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1.2导数计算习题课

时间:2011-03-26


第一章 1.2

导数及其应用 导数的计算 习题课

回顾与总结
1.常见函数的导数公式 常见函数的导数公式. 常见函数的导数公式
为常数) (C )′ = 0 (C 为常数) 为有理数) ( x n )′ = nx n?1 ( n 为有理数) (sin x )′ = cos x (cos x )′ = -sin x (a x )′ = a x ln a (a > 0,a ≠ 1) 特殊地 (e x )′ = e x 1 1 (log a x )′ = log a e = (a > 0, a ≠ 1) 且 x x ln a 1 特殊地 (ln x )′ = x

回顾与总结
2.导数的四则运算法则 导数的四则运算法则. 导数的四则运算法则

[ f ( x) ± g ( x)]' = f ( x) '± g ( x) ' [ f ( x) ? g ( x)]' = f ( x) '? g ( x) + f ( x) ? g ( x) '

f ( x) f ( x) '? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ' [ ]' = 2 [ g ( x)] g ( x)

回顾与总结
3.复合函数的求导法则 复合函数的求导法则: 复合函数的求导法则 复合函数 对于两个函数 y = f (u ) 和 u = g ( x ) , 如果 的函数, 通过变量 u , y 可以表示成 x 的函数 , 那么称这个函 复合函数, 数 y = f (u ) 和 u = g ( x) 的复合函数,记作 y = f ( g ( x))

的导数为 复合函数 y = f ( g ( x)) 的导数为 yx ' = yu '? u x ' , 的导数的积. 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的积.
法则可以推广到两个以上的中间变量. 法则可以推广到两个以上的中间变量 推广到两个以上的中间变量 求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系 合 求复合函数的导数 关键在于分清函数的复合关系,合 关键在于分清函数的复合关系 理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量对哪个 理选定中间变量 明确求导过程中每次是哪个变量对哪个 变量求导,一般地 如果所设中间变量可直接求导,就不必再 一般地,如果所设中间变量可直接求导 变量求导 一般地 如果所设中间变量可直接求导 就不必再 选中间变量. 选中间变量

例题选讲
求下列函数的导数: 例1:求下列函数的导数 求下列函数的导数

(1) y = (2x + 1)

5

1 (2) y = (1? 3x)4

( 3) y = (1 + sin 2 x )4

解:(1)设y=u5,u=2x+1,则: :( ) 则
y′ = y′ ? u′ = (u5 )′u ? (2 x + 1)′x = 5u4 ? 2 = 5(2 x + 1)4 ? 2 = 10(2 x + 1)4 . x u x

解: (2)设y=u-4,u=1-3x,则: ) 则
12 . y′ = y′ ? u′ = (u )′u ? (1 ? 3 x)′x = ?4u ? (?3) = 12u = x u x 5 (1 ? 3 x)
?4 ?5 ?5

求下列函数的导数: 例1:求下列函数的导数 求下列函数的导数

(1) y = (2x + 1)

5

1 (2) y = (1? 3x)4

( 3) y = (1 + sin 2 x )4

解: (3)设y=u-4,u=1+v2,v=sinx,则: ) 则

′ x y′ = y′ ? uv ? v′ = (u4 )′u ? (1 + v 2 )′ ? (sin x)′x = 4u3 ? 2v ? cos x x u v = 4(1 + sin x) ? 2 sin x ? cos x = 4(1 + sin x) sin2 x .
2 3 2 3

说明:在对法则的运用熟练后 就不必再写中间步骤 说明 在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤 在对法则的运用熟练后 就不必再写中间步骤.

y′ = 4(1 + sin x) (1+ sin x) ? x
2 3 2 ’

= 4(1 + sin2 x)3 ? 2sin x ? cos x = 4sin 2x ? (1 + sin2 x)3 .

例2:求下列函数的导数 求下列函数的导数 (1)y=tan3x; (3) y =(2x2 ?3) 1+ x2 解:
2

x (2) y = 1? x
5

1? x * (n ∈ N ) ⑷y= 1? x
n

sin x 2 1 (1) y′ = 3(tan x) (tan x)′ = 3( ) ? 2 = 3sin2 x sec4 x. cos x cos x
? 1 x ?5 x 1 x ?5 1 1 ?5 (2)y ′ = 5 (1 ? x ) ? (1 ? x )′ = 5 (1 ? x ) ? (1 ? x ) 2 = 5 x (1 ? x ) 5 . ) 4 4 4 6

例2:求下列函数的导数 求下列函数的导数 (1)y=tan3x; (3) y =(2x2 ?3) 1+ x2 解: (3)y = (2x2 ? 3) )
1 2 2

x (2) y = 1? x
5

1? x * (n ∈ N ) ⑷y= 1? x
n

1+ x = (2x ? 3)(1+ x ) ;
2 2
2 ? 1 2

1 2 2

1 ∴ y′ = 4 x(1 + x ) + (2 x ? 3) ? (1 + x 2 ) ? 2 x 2 x(2 x 2 ? 3) 6 x 3 + x . = 4x 1 + x2 + = 1 + x2 1 + x2

例2:求下列函数的导数 求下列函数的导数 (1)y=tan3x; (3) y =(2x2 ?3) 1+ x2 解: (4) )
n

x (2) y = 1? x
5

′?(1?x)?(1?xn)?(1?x)′ (1?x ) y′ = 2 (1?x)
n?1

1? x * (n ∈ N ) ⑷y= 1? x
n

?nx (1? x) + (1? x ) = 2 (1? x)
n

1? nx + (n ?1)x = 2 (1? x)

n?1

n

课堂练习
3 2

求下列函数的导数: 求下列函数的导数

(1) y = ax + bx + c 2x (2) y ′ = 1 2 2 (1 ? 2 x ) 1 ? 2 x (2) y = 2 1 ? 2x 2 (3 x + 4) (3) ? 135 3x + 4 3 4 (3) y = ( ) (6 x ? 7) 6x ? 7 2 (4) y = sin ax cos bx (4) a sin 2ax ? cos bx
2

(2ax + b) 3 ax2 + bx + c (1) y′ = 3(ax2 + bx + c)

? b sin ax ? sin bx

导数的性质
例3:求证:可导的偶函数的导函数为奇函数 :求证:可导的偶函数的导函数为奇函数; 可导的奇函数的导函数为偶函数” 可导的奇函数的导函数为偶函数”. 两边同时对x 证:当f(x)为可导的偶函数时,则f(-x)=f(x).两边同时对 当 为可导的偶函数时 则 两边同时对 求导得: 求导得 f ′(?x)(?x)′ = f ′(x) ? f ′(?x) = ? f ′(x) 奇函数. 同理可证另一个命题. 故 f ′ ( x )为奇函数 同理可证另一个命题 类似地:可导的周期函数的导函数也是周期函数 类似地 可导的周期函数的导函数也是周期函数. 可导的周期函数的导函数也是周期函数 为其一个周期 证:设f(x)为可导的周期函数 为其一个周期 则对定义 设 为可导的周期函数,T为其一个周期,则对定义 域内的每一个x,都有 域内的每一个 都有f(x+T)=f(x). 都有 两边同时对x求导得 两边同时对 求导得: f ′( x + T )( x + T )′ = f ′( x), 即 f ′(x+T) 求导得 也是以T为周期的周期函数. = f ′(x).∴ f ′(x) 也是以 为周期的周期函数

求证双曲线C 与椭圆C 例4:求证双曲线 1:x2-y2=5与椭圆 2:4x2+9y2=72在交 求证双曲线 与椭圆 在交 点处的切线互相垂直. 点处的切线互相垂直 由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中一 由于曲线的图形关于坐标轴对称 证:由于曲线的图形关于坐标轴对称 故只需证明其中一 个交点处的切线互相垂直即可. 个交点处的切线互相垂直即可 联立两曲线方程解得第一象限的交点为P(3,2),不妨 不妨 联立两曲线方程解得第一象限的交点为 证明过P点的两条切线互相垂直 点的两条切线互相垂直. 证明过 点的两条切线互相垂直 x 2-y2=5得 y = x2 ?5, y′ = , 由于点P在第一象限 故由x 在第一象限,故由 由于点 在第一象限 故由 得 2 x ?5 3 ∴k1 = y′ |x=3 = ; 4 2 ? 4x 2 ′= ; 同理由4x 同理由 2+9y2=72得 y = 8 ? 9 x , y 得 4
2 ∴k2 = y′ |x=3 = ? . 3 因为k 所以两条切线互相垂直.从而命题成立 因为 1k2=-1,所以两条切线互相垂直 从而命题成立 所以两条切线互相垂直 从而命题成立.
9 8 ? x2 9

利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程如下: 利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程如下 圆锥曲线的切线方程如下 (1)过圆 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点 0(x0,y0)的切线方程是 上一点P 的切线方程是: 过圆 的切线方程是 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.

x2 y2 (2)过椭圆 a2 + b2 = 1 上一点P 的切线方程是: 过椭圆 上一点 0(x0,y0)的切线方程是 的切线方程是 x0 x y0 y + 2 = 1. 2 a b x2 y2 (3)过双曲线 (3)过双曲线 a2 ? b2 = 1 上一点P )的切线方程是 的切线方程是: 上一点P0(x0,y0)的切线方程是: x0 x y0 y ? 2 = 1. 2 a b

(4)过抛物线 2=2px上一点 0(x0,y0)的切线方程是 0y 过抛物线y 上一点P 的切线方程是:y 过抛物线 上一点 的切线方程是 =p(x+x0).

课堂小结
利用复合函数的求导法则来求导数时, 利用复合函数的求导法则来求导数时,选择 中间变量是复合函数求导的关键. 中间变量是复合函数求导的关键.必须正确分析 复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复 合而成的,分清其间的复合关系. 合而成的,分清其间的复合关系.要善于把一部 分量、式子暂时当作一个整体,这个暂时的整体, 分量、式子暂时当作一个整体,这个暂时的整体, 就是中间变量.求导时需要记住中间变量, 就是中间变量.求导时需要记住中间变量,注意 逐层求导,不遗漏, 逐层求导,不遗漏,而其中特别要注意中间变量 的系数,求导后, 的系数,求导后,要把中间变量转换成自变量的 函数. 函数.


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