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《一道含绝对值不等式题的多种解法》

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一道含绝对值不等式题的多种解法 解含绝对值的不等式的关键是将它转化为不含绝对值的不等式。下面就一道 例题谈谈绝对值不等式的常见解法。 题目:解不等式 | 2x ? 1 |? 2 x?2 解法 1:利用绝对值的定义 ?2x ? 1 ?2x ? 1 ?0 ?0 ? ? ? x?2 ? x?2 原不等式等价于(I) ? 或(II) ? 2 x ? 1 ? ? ? (2 x ? 1) ? 2 ? 2 ? ? ? x?2 ? x?2 解(I)得 x ? ? 解(II)得 ? 1 2 1 3 ?x? 2 4 ? 所以原不等式的解集为 ? x| x ? ? 3? ?。 4? 解法 2:利用平方法 原不等式可化为 2 x ? 1 ? 2 x ? 2 两边平方得 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 4 x 2 ? 16x ? 16 解得 x ? 3 ? ,所以原不等式的解集为 ? x| x ? 4 ? 3? ?。 4? 解法 3:利用绝对值的性质 原不等式等价于 ?2 ? ?2x ? 1 ? ?2 ? ? x?2 即? ?2x ? 1 ? 2 ? ? x?2 2x ? 1 ?2 x?2 ?1? ?2? 3 4 解<1>得 x ? 2 ,或 x ? 解<2>得 x ? 2 3? ? 所以原不等式的解集为 ? x| x ? ? 。 4? ? 解法 4:零点分区间讨论 原不等式等价于 2 x ? 1 ? 2 x ? 4 ? 0 1 ? ?x ? ? 即等价于 ? 2 ? ??2 x ? 1 ? 2 x ? 4 ? 0 ? 1 ?? ? x ? 2 或? 2 ? ?2 x ? 1 ? 2 x ? 4 ? 0 ?2? ?1? ?x ? 2 或? ?2 x ? 1 ? 2 x ? 4 ? 0 ? 3? 1 1 3 解<1>得 x ? ? ,解<2>得 ? ? x ? ,<3>的解集是 ? ,所以原不等式的解 2 2 4 1? ? 1 ? 集为 ? x| x ? ? ?∪ ? x|? ? x ? 2? ? 2 ? 3? ? ? ? ? x| x ? 4? ? 3? ?。 4? 解法 5:图象法 原不等式等价于 2 x ? 1 ? 2 x ? 4 。 在直角坐标系中分别画 y1 ? 2 x ? 1 及 y2 ? 2 x ? 4 的图象。 ? 由图可知,原不等式的解集为 ? x| x ? ? 3? ?。 4?

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