证明:假设 f (1) , f (2) , f (3) 都小于 ,则 2

f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? 2.
另一方面,由绝对值不等式的性质,有

(1)

f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? (1 ? p ? q) ? 2(4 ? 2 p ? q) ? (9 ? 3 p ? q) ? 2

(2)

(1) 、 (2)两式的结果矛盾,所以假设不成立,原来的结论正确。 注意:诸如本例中的问题,当要证明几个代数式中,至少有一个满足某个不等式时, 通常采用反证法进行。 议一议:一般来说,利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果,通常是指所推出 的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式,以及与临时假定矛盾等各

种情况。试根据上述两例,讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点?

1 1 1 2、 证:设(1 ? a)b > , (1 ? b)c > , (1 ? c)a > , 4 4 4 1 则三式相乘:ab < (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a < 64
又∵0 < a, b, c < 1 同理: (1 ? b)b ?


2

1 ? (1 ? a) ? a ? ∴ 0 ? (1 ? a)a ? ? ? ? 2 4 ? ?
1 , 4 (1 ? c)c ? 1 4 1 64
与①矛盾. ∴原式成立

以上三式相乘: (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤

4 提示:反设

1? y 1? x ≥2, ≥2 x y

∵x, y > 0,可得 x + y ≤2 与 x + y >2 矛盾。

10 证明:?

1 1 1 1 ? ? ? , k ? 2,3,4,?, n. 2 k (k ? 1) k ? 1 k k

?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 ? ? ? ??? 2 1 1? 2 2 ? 3 (n ? 1) ? n 1 2 3 n
= ? ( ? ) ? ( ? ) ??? (

1 1 1 1 1 1 ? ) 1 2 2 3 n ?1 n 1 = 2 ? ? 2. n 1 1 1 1 注意:实际上,我们在证明 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 的过程中,已经得到一个更强的结 1 2 3 n 1 1 1 1 1 论 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ,这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。 n 1 2 3 n

1 1


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