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2.3.1双曲线及其标准方程(自带动画不需另下

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y M M F1 o F2 x F1 F2 1. 椭圆的定义 平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数 (大于|F1F2|) 的点的轨迹. Y M ? x, y ? F1 ? ?c, 0 ? O F2? c, 0 ? X 2. 引入问题: 平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢? 定义: 注意 平面内与两个定点F1,F2的距离的差 M 等于常数2a的点的轨迹叫做双曲线. 即 MF1 ? MF2 ? 2a F 1 o F 思考定义的完整性??? (差的绝对值)MF1 ? MF2 ? 2a ? a ? 0 ? 2 MF1 ? MF2 时,表示双曲线的右支 MF1 ? MF2 时,表示双曲线的左支 常数0<2a<|F1F2|,为什么?! (1)常数0<2a< F1F2 ? 表示以点F1, F2为焦点的 双曲线。 (2)常数2a ? F1F2 ? 表示以焦点F1, F2为端点的 两条互相反向的射线。 (3)常数2a> F1F2 ? 表示 轨迹不存在。 ?4? 常数2a ? 0 ? 表示 线段F1F2的垂直平分线。 平面内与两个定点F1,F2的距离的差 的绝对值 等于常数2a (小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. 显然0<2a<2c 例题辨析: ?1? 若双曲线中a ? 5, 且双曲线上一点P到右焦点的 距离是5,则P到左焦点的距离是15 ? 2 ? 方程 ? x ? 5? ? y ? 2 2 2 x ? 5 ? y ? ? 2 ?6 表示的曲线是什么?去掉绝对值符号呢? 双曲线标准方程的推导 5 一、建立坐标系;设动点为 P(x,y) P(x,y) 注:设两焦点之间的距离为 2c(c>0), 即焦点F 1(c,0),F 2(-c,0) -5 F1(-c,0) F2(c,0) 5 二、根据双曲线的定义找出P点 满足的几何条件。 -5 | PF 1 | ? | PF 2 | ? 2a ? 0 ? a ? c ? 三、将几何条件化为代数条件: 根据两点的间的距离公式得: ( x ?c) ? y 2 2 ? ( x ?c) ? y 2 2 ? 2a 四、化简整理: (c ? a ) x ? a 2 2 2 2 y 2 2 2 ? a (c ? a ) 2 2 2 两边同时除以 a (c ? a ) ,得 2 2 x y - 2 ?1 2 2 a c -a 2 令 c ?a ?b 2 2 2 得 2 2 x a 是怎样? 2 2 y ? b ?1 c ? a ?b 2 2 2 思考:如果双曲线的焦点在y轴上,焦点的方程 y a 2 2 ? x b 2 2 ?1 c ? a ?b 2 2 2 定义 焦点位置 | |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|) 焦点在X轴上 y M M F2 焦点在Y轴上 y 图象 F1 o F2 x F1 x 方程 焦点 a.b.c 的关系 x y ? 2 ?1 2 a b F ( ±c, 0) 2 2 2 2 y x ? 2 ?1 2 a b F(0, ± c) 2 2 2 c ? a ?b 问题:如何判断双曲线的焦点在哪个轴上? 例1:写出以下双曲线的焦点坐标 x y 2 2 1.

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