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求数列通项公式的方法(教案+例题+习题)

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求数列的通项公式的方法

1.定义法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。

例 1.等差数列?an ?是递增数列,前 n 项和为 Sn ,且 a1, a3 , a9 成等比数列, S5 ? a52 .求数

列 ?an ?的通项公式.

解:设数列?an ?公差为 d(d ? 0)

∵ a1, a3 , a9 成等比数列,∴ a32 ? a1a9 ,

即 (a1 ? 2d )2 ? a1(a1 ? 8d ) ? d 2 ? a1d

∵ d ? 0 ,∴ a1 ? d ………………………………①

∵ S5

?

a52 ∴ 5a1

?

5?4 2

?d

?

(a1

? 4d )2 …………②

由①②得:

a1

?

3 5



d

?

3 5

∴ an

?

3 5

? (n ?1) ? 3 5

?

3n 5

点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再写

出通项。

练一练:已知数列 3 1 ,5 1 ,7 1 ,9 1 ,?试写出其一个通项公式:__________; 4 8 16 32

? 2.公式法:已知 Sn (即 a1 ? a2 ?

? an ? f (n) )求 an ,用作差法: an ?

S1, Sn

(n ? 1) ? Sn?1,

(n

?

2)



例 2.已知数列?an ?的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? (?1)n , n ? 1 .求数列?an ?的通项公式。

解:由 a1 ? S1 ? 2a1 ?1 ? a1 ? 1 当 n ? 2时,有 an ?S n?Sn?1 ? 2(an ? an?1 ) ? 2 ? (?1)n ,

an?1 ? 2an?2 ? 2 ? (?1)n?2 , ……, a2 ? 2a1 ? 2.

经验证 a1

? 1也满足上式,所以 an

?

2 [2n?2 3

? (?1)n?1]

点评:利用公式 an

?

?Sn ??Sn

??????? ? Sn?1

?????????n ? 1 求解时,要注意对
???????n ? 2

n

分类讨论,但若能合写时

一定要合并.

练一练:①已知{an}的前 n 项和满足 log2 (Sn ?1) ? n ?1,求 an ;

②数列 {an } 满足

a1

?

4,

Sn

?

Sn?1

?

5 3

an ?1 ,求

an



3.作商法:已知 a1 a2

an

?

f

(n) 求 an

,用作商法: an

?

?? ?

f

(1), (n f (n)

? 1) ,(n ?

2) 。

?? f (n ?1)

如数列{an }中, a1 ? 1, 对所有的 n ? 2都有 a1a2a3 ?an ? n2 ,则 a3 ? a5 ? ______; 4.累加法:

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若 an?1 ? an ? f (n) 求 an : an ? (an ? an?1) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? (a2 ? a1) ?a1 (n ? 2) 。



3.已知数列?an ?满足

a1

?

1 2



an?1

?

an

?

1 n2 ?

n

,求

an



解:由条件知: an?1

? an

?

1 n2 ?

n

?

1 n(n ?1)

?

1 n

?

1 n ?1

分 别 令 n ? 1,2,3,??????,(n ?1) , 代 入 上 式 得 (n ?1) 个 等 式 累 加 之 , 即

(a2 ? a1) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ?????? ?(an ? an?1)

所以

an

?

a1

?

1?

1 n

? a1

?

1 2

,? an

?

1 2

?1?

1 n

?

3 2

?

1 n

如已知数列{an} 满足 a1 ?1 , an ? an?1 ?

1 n ?1 ?

n (n ? 2) ,则 an =________;

5.累乘法:已知 an?1 an

?

f (n) 求 an ,用累乘法: an

?

an an ?1

?

an ?1 an ? 2

?

?

a2 a1

?

a1

(n

?

2)





4.已知数列?an ?满足

a1

?

2 3



an?1

?

n n ?1an

,求

an



解:由条件知 an?1 ? n ,分别令 n ? 1,2,3,??????,(n ?1) ,代入上式得 (n ?1) 个等式 an n ?1

累乘之,即

又? a1

?

2 3

,? an

?

2 3n

如已知数列{an }中, a1 ? 2 ,前 n 项和 S n ,若 S n ? n 2an ,求 an

6.已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等比数列)。

(1)形如 an ? kan?1 ? b 、 an ? kan?1 ? bn ( k, b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比

为 k 的等比数列后,再求 an 。

① an

?

kan?1

?b

解法:把原递推公式转化为: an?1

?t

?

p(an

? t) ,其中 t

?

q 1? p

,再利用换

元法转化为等比数列求解。

例 5.已知数列?an ?中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3 ,求 an .

解 : 设 递 推 公 式 an?1 ? 2an ? 3 可 以 转 化 为 an?1 ? t ? 2(an ? t) 即

an?1 ? 2an ? t ? t ? ?3 . 故 递 推 公 式 为 an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) , 令 bn ? an ? 3 , 则

b1

? a1

? 3 ? 4 ,且 bn?1 bn

?

an?1 ? 3 an ? 3

?2

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所以 ?bn ?是以 b1 ? 4 为首项,2 为公比的等比数列,则 bn ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,所以 an ? 2n?1 ? 3 .

② an ? kan?1 ? bn 解法:该类型较类型 3 要复杂一些。一般地,要先在原递推公式两边同除

以 q n?1 ,得:

an?1 q n?1

?

p q

? an qn

?

1 q

引入辅助数列 ?bn ?(其中 bn

?

an qn

),得: bn?1

?

p q bn

?

1再 q

应用 an ? kan?1 ? b 的方法解决.。



6.已知数列 ?a n

?中,

a1

?

5 6

,

an?1

?

1 3

an

?

( 1 )n?1 2

,求

an



解:在 an?1

?

1 3

an

?

(1 )n?1 两边乘以 2

2n?1 得: 2n?1

? an?1

?

2 3

(2n

? an ) ?1

令 bn

?

2n

? an

,则 bn?1

?

2 3 bn

? 1 ,应用例

7

解法得: bn

?

3 ? 2( 2)n 3

所以 an

?

bn 2n

? 3(1)n 2

? 2(1)n 3

练一练①已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2 ,求 an ;

②已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2n ,求 an ;

(2)形如

an

?

an?1 kan?1 ? b

的递推数列都可以用倒数法求通项。



7: an

?

3

?

an?1 an?1

?

1

,

a1

?1

解:取倒数: 1 ? 3? an?1 ?1 ? 3 ? 1

an

an?1

an?1

?

? ? ?

1 an

? ? ?

是等差数列,

1 an

?

1 a1

? (n ?1) ? 3

? 1? (n ?1) ?3 ? an

?

1 3n ? 2

练一练:已知数列满足 a1 =1, an?1 ? an ? anan?1 ,求 an ;

数列通项公式课后练习

1 已知数列 ?an ?中,满足 a 1 =6,a n?1 +1=2(a n +1)(n∈N ? )求数列 ?an ?的通项公式。

2 已知数列 ?an ?中,a n >0,且 a 1 =3, an?1 = an +1 (n∈N ? )

3

已知数列 ?an

?中,a

1

=3,a

n ?1



1 2

a

n

+1(n∈N

?

)求数列 ?a n

?的通项公式

4 已知数列 ?an ?中,a 1 =1,a n?1 =3a n +2,求数列 ?an ?的通项公式

5

已知数列 ?an

?中,a

n

≠0,a

1



1 2

,a

n ?1



an 1? 2an

(n∈N ? ) 求 a n

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6 设数列 ?an ?满足 a 1 =4,a 2 =2,a 3 =1 若数列 ?an?1 ? an ?成等差数列,求 a n 7 设数列 ?an ?中,a 1 =2,a n?1 =2a n +1 求通项公式 a n 8 已知数列 ?an ?中,a 1 =1,2a n?1 =a n +a n?2 求 a n
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