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专题八 三角函数的图像与性质

时间:2016-05-22

核 心 知 识 聚 焦

第8讲 三角函数的图像与性 质

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1.[2013· 广东卷改编] 已知 =________.

?5π sin? ? 2 ?

? 1 ? +α?=5,那么 ?

cos α

1 [答案] 5

π 5 1 [解析] sin(2π+α)=sin( 2 +α)=cos α=5.

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5 2. [2015· 福建卷改编] 若 sin α =-13, 且 α 为第四象限 角,则 tan α 的值等于________.
5 [答案] -12

5 [解析] 由 sin α=-13,且 α 为第四象限角,则 cos α sin α 12 5 = 1-sin α=13,则 tan α= =-12. cos α
2

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3.[2015· 山东卷改编] 要得到函数

? π ? y=sin?4x- 3 ?

? ? ?的图 ?

像 , 只 需 将 函 数 y = sin 4x 的 图 像 向 ________ 平 移 ________个单位.
[答案] 右

π
12
? π ? 4(x-φ)=sin(4x-4φ)=sin?4x- 3 ? ? ? ?的图像,故 ?

[解析] 设将函数 y=sin 4x 的图像向右平移 φ 个单位, 得到 函数 y=sin φ=12.

π

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π 4.[2015·四川卷改编] 函数 y=cos(2x+ 2 )为________ 函数(填“奇”或“偶”).

[答案]



[解析] 因为 y=cos(2x+ 2 )=-sin 2x, 所以该函数为 奇函数.

π

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π 2 3 5.[2015· 浙江卷改编] 函数 f(x)= 2 sin(2x- 4 )+2的最小正 周期是____________,最小值是________.

[答案]

π

3- 2 2

3- 2 [解析] 易得 f(x)的最小正周期是π,最小值是 2 .

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6.[2015· 湖北卷改编] 某同学用“五点法”画函数 f(x)= ? π? ? Asin(ωx+φ)?ω>0,|φ |< ? 在某一个周期内的图像时, 列 ? 2? ? 表并填入了部分数据,如下表: ω x+φ x Asin(ωx+φ) π 0 2 π ① 3 0 5 3π π 2 5π ② 6 ③ -5 2π ④ 0

据表中部分数据可知函数 f(x)的解析式为________, ①② ③④处分别填________.
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[答案]

π f(x)=5sin(2x- ) 6

π 12

7π 12

0

13 π 12

[解析] 根据表中已知数据解得 A=5,ω=2,φ=- 6 , 所以函数解析式为 f(x)=5sin(2x- 6 ), 所以①②③④处分 13 别填12, 12 ,0,12π.

π

π

π 7π

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π 7.[2014· 四川卷改编] 函数 f(x)=sin(3x+ 4 )的单调递 增区间为____________.
[答案] π 2kπ π 2kπ [- 4 + 3 ,12+ 3 ],k∈Z

π [解析] 因为函数 y=sin x 的单调递增区间为[- 2 +2kπ, π π π π 2 +2kπ],k ∈ Z,由- 2 +2kπ≤3x+ 4 ≤ 2 +2kπ,k π 2k π π 2kπ ∈Z,得- 4 + 3 ≤x≤12+ 3 ,k∈Z,所以函数 f(x) π 2kπ π 2kπ 的单调递增区间为[- + , + ],k∈Z. 4 3 12 3
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8.[2015· 陕西卷] 如图 81 所示,某港口一天 6 时到 18 π 时的水深变化曲线近似满足函数 y=3sin( 6 x+φ)+k, 据 此 函 数 可 知 , 这 段 时 间 水 深 ( 单 位 : m) 的 最 大 值 为 ________.

图 81
[答案] 8

[解析] 据图可知,-3+k=2,得 k=5,所以 ymax=3+ 5=8.
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—— 基础知识必备 ——

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?

考点一

三角函数的概念、 诱导公式及基本关系

题型:选择、填空 分值:5 分 难度:基础 热点:求值

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10π 例1 (1)若点 P 在角 α 的终边上, 且 α=- 3 , P 的坐 标为(-1,y),则 y 等于________. (2)[2015· 四川卷] 已知 sin α+2cos α=0,则 2sin αcos α-cos2α的值是____________.

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[答案] (1) 3

(2)-1

10π [ 解 析 ] (1) 由 三 角 函 数 的 定 义 , 得 sin( - 3 ) = 10π 2π 2π y ,又 sin(- 3 )=sin(-4π+ 3 )=sin 3 (-1)2+y2
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3 y 3 = 2 ,所以 α 为第二象限角,所以由 = , (-1)2+y2 2 得 y= 3. (2)由已知可得 tan α=-2,所以 2sin αcos α-cos2α 2sin αcos α-cos2α 2tan α-1 -4-1 = = = =-1. 2 2 2 sin α+cos α tan α+1 4+1
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[小结] (1)三角函数是借助角的终边上任一点的坐标来定义 的,三角函数的定义是求三角函数值、化简、计算的基础; (2)式中是含 sin x, cos x 的齐次结构, 则可直接转化为 tan x 来求,如例 1(2);(3)解决三角函数的问题时常使用常数代 换法,如:把“1”代换为“sin2α+cos2α” .
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变式题 ( 1 A. 2 ) 1 B.— 2

π 3π 3 (1)已知 sin( 4 +α)= 2 , 则 sin( 4 -α)的值为

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3 3 C. D.— 2 2 4 tan α cos3α (2)若 sin α =- ,则 的值为( 5 1-sin α 4 36 36 4 A.- B. C.- D. 25 25 25 25

)

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[答案] (1)C

(2) A

3π π [解析] (1) 4 -α=π-( 4 +α), π π 3 3 ∴sin(4π-α)=sin[π-( 4 +α)]=sin( 4 +α)= 2 .
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tan αcos3α sin αcos2α 4 (2) 因为 sin α=- 5 ,所以 = = 1-sin α 1-sin α sin α(1-sin2α) 4 =sin α(1+sin α)=-25. 1-sin α

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?

考点二

函数 y=Asin(ωx+φ)的图像与解析式

题型:选择、填空 分值:5 分 难度:中等 热点:图像与解析式

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例 2 (1)为了得到函数 y= 2sin 3x 的图像,可以将 函数 y=sin 3x+cos 3x 的图像( ) π A.向右平移 个单位长度 12 π B.向右平移 个单位长度 4 π C.向左平移 个单位长度 12 π D.向左平移 个单位长度 4

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(2)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω >0)的部分图像如 图 8-2 所示,则 f(x)的解析式可以为( )

图 8-2
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π A.f(x)=3sin(2x- ) 4 π B.f(x)=3sin(2x+ ) 4 1 3π C.f(x)=3sin( x- ) 2 4 1 3π D.f(x)=3sin( x+ ) 2 4
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[答案] (1)A

(2)D

[解析] (1)y=sin 3x+cos 3x= 2sin(3x+ 4 )= 2sin[3(x+

π

π

12)],则将 y=sin 3x+cos 3x 的图像向右平移12个单位长
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π

度,可得到函数 y= 2sin 3x 的图像,故选 A. 3π π (2)由图像,得 A=3,最小正周期 T=2× ( 2 + 2 )=4π, 2π 1 π π 则 ω= = .又函数 f(x)的图像过点( 2 ,0),所以 sin( 4 4π 2 +φ)=0,则 φ=- 4 +kπ(k∈Z),故选 D.
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π

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[ 小结 ] 根据三角函数图像求函数的解析式,主要考虑两 点:一是根据函数图像得出函数的最小正周期,从而求出 ω 的值;二是根据函数图像上特殊点(一般是“五点法”作图 中的某个点)的坐标, 得出三角函数的方程, 从而求出 φ 的 值.

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π 变式题 图 83 是函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω >0, |φ |< 2 ) 在一个周期内的图像, M, N 分别是最大值点和最小值点, → ⊥ON → ,则 A·ω 的值为( 且OM )

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图 8-3 π A. 6 2π B. 6 7π C. 6 7π D. 12

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[答案]

C

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π 3 5 [解析] 6π-12=4π,所以函数的最小正周期为π,得 ω π π 7 → → =2,所以 M(12,A),N(12π,-A).由OM⊥ON,得12× 7π 7 7 2 ω= 6 π. 12π-A =0,得 A= 12 ,于是 A·

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?

考点三

三角函数的性质

题型:选择、填空、解答 分值:5~10 分 难度:中等 热点:单调性、周期性与最值

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π π 例 3 (1)已知函数 f(x)=sin(x+ 2 ),g(x)=cos(x- 2 ),则 下列结论中正确的是( ) A.函数 y=f(x)·g(x)的最小正周期为 2π B.函数 y=f(x)·g(x)的最大值为 1 π π C.函数 y=f(x)·g(x)的一个单调递增区间为(- , ) 4 4 D.f(x)与 g(x)的奇偶性相同

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π (2)函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0, |φ |≤ )的最小正周 3 π 期是π ,若其图像向右平移 个单位长度后得到的图像对 3 应的函数为奇函数,则函数 f(x)的图像( ) π 5π A.关于点( ,0)对称 B.关于点( ,0)对称 12 12 5π π C.关于直线 x= 对称 D.关于直线 x= 对称 12 12

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[答案] (1)C (2)C

[解析] (1)∵f(x)=sin(x+ 2 ),g(x)=cos(x- 2 ),∴f(x)= 1 cos x,g(x)=sin x,∴f(x)g(x)=sin xcos x=2sin 2x,∴最 2π 1 小正周期 T= 2 =π,排除 A;[f(x)g(x)]max=2,排除 B; f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,排除 D.故选 C.

π

π

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(2)由 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤ 3 )的最小正周期是π, 得ω=2,即 f(x)=sin (2x+φ), ∴f(x) 的图像向右平移 3 个单位长度后得到函数 y =sin[2(x 2π - 3 )+φ]=sin(2x+φ- 3 )的图像, 2π 2π π ∴φ- 3 =kπ,k∈Z,得 φ= +kπ,k∈Z.∵|φ|≤ , 3 3 π π ∴φ=- 3 ,即 f(x)=sin(2x- 3 ). π π 5π kπ 由 2x- 3 = 2 +kπ,k∈Z,得 x= 12 + 2 ,k∈Z,故选 C.
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π

π

π

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[小结] 三角函数的性质主要包括单调性、周期性、奇偶 性和最值,解决此类问题要注意以下两点:一是考查函 数 y=Asin(ωx+φ)的性质,一般利用 y=sin x 的性质, 即把 ωx+φ 看成一个整体,但是一定要 ω>0,否则易出 错;二是一定要结合图像进行分析.
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π 变试题 (1)将函数 f(x)=sin 2x 的图像向右平移 4 个单位 长度后得到函数 g(x)的图像,则下列说法正确的是( ) π A.g(x)的最大值为 1,其图像关于直线 x= 对称 2 π B.g(x)在(0, )上单调递增,且为奇函数 4 3π π C.g(x)在(- , )上单调递增,且为偶函数 8 8 3π D.g(x)的周期为π ,其图像关于点( ,0)对称 8

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π π (2) 已知 f(x) = sin(2014x + ) + cos(2014x - ) 的最 6 3 大值为 A ,若存在实数 x1,x2,使得对任意实数 x 总有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则 A|x1-x2|的最小值为( ) π π 2π 2π A. B. C. D. 1007 2014 1007 1007
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[答案]

(1)A (2)A

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π [解析] (1)将函数 f(x)的图像向右平移 个单位长度后得到 4 π 函数 g(x)=sin(2x- 2 )=-cos 2x 的图像,逐个分析选项可 知 A 正确. π π (2)f(x) = sin(2014x + 6 ) + cos(2014x - 3 ) = 2sin(2014x + π π 6 ),所以 A=2,最小正周期 T=1007.而|x1-x2|的最小值为 π 半个周期,所以 A|x1-x2|的最小值为1007.

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考点四

三角函数图像与性质的综合应用

题型:选择、填空、解答 分值:5~10 分 难度:中等 热点:图像与性质的综合

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ωx 函数 f(x)=6cos2 2 + 3sin ω x-3(ω>0)在一个周 期内的图像如图 84 所示,A 为图像的最高点,B,C 为图 像与 x 轴的交点,且△ABC 为正三角形. 例 4

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图 8-4 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)的单调递增区间和对称中心.

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解: (1)易得 f(x)=3cos ωx+ 3sin ωx=2 3sin(ωx+ 3 ). 又△ABC 为正三角形,且高为 2 3,所以 BC=4,所以 2π π 函数 f(x)的最小正周期为 8,即 =8,所以 ω= 4 , ω
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π

故 f(x)=2 3sin( 4 x+ 3 ).

π

π

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(2)由 2kπ- 2 ≤ 4 x+ 3 ≤2kπ+ 2 ,k∈Z, 10 2 解得 8k- ≤x≤8k+ ,k∈Z, 3 3 10 2 所以 f(x)的单调递增区间为[8k- 3 ,8k+3],k∈Z.
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π π

π

π

π π 4 由 x+ =kπ,k∈Z,得 x=4k- ,k∈Z, 4 3 3 4 所以 f(x)的对称中心为(4k- ,0),k∈Z. 3

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[ 小结 ] 三角函数的综合应用常表现为依据解析式的结构 特点化简为 y=Asin(ωx+φ)后,研究该函数的周期、单调 区间及最值等.
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高考易失分题 7 根据三角函数部分图像考查三角函数的 性质问题 范例 [2015· 全国卷Ⅰ] 函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图 像如图 85 所示,则 f(x)的单调递减区间为( )

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图 85
? 1 ? A. kπ-4,kπ ? ? 3? 1 3? + ?,k∈Z B.?2kπ - ,2kπ + ?,k∈Z 4? 4 4? ? ? ? 1 3? 1 3? C.?k-4,k+4?,k∈Z D.?2k-4,2k+4?,k∈Z ? ? ? ?

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[答案]

D

2π T 5 1 [解析] 由图知 2 =4-4=1,所以 T=2,即? ?=2,所以 ω ?ω? ? ? =± π. 因为函数
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?1 ? f(x)的图像过点?4,0?, ? ?

π ω 所以当 ω=π时, 4 +φ= 2 +2kπ,k∈Z, π 解得 φ= 4 +2kπ,k∈Z;

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π ω 当 ω=-π时, 4 +φ=- 2 +2kπ,k∈Z, π 解得 φ=- +2kπ,k∈Z. 4 ? π π? ? ? 所以 f(x)=cos?πx+ ?.由 2kπ<πx+ <π+2kπ, k∈Z, 4 4? ? 1 3 解得 2k- <x<2k+ ,k∈Z,故选 D. 4 4

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1 失分分析 (1)将点( , 0)代入函数解析式后不能确定 φ 的值 4 或确定错误;(2)不了解余弦函数的单调递减区间;(3)没有 整体意识,不会将 ωx+φ 看成一个整体,从而利用余弦函 数 y=cos x 的单调性求解.

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高考预测 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ )(ω>0,A>0,φ π ∈(0, ))的部分图像如图 86 所示,其中点 P 是图像的 2 π α 5 一个最高点.若 α∈( ,π ),且 sin α = ,则 f( )= 2 13 2 ________.

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图 8-6
[答案] 5-12 3 13
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[解析] 由函数的最大值为 2,得 A=2. π π 由图可得最小正周期 T=4× [12-(- 6 )]=π, ∴ 2π

ω

=π,∴ω=2.

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π π π π 又 2× 12+φ=2kπ+ 2 ,k∈Z,φ∈(0, 2 ),∴φ= 3 , π ∴f(x)=2sin(2x+ ). 3 π 5 由 α∈( 2 ,π),且 sin α=13,得 cos α=- 1-sin2α= π π 12 α α π - ,则 f( )=2sin(2· + )=2(sin αcos +cos αsin ) 13 2 2 3 3 3 5-12 3 = 13 .
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—— 教师备用例题 ——
[备选理由] 例 1 考查三角函数的定义,以及三角函数的性 质;例 2 是将三角函数的解析式、图像及解三角形综合起 来进行考查;例 3 重点考查三角函数的奇偶性与对称性; 例 4 是一道三角函数的实际应用问题.

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例 1(配听课例 1 使用)已知 A(xA,yA)是单位圆(圆心为坐 标原点 O,半径为 1)上任一点,将射线 OA 绕点 O 逆时 针旋转 3 交单位圆于点 B(xB,yB),已知 m>0,若 myA -2yB 的最大值为 3,则 m=________.

π

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[答案]

6+1

[解析] 设∠xOA=α,由三角函数的定义,得 yA=sin α, yB=sin(α+ 3 ),则 myA-2yB=msin α-2sin(α+ 3 )=(m -1)· sin α- 3cos α, 故 myA-2yB 的最大值为 (m-1)2+3=3, 解得 m= 6+ 1 或 m=- 6+1(舍去).

π

π

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例 2( 配听课例 2 使用 ) 某同学用 “ 五点法 ” 画函数 f(x) = π Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ |< 2 )在某一个周期内的图像时,列 表并填入的部分数据如下表. 1 7 x x1 x2 x3 3 3 2 π 3π ω x+φ 0 π 2 2 π Asin(ωx+φ) 0 3 0 - 3 0

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(1)请写出上表中 x1,x2,x3 的值,并直接写出函数 f(x)的解 析式; 2 (2)将 f(x)的图像沿 x 轴向右平移3个单位长度后得到函数 g(x)的图像, P, Q 分别为函数 g(x)图像的最高点和最低点(如 图所示),求∠OQP 的大小.

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2 4 10 解:(1)易知 x1=-3,x2=3,x3= 3 , π π 所以 f(x)= 3sin( 2 x+ 3 ). 2 (2)将 f(x)的图像沿 x 轴向右平移3个单位长度后得到函数 g(x) πx = 3sin 2 的图像. 因为 P, Q 分别为函数 g(x)图像的最高点和最低点, 所以 P(1, 3),Q(3,- 3), 所以 OP=2,PQ=4,OQ=2 3, OQ2+PQ2-OP2 π 3 所以 cos∠OQP= = 2 ,所以∠OQP= 6 . 2OQ·QP
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例 3(配听课例 3 使用)已知函数 y=f(x)是偶函数,且对任意 实数 x,都有 f( 4 +x)=f( 4 -x),则 f(x)的解析式可以是 ( ) A.f(x)=cos x B.f(x)=cos(2x+ 2 )

π

π

π

C.f(x)=sin(4x+ 2 )

π

D.f(x)=cos 6x

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[解析] C

由题意可得,函数 f(x)是偶函数,且它的图像关于

直线 x= 4 对称.f(x)=cos x 是偶函数,但是不满足函数 f(x) 的图像关于直线 x= 4 对称, 故排除 A; 函数 f(x)=cos(2x+ 2 ) =-sin 2x 是奇函数, 不满足条件, 故排除 B; 函数 f(x)=sin(4x + 2 )=cos 4x 是偶函数, 且函数 f(x)的图像关于直线 x= 4 对 称,故 C 满足条件;函数 f(x)=cos 6x 是偶函数,但是不满 足函数 f(x)的图像关于直线 x= 4 对称,故排除 D.

π

π

π

π

π

π

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例 4(配听课例 4 使用)某实验室一天的温度(单位: ℃)随时刻 π π 的变化近似地满足函数关系式: f(t)=10- 3cos12t-sin12t(t ∈[0,24]). (1)求实验室这一天的最大温差. (2)若要求实验室的温度不能大于等于 11℃,则在哪段时间 内实验室需要降温?

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π π 3 π 1 π 解: (1)f(t)=10-2× ( 2 cos12t+2sin12t)=10-2sin(12t+ 3 ). π π π 7π π 因为 0≤t≤24 ,所以 3 ≤ 12 t + 3 ≤ 3 ,所以- 1≤sin( 12 t + π
3 )≤1.

当 t=2 时, sin(12×2+ 3 )=1; 当 t=14 时, sin(12×14+ 3 ) =-1. 于是 f(t)在[0,24]上的最大值为 12,最小值为 8. 故实验室这一天最高温度为 12℃,最低温度为 8℃,最大温 差为 4℃.

π

π

π

π

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(2)依题意,当 f(t)≥11 时实验室需要降温. 由(1)得 f(t)=10-2sin(12t+ 3 ), 1 所以 10-2sin(12t+ 3 )≥11,即 sin(12t+ 3 )≤-2, π π π 7π 又 0≤t≤24,所以 3 ≤12t+ 3 ≤ 3 , 7π π π 11π 因此 6 ≤12t+ 3 ≤ 6 ,即 10≤t≤18,所以在 10 时至 18 时这段时间内实验室需要降温. 故在 10 时至 18 时实验室需要降温.

π

π

π

π

π

π

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