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2.3.1双曲线及其标准方程(自带动画不需另下_加了点简单例题)_图文

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y M M F1 o F2 x F1 F2 1. 椭圆的定义 平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数 (大于|F1F2|) 的点的轨迹. Y M ? x, y ? F1 ? ?c, 0 ? O F2? c, 0 ? X 2. 引入问题: 平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢? 定义: 注意 平面内与两个定点F1,F2的距离的差 M 等于常数2a的点的轨迹叫做双曲线. 即 MF1 ? MF2 ? 2a F 1 o F 思考定义的完整性??? (差的绝对值)MF1 ? MF2 ? 2a ? a ? 0 ? 2 MF1 ? MF2 时,表示双曲线的右支 MF1 ? MF2 时,表示双曲线的左支 常数0<2a<|F1F2|,为什么?! (1)常数0<2a< F1F2 ? 表示以点F1, F2为焦点的 双曲线。 (2)常数2a ? F1F2 ? 表示以焦点F1, F2为端点的 两条互相反向的射线。 (3)常数2a> F1F2 ? 表示 轨迹不存在。 ?4? 常数2a ? 0 ? 表示 线段F1F2的垂直平分线。 平面内与两个定点F1,F2的距离的差 的绝对值 等于常数2a (小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. 显然0<2a<2c 例题辨析: ?1? 若双曲线中a ? 5, 且双曲线上一点P到右焦点的 距离是5,则P到左焦点的距离是15 ? 2 ? 方程 ? x ? 5? ? y ? 2 2 2 x ? 5 ? y ? ? 2 ?6 表示的曲线是什么?去掉绝对值符号呢? 双曲线标准方程的推导 5 一、建立坐标系;设动点为 P(x,y) P(x,y) 注:设两焦点之间的距离为 2c(c>0), 即焦点F 1(c,0),F 2(-c,0) -5 F1(-c,0) F2(c,0) 5 二、根据双曲线的定义找出P点 满足的几何条件。 -5 | PF 1 | ? | PF 2 | ? 2a ? 0 ? a ? c ? 三、将几何条件化为代数条件: 根据两点的间的距离公式得: ( x ?c) ? y 2 2 ? ( x ?c) ? y 2 2 ? 2a 四、化简整理: (c ? a ) x ? a 2 2 2 2 y 2 2 2 ? a (c ? a ) 2 2 2 两边同时除以 a (c ? a ) ,得 2 2 x y - 2 ?1 2 2 a c -a 2 令 c ?a ?b 2 2 2 得 2 2 x a 是怎样? 2 2 y ? b ?1 c ? a ?b 2 2 2 思考:如果双曲线的焦点在y轴上,焦点的方程 y a 2 2 ? x b 2 2 ?1 c ? a ?b 2 2 2 定义 焦点位置 | |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|) 焦点在X轴上 y M M F2 焦点在Y轴上 y 图象 F1 o F2 x F1 x 方程 焦点 a.b.c 的关系 x y ? 2 ?1 2 a b F ( ±c, 0) 2 2 2 2 y x ? 2 ?1 2 a b F(0, ± c) 2 2 2 c ? a ?b 问题:如何判断双曲线的焦点在哪个轴上? 例1:写出以下双曲线的焦点坐标 x y 2 2 1. ? ? 1 2. 16 x ? 9 y ? 144 16 9 看 x , y 前的系数,哪一个为正, 则在哪一个轴上 椭圆以大小论长短,双曲线以正负定实虚 2 2 2 2 [练习]写出双曲线的标准方程 1、已知a=3,b=4焦点在x轴上,双曲线的 2 标准方程为 。 2 x ? y ?1 9 16 2、已知a=3,b=4焦点在y轴上,双曲线的 2 标准方程为 2 。 y 9 ? 16 x ?1 [练习] 判断下列各双曲线方程焦点所 在的坐标轴;求a、b、c各为多少? y x (1) ? 2 2 25 2 16 2 ?1 y x ( 2) ? 25 2 2 2 2 16 ?1 (3)4 x ? 9 y ? 36 (4)4 x ? 9 y ? ?36 x 2 9 y ? 2 4 ?1 y ( 4) ?x 4 2 2 9 ?1 例题探究 例1 已知双曲线的两焦点为(-5,0),(5,0), 双曲线上任一点P到两焦点的距离的差的绝对 值等于6,求此双曲线的标准方程。 解:因为双曲线的焦点在x轴上 所以设它的标准方程为 2a=6, 2c=10,即:a=3,c=5 ∴b2=c2-a2=25-9=16 2 2 x y 所求的双曲线方程为: ? ?1 x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b 2 2 9 16 练习:已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线 上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于8,求双 曲线的标准方程. 若双曲线上有一点P,且|PF1|=10, 2或18 则|PF2|=_________ 解:根据双曲线的焦点在 x 轴上,设它的标准方程为: x y ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 2 a b ∵ ∴ 2a = 8, c=5 ∴ a = 4, c = 5 2 2 2 2 x y ?1 所以所求双曲线的标准方程为: ? 16 9 b2 = 52-42 =9 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)a=3,b=4,焦点在x轴上; 2 5 ,经过点A(2,5),焦点在y轴上。 (2)a= 解 (1)依题意a=3,b=4,焦点在x轴上,所以双曲线 方程为 x 2 y 2 9 ? 16 ?1 (

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