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2018年上海市虹口区高三二模数学卷(含答案)

时间:2018-04-22


虹口区 2017 学年度第二学期期中教学质量监控测试 高三数学 试卷
2018.4

(时间 120 分钟,满分 150 分)
一.填空题(1~6 题每小题 4 分,7~12 题每小题 5 分,本大题满分 54 分) 1.已知 A ? ( ??, a] , B ? [1, 2] ,且 A ? B ? ? ,则实数 a 的范围是 2.直线 ax ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 与直线 4 x ? ay ? 2 ? 0 互相平行,则实数 a ? 3.已知 ? ? (0, ? ) , cos ? ? ? . .

3 ? ,则 tan(? ? ) ? 5 4



4.长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为
2 c o2 s? ? c o ? s?

? , ? , ? ,则

c2o ? s?



2 ?? ? x x?0 5.已知函数 f ( x ) ? ? ? x ,则 f ?1[ f ?1 (?9)] ? ? ?2 ? 1 x ? 0



6 .从集合 ??1, 1,

2, 3 ? 随机取一个为 m ,从集合 ??2, ?1, 1, 2 ? 随机取一个为 n ,则方程


x2 y2 ? ? 1 表示双曲线的概率为 m n

7.已知数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列,且 a2 , a4 , a3 成等差数列,则 q ? _______. 8 .若将函数 f ( x) ? x6 表示成 f ( x) ? a0 ? a1( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) ? a3 ( x ? 1) ?
2 3

? a6 ( x ? 1)6 则 a3 的值等
D1 C1 B1



. 9 . 如 图 , 长 方 体 ABCD? A 1 B 1 C 1 D 1的 边 长 AB ? AA 1 ?1 ,
A1

O D A B C

AD ? 2 ,它的外接球是球 O ,则 A , A1 这两点的球面距离等
于 .

10.椭圆的长轴长等于 m ,短轴长等于 n ,则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为_______. 11 . ? x ? 是 不 超 过 x 的 最 大 整 数 , 则 方 程 (2 ) ?
x 2

7 1 ?? 2x ? ? ? 0 满 足 x ?1 的 所 有 实 数 解 ? ? 4 4



. 12 . 函 数 f ( x ) ? sin x , 对 于 x1 ? x2 ? x3 ?

?n x且 x1, x2 ,

, xn ??0, 8? ? ( n ? 10 ), 记


M ? f ( x1) ? f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 ) ? ? f ( xn?1) ? f ( xn ) ,则 M 的最大值等于
虹口区高三数学 本卷共 4 页 第 1 页

二.选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 13.下列函数是奇函数的是( ) .

A. f ( x ) ? x ? 1

B. f ( x)? s i n x ?

?x x ? 0 c oxs C. f ( x ) ? arccos x D. f ( x ) ? ? ?? x x ? 0

14.在 Rt ? ABC 中, AB ? AC ,点 M 、 N 是线段 AC 的三等分点,点 P 在线段 BC 上运动且满足

PC ? k ? BC ,当 PM ? PN 取得最小值时,实数 k 的值为(
A.



1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 8

15.直线 l : kx ? y ? k ? 1 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 8 交于 A , B 两点,且 AB ? 4 2 ,过点 A , B 分别作 l 的垂线与 y 轴交于点 M , N ,则 MN 等于( )

A. 2 2

B. 4

C. 4 2

D. 8

16.已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? a ,且 0 ? a ? 4 , an ?1 ? ? 则以下结论正确的是( )

?an ? 4 an ? 4 , Sn 是此数列的前 n 项和, 6 ? a a ? 4 ? n n

A. 不存在 ...a 和 n 使得 Sn ? 2015 C. 不存在 ...a 和 n 使得 Sn ? 2017
三.解答题(本大题满分 76 分)

B. 不存在 ...a 和 n 使得 Sn ? 2016
D. 不存在 ...a 和 n 使得 Sn ? 2018

17. (本题满分 14 分.第(1)小题 7 分,第(2)小题 7 分.) 如 图 , 直 三 棱 柱 的 底 面 是 等 腰 直 角 三 角 形 ,

A1
P2 B1 M2 P1

C1 N2

AB ? AC ? 1 , ?BAC ?
线段的三等分点.

?
2

,高等于 3,点 M 1 , M 2 , N1 , N 2 为

所 在
N1

(1)求此三棱柱的体积和三棱锥 A1 ? AM1N 2 的体积; (2)求异面直线 A1 N 2 , AM 1 所成的角的大小. 18. (本题满分 14 分.第(1)小题 7 分,第(2)小题 7 分.)

A

M1

C

B

已知 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c , z ? cos A ? i ? sin A ( i 是虚数单位)是方程

z 2 ? z ? 1 ? 0 的根, a ? 3 .

虹口区高三数学

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(1)若 B ?

?
4

,求边长 c 的值;

(2)求 ?ABC 面积的最大值.

19. (本题满分 14 分.第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分.) 平面内 的“向量列” an ,如果对于任意的正整数 n ,均有 an?1 ? an ? d ,则称此“向量列”为“等 ... 差向量列” , d 称为“公差向量” . 平面内的“向量列” bn ,如果 b1 ? 0 且对于任意的正整数 n ,均有 ,则称此“向量列”为“等比向量列” ,常数 q 称为“公比”. bn?1 ? q ? bn ( q ? 0 ) (1)如果“向量列” an 是“等差向量列” ,用 a1 和“公差向量” d 表示 a1 ? a2 ? (2)已知 an 是“等差向量列” , “公差向量” d ? (3,

? ?

? ?

?

?

? ?

? an ; yn ) ; bn 是

? ?

0) , a1 ? (1, 1) , an ? ( xn ,

? ?

“等比向量列” , “公比” q ? 2 , b1 ? (1, 3) , bn ? (mn , kn ) .求 a1 ? b1 ? a2 ? b2 ?

? an ? bn .

20. (本题满分 16 分.第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 7 分.) 如果直线与椭圆只有一个交点,称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆 C : 椭圆 C 上的任意一点,直线 l 过点 M 且是椭圆 C 的“切线”. (1)证明:过椭圆 C 上的点 M ( m, n ) 的“切线”方程是

x2 ? y 2 ? 1,点 M (m, n) 是 2

mx ? ny ? 1 ; 2

(2)设 A , B 是椭圆 C 长轴上的两个端点,点 M ( m, n ) 不在坐标轴上,直线 MA , MB 分别交 y 轴于
虹口区高三数学 本卷共 4 页 第 3 页

点 P , Q ,过 M 的椭圆 C 的“切线” l 交 y 轴于点 D ,证明:点 D 是线段 PQ 的中点; (3)点 M ( m, n ) 不在 x 轴上,记椭圆 C 的两个焦点分别为 F1 和 F2 ,判断过 M 的椭圆 C 的“切线”l 与 直线 MF1 , MF2 所成夹角是否相等?并说明理由.
y

A

F1

O

F2

B

x

21. (本题满分 18 分.第(1)小题 3 分,第(2)小题 7 分,第(3)小题 8 分.) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? x ? a ( a ? R , x ? R ) , g( x )?

x ( x ? R ). 1 ? x3

(1)如果 x ?

?3 4 是关于 x 的不等式 f ( x)? 0 的解,求实数 a 的取值范围; 2 ?3 4 ?3 4 ]和[ , 1)的单调性,并说明理由; 2 2

(2)判断 g( x)在(?1,

4 7 (3)证明:函数 f ( x ) 存在零点 q,使得 a ? q ? q ? q ?

? q3n?2 ?

成立的充要条件是 a ?

?3 4 . 3

虹口区 2017 学年度第二学期高三年级数学学科 期中教学质量监控测试题答案
一、填空题(1~6 题每小题 4 分,7~12 题每小题 5 分,本大题满分 54 分) 1、 a ? 1 ; 8、20; 2、2; 9、 3、 ? 10、

? ; 3

1 ; 7

4、2;

5、 ?2 ;

6、

1 ; 2

7、 1 或 ?

1 ; 2

1 mn ; 2
15、 D ;

11、 x ? ?1 或 x ?

1 ; 2

12、16;

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 13、 B ; 14、 C ; 16、 A ;

三、解答题(本大题满分 76 分) 17、 (14 分)解:(1) 分

S?ABC ?

1 3 ,? VABC ? A1B1C1 ? ……2 2 2

A1
P2 B1 M2 P1

C1 N2

S?AM1 A1 ?

3 1 , C1 到平面 ABB1 A 1 的距离等于 ,即 N 2 到平面 2
虹口区高三数学 本卷共 4 页 第 4 页

N1 M1

A

C

B

1 3 1 ABB1 A1 的距离等于 1 ,? VA1 ? AM1N 2 ? VN 2 ? AM1 A1 ? ? ? 3 2 2 3 1 ,三棱锥 A1 ? AM1N 2 的体积等于 (立方单 ? 三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积等于 (立方单位) 2 2
位)……………7 分 (2)取线段 AA1 的三等分点 P1 , P 2 ,连 P 1 M 2 , PC 1 .

A1 N 2 ∥ PC 1 , AM 1 ∥ P 1 M 2 ,? ?M 2 PC 1 的大小等于异面直线 A 1 N 2 , AM 1 所成的角或其补角的
大小.…………9 分

PM ? 2 , M2C ? 6 . 1 2 ? AM1 ? 2 , PC 1
? ? cos ?M 2 PC 1 2?2?6 1 ?? . 2 2? 2 ? 2

? 异面直线 A1 N 2 , AM1 所成的角的大小等于
2

? .………………14 分 3
1 3 ? i .…………2 分 2 2

18、 (14 分)解: (1) z ? z ? 1 ? 0 的两个根为 z ?

? cos A ?

1 ? 3 , sin A ? ,A? .…………4 分 2 3 2

? sin C ? sin
(2)

5? 6? 2 ? 12 4



c a 3 2? 6 ? ,得 c ? ……………7 分 sin C sin A 2

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A .

? 9 ? b2 ? c2 ? bc ? 2bc ? bc ? bc , 从 而 bc ? 9 , 等 号 当 b ? c 时 成 立 , 此 时
1 9 3 9 3 Sm a ?x bc s i An? .? ?ABC 的面积的最大值等于 .……………14 分 2 4 4
19、 (14 分)解: (1)设 an ? ( xn , 由 an?1 ? an ? d ,得 ?

yn ) , d ? (d1, d2 ) .

? xn ?1 ? xn ? d1 ,所以数列 ?xn ? 是以 x1 为首项,公差为 d1 的等差数列;数列 ? yn ? ? yn ?1 ? yn ? d 2

是以 y1 首项,公差为 d 2 的等差数列.……………………3 分

? a1 ? a2 ?

? an ? (x1 ? x2 ?

? xn , y1 ? y2 ?
虹口区高三数学

? yn )

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1 1 ? (nx1 ? n(n ? 1)d1 , ny1 ? n(n ? 1)d 2 ) ? n( x1 , 2 2 1 ? na1 ? n (n ? 1)d .………………6 分 2
(2)设 an ? ( xn ,

1 y1 ) ? n(n ? 1)( d1, d 2 ) 2

yn ) , bn ? (mn , kn ) . yn?1 ) ? ( xn , yn ) ? ( xn?1 ? xn , yn?1 ? yn ) ? (3, 0) , 从 而 xn?1 ? xn ? 3 ,

由 an?1 ? an ? ( xn?1,

公差为 3 的等差数列, 从而 xn ? 3n ? 2 .数列 ? yn ? 是常数列,yn ? 1 . yn?1 ? yn ? 0 .数列 ?xn ? 是以 1 为首项, 由 bn?1 ? 2bn 得 mn?1 ? 2mn , kn?1 ? 2kn ,又 m1 ? 1 , k1 ? 3 ,? 数列 ?mn ? 是以 1 为首项,公比为 2 的等比数列;数列 ?kn ? 是以 3 为首项,公比为 2 的等比数列,从而有 mn ? 2n ?1 , kn ? 3 ? 2n?1 .……10 分

a1 ? b1 ? a2 ? b2 ?

? an ? bn ? x1m1 ? x2m2 ?

? xnmn ? y1k1 ? y2k2 ?

? ynkn

令 Sn ? x1m1 ? x2m2 ?

? xnmn ? 1?1 ? 4 ? 2 ? 7 ? 22 ?

? (3n ? 2) ? 2n?1 ………①

2Sn ? 1? 2 ? 4 ? 22 ? 7 ? 23 ?

? (3n ? 2) ? 2n …………②. ? 2n?1 ) ? (3n ? 2) ? 2n ,得 Sn ? 5 ? (3n ? 5) ? 2n

①-②得, ?Sn ? 1 ? 3(2 ? 22 ? 23 ? 令 Tn ? y1k1 ? y2k2 ? 从而 a1 ? b1 ? a2 ? b2 ?

? yn k n ?

3 ? (1 ? 2n ) ? 3 ? (2n ? 1) 1? 2

? an ? bn ? Sn ? Tn ? (3n ? 2) ? 2n ? 2 ………………14 分
mx m2 ? ny ? 1 上 ? n 2 ? 1 ,? M (m, n) 在直线 2 2

20、 (16 分解: (1)由点 M ( m, n ) 在椭圆 C 上,有

当 n ? 0 时,由

2 m2 m2 ? 2 ? n 2 ? 1 ,得 m 2 ? 2 ,直线方程为 x ? ,代入椭圆方程得 y 2 ? ? 0 ,得 m 2 m2

( 一个交点

2 , 0) ,直线 l 是椭圆 C 切线. m

当 n ? 0 时,有

1 m 1 m2 x ? 代 入 椭 圆 方 程 得 x 2 ? mx ? 1 ? n 2 ? 0 , 有 ? n2 ? 1 , 直 线 为 y ? ? 2 2n n 2

1 C 切线.…………………4 分 ? ? m 2 ?4 ? ( 1 ? n2 ) ? m 2 ?2n 2 ?2 ? 0 ,直线是椭圆 2
另解:不讨论将椭圆方程化为

mx n2 x2 ? n 2 y 2 ? n 2 ,将直线方程 ny ? 1 ? 代入消 y ,得到 x 的一元二 2 2
虹口区高三数学 本卷共 4 页 第 6 页

次方程,然后证明 ? ? 0 ( 2 ) 点 M ( m, n ) 不 在 坐 标 轴 上 , AM : y ?

n 2n ( x ? 2) , 得 P( 0 , m? 2 m? 2

.)

BM : y ?

n ( x ? 2) ,得 Q(0, m? 2

? 2n ) ……………………6 分 m? 2

过点 M ( m, n ) 的切线为 l :

mx 1 m2 ? ny ? 1 ,得 D ( 0, ). 由 ? n 2 ? 1 ,得 m2 ? 2 ? ?2n 2 ,从而有 2 n 2

yP ? yQ ?

2n ? 2n ?4n 2 ? ? 2 ? ? 2 yD ,?点 D 是线段 PQ 的中点.…9 分 m? 2 m? 2 m ?2 n
mx m2 ? ny ? 1 , l 的方向向量 d ? (2n, ?m) , ? n 2 ? 1 . F1 (?1, 0) , F2 (1, 0) , 2 2

(3) M ( m, n ) , l :

MF1 ? (?1 ? m, ?n) , MF2 ? (1 ? m, ?n) ,记 d 与 MF1 的夹角 ? , d 与 MF2 的夹角 ? .………12 分
cos ? ? d ? MF1 d MF1
d ? MF2 d MF2

?

2n ? mn 4n 2 ? m 2 ? (1 ? m)2 ? n 2

?

n(m ? 2) 2 4n ? m ? m?2 2
2 2

?

2n 4n 2 ? m 2



cos ? ?

?

2n ? mn 4n ? m ? (1 ? m) ? n
2 2 2 2

?

n(2 ? m) 2 4n 2 ? m 2 ? m?2 2

?

2n 4n 2 ? m 2



所以 cos ? ? cos ? ,有 ? ? ? ,从而有 l 与直线 MF1 , MF2 所成的夹角相等.……16 分 21、 (18 分)解:(1) 由 a(?
3

3 3 4 3 4 4 ) ? (? ) ? a ? 0 ,得 a ? ? ………………3 分 2 2 3

(2)设 x2 ? x1 , g( x2 )? g( x1 )?

x2 1? x
3 2

?

( x ? x )[1? x x ( x2 ? x1 )] ? 2 1 3 1 2 3 1? x (1? x2 )(1? x1 ) x1
3 1

当 ?1 ? x1 ? x2 ?

3 2 ?3 4 3 时, x2 ? x1 ? 0 , 1? x2 ? 0 , 1? x13 ? 0 , ? x1 x2 ? 1 , ?2 ? x1 ? x2 ? ? 3 4 , 2 2

有 ?2 ? x1 x2(x1 ? x2 )??1 , ?1?1? x1 x2(x1 ? x2 )? 0 ,? g(x2 )? g(x1 )? 0 .………………6 分 当?
3 3 4 2 3 3 , ? 3 4 ? x1 ? x2 ? 0 ,有 ? x1 ? x2 ? 0 时, x2 ? x1 ? 0 ,1? x2 ? 0 ,1? x1 ? 0 , 0 ? x1 x2 ? 2 2

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本卷共 4 页 第 7 页

?1? x1 x2(x1 ? x2 )? 0 , 0 ?1? x1 x2(x1 ? x2 )?1 ,? g(x2 )? g(x1 )? 0 .
3 3 当 0 ? x1 ? x2 ?1时, x2 ? x1 ? 0 , 1? x2 ? 0 , 1? x1 ? 0 , 1? x1 x2(x1 ? x2 )? 0 ,? g(x2 )? g(x1 )? 0 .
3 3 3 4 4 4 ]递减,在[? , 0]和[0, 1)上递增,从而在[? , 1)上递增.………10 分 2 2 2
3 3 3 4 a 34 3 4 4 时 , 有 f (? ,函数 ? 0 )?? ? ?a ? ? a? ? 0 , 又 f (1)? 1 3 2 2 2 2 2

? g( x)在(?1, ?

(3) 充 分 性 : 当 a ? ?

f ( x) ? ax3 ? x ? a 在 [? 3 aq3 ? q ? a ? 0 ,得 a ?

1 1 ,1) 内的图像连续不断,故在 [? 3 ,1) 内一定存在零点 q 且 q ? 1 , ? 有 2 2

q ,从而 a ? q ? q4 ? q7 ? 3 1? q

? q3n?2 ?

.……14 分

必要性:当 q ? 0 时, a ? 0 . 当 q ? 0 时, 由 a ? q ? q4 ? q7 ?

? q3n?2 ?

成立, 可得 ?1 ? q3 ? 1从而得 ?1 ? q ? 1 ,a ?

q , 1 ? q3

3 3 3 x 4 4 4 1 由(2)中的结论可知 g ( x) ? 在(?1, ? ]递减,在[? , 1)递增,从而, ? ? g( x)? ? 或 3 1? x 2 2 3 2 3

g( x)? ?

4 . 3
3 q 4 ? 1 ? q ? 1 , 时,有 .………………18 分 a ? ? 3 1? q 3

从而 a ?

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