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人教A版高中数学必修五课件3.1不等关系与不等式_图文

时间:

高中数学课件
(金戈铁骑 整理制作)

第三章 不等式
3.1不等关系与不等式

课标要求

学法指导

1.不等关系广泛存在于现实

1.通过具体情境,感受在现实 生活中,应用不等式(组)表示

世界和日常生活中存在着大 不等关系实质是将“自然语

量的不等关系,会用不等式及 言”或“图形语言”转化成

不等式组表示不等关系.

“数学语言”,是用不等式知

2.会用作差法(或作商法)比 识解决实际问题的第一步.只

较两个实数或代数式值的 需根据题意建立相应模型,把

大小.

模型中的量具体化即可.

3.掌握不等式的性质,能运用 2.不等式的基本性质是解决

不等式的性质解决问题.

不等式的有关问题的依据,应

用时每步都要做到等价变形.

新课导入 知识探究 题型探究
达标检测

新课导入——实例引领 思维激活
实例:在日常生活中,我们经常看到下列标志

想一想 图中的标志各表示什么意思?你能用数学关系 式表示吗? (①最低限速:限制行驶时速v不得低于50公里,v≥50; ②限制质量:装载总质量G不得超过10吨,0≤G≤10; ③限制高度:装载高度h不得超过3.5米,0≤h≤3.5; ④限制宽度:装载宽度a不得超过3米,0≤a≤3)

知识探究——自主梳理 思考辨析
1.比较实数a、b的大小 (1)文字叙述 如果a-b是 正数 ,那么a>b; 如果a-b 等于零 ,那么a=b; 如果a-b是 负数 ,那么a<b,反过来也对. (2)符号表示 a-b>0?a > b; a-b=0?a = b; a-b<0?a < b.

2.不等式的性质 (1)对称性:a>b? b<a .

(2)传递性:

a b

? ?

b?

c

? ?

? a>c.

(3)加法性质:a ? c?

b R

? ? ?

?a+c>b+c.

(4)乘法性质:

a c

? ?

b?

0

? ?

?ac>bc,

a c

? ?

b?

0

? ?

?ac<bc.

a ? b?

(5)加法性质:

c

?

d

? ?

?a+c>b+d.

(6)乘法性质: a c

?b ?d

? 0? ? 0??

?

ac>bd .

(7)乘方性质:

a n

? ?

b?0 N,n ?

? 1??

?an>bn.

(8)开方性质:

a n

? ?

b?0 N,n ?

? 2??

?

n

a

>

nb

.

思考:由a>b可以得出 1 < 1 吗?
ab
提示:不可以.例如当a=2,b=-2时,该结论错误;当a·b>0
时,a>b? 1 < 1
ab

题型探究——典例剖析 举一反三
题型一 用不等式来表示不等关系
【例1】 用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的
矩形菜园,墙长18 m,要求菜园的面积不小于216 m2,靠
墙的一边长为x m.试用不等式表示其中的不等关系.
名师导引: (1)矩形菜园靠墙的一边长x应满足什么条 件?(0<x≤18) (2)菜园的另一条边长为多少?( 30 ? x m)
2 (3)矩形面积怎样计算?(S=x· 30 ? x )
2
(4)矩形面积应满足什么条件?(S≥216)

解:由于矩形菜园靠墙的一边长为 x m,而墙长为 18 m, 所以 0<x≤18,

这时菜园的另一条边长为 30 ? x =(15- x )(m).

2

2

因此菜园面积 S=x·(15- x ), 2
依题意有 S≥216,

即 x(15- x )≥216, 2
故该题中的不等关系可用不等式表示为

?0 ? x ? 18,

?

? ??

x

???15

?

x 2

? ??

?

216.

题后反思 (1)利用不等式表示不等关系时,应注意必须 是具有相同性质,可以比较大小的两个量才可用,没有可 比性的两个量之间不能用不等式来表示. (2)在用不等式表示实际问题时,一定要注意单位统一.

跟踪训练1-1:配制A、B两种药剂,需要甲、乙两种原料. 已知配一剂A种药需甲料3克,乙料5克;配一剂B种药需甲 料5克,乙料4克.今有甲料20克,乙料25克,若A、B两种药 至少各配一剂,设A、B两种药分别配x、y剂(x、y∈N),请 写出x、y应满足的不等关系式.

?3x ? 5y ? 20,

解:根据题意可得

??5x ? 4 y ? 25,

? ?

x

?

1,

x

?

N,

?? y ? 1, y ? N.

题型二 作差法比较两式或两数的大小 【例2】 已知x∈R,试比较3x2-2x+1与2x2-x-1的大小.

解:(3x2-2x+1)-(2x2-x-1)

=x2-x+2=(x- 1 )2+ 7 , 24
∵x∈R,

∴(x- 1 )2≥0,(x- 1 )2+ 7 ≥ 7 >0.

2

2 44

即(3x2-2x+1)-(2x2-x-1)>0,

故 3x2-2x+1>2x2-x-1.

题后反思 (1)比较两个实数(代数式)大小的一般步骤是作 差——变形——判断符号——下结论. (2)作差法比较大小的关键是变形,常用的变形方法有配方、 通分、因式分解、分子(或分母)有理化等.

跟踪训练2-1:比较下列各组中两个代数式的大小: (1)x2+3与3x; (2)已知a,b为正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2.
解:(1)(x2+3)-3x=x2-3x+3
=(x- 3 )2+ 3 ≥ 3 >0, 2 44
∴x2+3>3x.
(2)(a3+b3)-(a2b+ab2) =a3+b3-a2b-ab2 =a2(a-b)-b2(a-b) =(a-b)(a2-b2) =(a-b)2(a+b), ∵a>0,b>0且a≠b, ∴(a-b)2>0,a+b>0. ∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>0, 即a3+b3>a2b+ab2.

题型三 不等式性质的应用
【例 3】已知 a>b>0,c<d<0,e<0,求证: e > e . a?c b?d
证明:∵c<d<0, ∴-c>-d>0, 又∵a>b>0,∴a+(-c)>b+(-d)>0,
即 a-c>b-d>0,∴0< 1 < 1 , a?c b?d
又∵e<0,∴ e > e . a?c b?d

跟踪训练3-1:已知a>b,m>n,p>0,求证:n-ap<m-bp. 证明:∵a>b,又p>0,∴ap>bp, ∴-ap<-bp, 又m>n,即n<m.∴n-ap<m-bp.

【例 4】 (10 分)已知 1<a<4,2<b<8,试求 a-b 与 a 的取值范围. b
名师导引:(1)由 b 的范围能否求得-b 的范围?
(能,∵2<b<8,∴-8<-b<-2)

(2)由 b 的范围怎样得到 1 的范围? b

(∵2<b<8,∴ 1 < 1 < 1 ) 8b2

(3)a-b 是由 a 和-b 怎样得到的? a 是由 a 与 1 怎样得

b

b

到的?(a-b=a+(-b), a =a· 1 ) bb

解:∵2<b<8,
∴-8<-b<-2.……………………………………………………2 分 又∵1<a<4, ∴1+(-8)<a+(-b)<4+(-2),……………………………………4 分 即-7<a-b<2.……………………………………………………5 分 又∵2<b<8,

∴ 1 < 1 < 1 ,……………………………………………………7 分 8b2

而 1<a<4,∴1× 1 <a· 1 <4× 1 , 8b2

即 1 < a <2.………………………………………………………9 分 8b

故 a-b 的取值范围是(-7,2), a 的取值范围是( 1 ,2).…10 分

b

8

题后反思 (1)利用不等式性质时,要特别注意性 质成立的条件,如同向不等式相加,不等号方向不 变,两边都是正数的同向不等式才能相乘等. (2)要充分利用所给条件,进行适当变形来求范围, 注意变形的等价性

备选例题
【例1】已知a>0,b>0,比较aabb与abba的大小.

解:∵a>0,b>0,∴aabb>0,abba>0,

∴ aabb = aa?b =( a )a-b.

abba ba?b

b

①当 a>b 时, a >1,a-b>0, b

∴( a )a-b>1, b
∴aabb>abba.

②当 a=b 时, a =1,a-b=0, b
∴( a )a-b=1, b
∴aabb=abba,
③当 a<b 时,0< a <1,a-b<0, b
∴( a )a-b>1,∴aabb>abba, b
综上可知,当 a>0,b>0 时,aabb≥abba.

【例2】设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2) 的取值范围.

解:法一 设 f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n 为待定系数), 则 4a-2b=m(a-b)+n(a+b), 即 4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,

于是得

?m ? n ??n ? m

? ?

4, ?2,

解得

?m ? 3, ??n ? 1,

∴f(-2)=3f(-1)+f(1),

又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10, 即 5≤f(-2)≤10.

法二



?? ? ??

f f

??1? ? ?1? ? a

a ?

? b, b,



???a ? ??? b

? ?

1 2 1 2

?? ??

f f

? ?1? ?1? ?

? f

f ?1??? , ??1??? ,

∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1),

又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10, 即 5≤f(-2)≤10.

达标检测——反馈矫正 及时总结
1.若a>b,c>d,则下列不等式关系中不一定成立的是 (B ) (A)a-b>d-c (B)a+d>b+c (C)a-c>b-c (D)a-c<a-d 解析:由不等式的性质易知A、C、D成立,选B.

2.设m=x2+y2+2y,n=2x-5,则m,n的大小关系是( A ) (A)m>n (B)m<n (C)m=n (D)与x,y取值有关 解析:m-n=x2+y2+2y-2x+5 =(x-1)2+(y+1)2+3>0, ∴m>n,选A.

3.当x>0时,2x+3与x+2的大小关系为

.

解析: (2x+3)-(x+2)=x+1,

∵x>0,

∴x+1>1>0,

∴2x+3>x+2.

答案:2x+3>x+2

4.一辆汽车原来每天行驶x km,如果该汽车每天行驶的路

程比原来少10 km,那么在6天内它的行程将不超过2000

km,用不等式表示为

.

解析:如果该汽车每天行驶的路程比原来少10 km,那么在

6天内它的行程为6(x-10)km,那么不等关系“在6天内它

的行程将不超过2000 km”可以用不等式6(x-10)≤2000

来表示.

答案:6(x-10)≤2000

课堂小结
1.比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了. a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a<b. 2.作差比较的一般步骤: 第一步:作差;第二步:变形,常采用配方、因式分解等恒 等变形手段,将“差”化成“积”;第三步:定号,就是确 定是大于0,等于0,还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论.概括为“三步一结论”,这里的“定号”是 目的,“变形”是关键. 3.不等式的性质是不等式变形的依据,每一步变形都要严 格依性质进行,千万不可想当然.

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