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2018版高中数学第二章统计2.4线性回归方程学案

时间:2018-01-13


2.4

线性回归方程

1.理解线性回归的基本思想和方法,体会变量之间的相关关系.(难点) 2.会画出数据的散点图,并会通过散点图判断这组数据是否具有线性关系.(重点) 3.会求数据的线性回归方程,并根据线性回归方程做出合理的判断.(重点、难点)

[基础·初探] 教材整理 1 变量间的关系 阅读教材 P74 的内容,并完成下面的问题. 1.变量间的关系 (1)函数关系:变量之间的关系可以用函数表示,是一种确定性函数关系. (2)相关关系:变量之间有一定的联系,但不能完全用函数来表达. 2.散点图 从一个统计数表中, 为了更清楚地看出 x 与 y 是否有相关关系, 常将 x 的取值作为横坐 标,将 y 的相应取值作为纵坐标,在直角坐标系中描点(xi,yi)(i=1,2,3,?),这样的图 形叫做散点图.

判断正误: (1)相关关系是一种不确定关系,而函数关系是一种确定关系.( (2)商品的销售收入与广告支出经费是函数关系.( (3)散点图越集中,则相关关系越强.( ) ) )

【解析】 (1)√.由函数关系及相关关系的定义知正确. (2)×.是相关关系,而不是确定关系,故错误. (3)×.只有当散点图呈规律性分布时才具有相关关系.故错误. 【答案】 (1)√ (2)× (3)×

教材整理 2 线性回归方程 阅读教材 P75~P76“例 1”上边的内容,并完成下列问题. 1.线性相关关系
1

^ 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线的附近,我们用直线y=bx+a 拟合 ^ 散点图中的这些点,像这样能用直线y=bx+a 近似表示的相关关系叫做线性相关关系. 2.线性回归方程 设有 n 对观察数据如下:

x y

x1 y1

x2 y2

x3 y3

? ?

xn yn

^ 当 a, b 使 Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+?+(yn-bxn-a)2 取得最小值时, 就称y=

bx+a 为拟合这 n 对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直线.
3.用回归直线进行数据拟合的一般步骤 (1)作出散点图,判断散点是否在一条直线附近; (2)如果散点在一条直线附近,用公式

? ?x y -??x ???y ? ?b= ? n?x -??x ? ? - - ?a= y -b x
n n n i i i
1

i=1

i=1

i=1

n

n

2

2



i

i

i=1

i=1

求出 a,b,并写出线性回归方程.

填空: ^ (1)有一个线性回归方程为y=2-1.5x,则变量 x 增加一个单位时,y 平均________1.5 个单位.(填“增加”或“减少”) 【解析】 ∵b=-1.5,∴x 每增加一个单位时 y 减少 1.5 个单位. 【答案】 减少 (2)过(3,10),(7,20),(11,24)三点的回归直线方程是________. 【解析】 代入系数公式得 b=1.75,a=5.75. 代入直线方程. ^ 求得y=5.75+1.75x.
2

^ 【答案】 y=5.75+1.75x

[小组合作型] 相关关系的判断

(1)在下列两个变量的关系中,具有相关关系的是________.(填序号) ①正方形边长与面积之间的关系; ②作文水平与课外阅读量之间的关系; ③人的身高与 年龄之间的关系;④降雪量与交通事故的发生率之间的关系. (2)如图 2?4?1 所示,表示两个变量不具有相关关系的有________.(填序号)

图 2?4?1 【精彩点拨】 (1)根据相关关系的定义判断. (2)观察散点是否分布在一条曲线(直线)附近,否则不具有相关关系. 【自主解答】 (1)①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系.②作文水平与课外 阅读量之间的关系不是严格的函数关系,但是具有相关性,因而是相关关系.③人的身高与 年龄之间的关系既不是函数关系, 也不是相关关系, 因为人的年龄达到一定时期身高就不发 生明显变化了,因而他们不具备相关关系.④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关 系.故填②④. (2)①是确定的函数关系;②中的点大都分布在一条曲线周围;③中的点大都分布在一 条直线周围;④中点的分布没有任何规律可言,x,y 不具有相关关系.故填①④. 【答案】 (1)②④ (2)①④

1.函数关系是一种确定的关系,而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.函数关 系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系. 2.判断两个变量 x 和 y 间是否具有线性相关关系,常用的方法是绘制散点图,如果散 点的分布从整体上看大致在一条直线附近, 那么这两个变量就具有线性相关关系, 判断时注 意不要受个别点的位置的影响.

3

[再练一题] 1.如图 2?4?2 所示的五组数据(x,y)中,去掉点________后,剩下的四组数据相关性 增强.(填坐标)

图 2?4?2 【解析】 去掉点(4,10)后,其余四个点大致在一条直线附近,相关性增强. 【答案】 (4,10) 线性回归方程的求法及应用 2017 年元旦前夕,某市统计局统计了该市 2016 年 10 户家庭的年收入和年饮食支出的 统计资料如下表: 年收入 x(万元) 年饮食支出 y(万元) (1)画出散点图; (2)从散点图判断年饮食支出(y)与年收入(x)是否具有线性相关关系?若有线性相关关 系,求出线性回归方程; (3)若某家庭年收入为 9 万元,预测其年饮食支出.
10 10 ? ? ?参考数据:?xiyi=117.7, ?x2 ? i=406 ? ? i=1 i=1 ? ?

2 0.9

4 1.4

4 1.6

6 2.0

6 2.1

6 1.9

7 1.8

7 2.1

8 2.2

10 2.3

【精彩点拨】 进行预测

画散点图 → 判断具有线性相关关系 → 求b,a,得方程 →

【自主解答】 (1)画出散点图如下图所示.

(2)由散点图知年饮食支出与家庭年收入具有线性相关关系. - - -2 2 - -=10.98, 依题意可计算得 x =6, y =1.83, x =36, 又∵ ?xiyi=117.7,?xi= x y
i=1 i=1
10 10

406,
4

- ?xiyi-10- x y
i=1

10

∴b=
2 i-10 x ?x2 10

- - ≈0.17,a= y -b x =0.81, -

i=1

^ ∴y=0.17x+0.81. ^ ∴所求的线性回归方程为y=0.17x+0.81. ^ (3)当 x=9 时,y=0.17×9+0.81=2.34(万元), 可估计大多数年收入为 9 万元的家庭每年饮食支出约为 2.34 万元.

1.求样本数据的线性回归方程,可按下列步骤进行: - - (1)计算平均数 x , y ; (2)求和 ?xiyi, ?xi;
2

n

n

i=1

i=1

?
i=1

n

- - ?xi- x ??yi- y ? =
n

- ?xiyi-n- x y
i=1

n

(3)计算 b=

- - ,a= y -b x ;

?
i=1

- 2 ?xi- x ?

?x2i-n x 2
i=1

n



^ (4)写出线性回归方程y=bx+a. 2.利用线性回归方程可对变量进行预测,但要注意预测的结果只是一个估计值,而不 是精确值.

[再练一题] 2.假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元)有如下的统计资料: 【导学号:11032052】 使用年限 x 维修费用 y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0

若由资料知 y 对 x 呈线性相关关系,试求: ^ (1)线性回归方程y=bx+a 的回归系数 a、b; (2)估计使用年限为 10 年时,维修费用是多少? 【解】 (1)由条件知

5

- -

x = (2+3+4+5+6)=4, y = (2.2+3.8+5.5+6.5+7.0)=5,
5 5

1 5 1 5

2 2 2 2 2 i = 2 + 3 + 4 + 5 +6 = 90, ?x iyi=2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0= ?x2

i=1

i=1

112.3. 由公式可得 -- ?xiyi-5 x y
i=1
5

b=
2 i-5 x ?x2 5

= -
i=1

112.3-5×4×5 12.3 = =1.23. 2 90-5×4 10

a= y -b x =5-1.23×4=0.08.
^ ^ (2)由(1)知回归直线方程为y=1.23x+0.08,当 x=10 时,y=1.23×10+0.08=12.3 +0.08=12.38,即估计使用 10 年时,维修费用是 12.38 万元. [探究共研型] 对线性回归方程的认识 探究 1 对于任意一组样本数据, 利用“最小平方法”是否都可以求得“回归方程”? 此时的“回归方程”是否都具有实际意义? 【提示】 对于任意一组样本数据,利用上述公式都可以求得“回归方程”,如果这组 数据不具有线性相关关系,即不存在回归直线,那么所得的“回归方程”是没有实际意义 的.因此,对一组样本数据,应先作散点图,在具有线性相关关系的前提下再求回归方程. 探究 2 对于同一总体而言,由不同的样本数据得到的线性回归方程是否一样? 【提示】 回归方程被样本数据唯一确定,各样本点大致分布在回归直线附近.对同一 个总体,不同的样本数据对应不同的回归直线,所以回归直线也具有随机性. ^ 探究 3 在线性回归方程y=bx+a 中,b 的意义是什么? 【提示】 回归方程中的系数 b 反映了变量 y 随 x 的变化趋势及变化幅度, 即当 x 变化 一个单位时,y 随着变化|b|个单位.当 b>0 时,y 随 x 的增大而增大,此时 y 与 x 具有正相 关关系;当 b<0 时,y 随 x 的增大而减小,此时 y 与 x 具有负相关关系.





(1)设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,
6

^ 根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,?,n),用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x- 85.71,则下列结论中正确的是________.(填序号) ①y 与 x 具有正的线性相关关系; - - ②回归直线过样本点的中心( x , y ); ③若该大学某女生身高增加 1 cm,则其体重约增加 0.85 kg; ④若该大学某女生身高为 170 cm,则可断定其体重必为 58.79 kg. (2)调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单位:万元),调查 显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系, 并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程: ^

y=0.254x+0.321.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年饮食支出平均增加
________万元. 【精彩点拨】 (1)根据回归直线中系数 b 的含义逐一判断; (2)根据方程中系数 0.254 的含义解答. 【自主解答】 (1)①中,由于 0.85>0,故 y 与 x 有正相关关系,故正确;②中,由公 - - - - ^ - - 式 a= y -b x 知 y =b x +a,因此回归直线y=bx+a 一定过点( x , y ),所以正确;③中, 由 0.85>0 知正确;④中,回归方程的预测值只是一个估计值,故不正确. ^ (2)由回归方程y=bx+a 中系数 b 的意义知,年收入每增加 1 万元,年饮食支出平均增 加 0.254 万元,故填 0.254. 【答案】 (1)①②③ (2)0.254

^ 由样本数据得到的回归方程y=bx+a 不一定经过散点, 但回归直线一定经过样本中心, - ^ 即点( x ,y).

[再练一题] ^ 3.由一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)得到的回归直线方程为y=bx+a, 那么下列说法不正确的序号是________.(填序号) ^ - - ①直线y=bx+a 必经过点( x , y ); ^ ②直线y=bx+a 至少经过点(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)中的一个点;

7

- ?xiyi-n- x y ^ ③直线y=bx+a 的斜率为
i=1

n


2 i-n x ?x2

n



i=1

^ 2 ④直线y=bx+a 和各点(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)的偏差 ?[yi-(bxi+a)] 是该
i=1

n

坐标平面上所有直线与这些点偏差中最小的. 【解析】 回归直线不一定经过散点,故②的说法不对;对一组观测值(xi,yi)而言, 只有当散点集中分布在一条直线附近时, 所反映的变量 y 和 x 才是线性相关关系, 此时的回 归直线才能真实反映 y 和 x 的线性相关关系; 否则, 当散点图不是集中分布在某一条直线附 近时,则表示的不是线性相关关系,此时的回归方程是毫无意义的.①③④都正确. 【答案】 ②

1.下列具有相关性的是________.(填序号) ①某地区的降水量与地下水位; ②人的年龄与血压; ③某天的天气情况与股市的涨跌情况; ④学生的学习时间与学习成绩. 【解析】 某天的天气情况与股市的涨跌无任何关系,不具有相关性. 【答案】 ①②④ ^ 2.工人工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归方程为y=80x+50,下列判断正确的 是________.(填序号) ①劳动生产率为 1 000 元时,工资为 130 元; ②劳动生产率提高 1 000 元时,工资平均提高 80 元; ③劳动生产率提高 1 000 元时,工资提高 130 元; ④当月工资为 210 元时,劳动生产率为 2 000 元. 【解析】 回归直线斜率为 80,所以 x 每增加 1,y 增加 80,即劳动生产率提高 1 000 元时,工资平均提高 80 元. 【答案】 ② 3. 四名同学根据各自的样本数据研究变量 x, y 之间的相关关系, 并求得回归直线方程, 分别得到以下四个结论:

8

^ ①y 与 x 负相关且y=2.347x-6.423; ^ ②y 与 x 负相关且y=-3.476x+5.648; ^ ③y 与 x 正相关且y=5.437x+8.493; ^ ④y 与 x 正相关且y=-4.236x-4.578. 其中一定不正确的结论的序号是________. 【解析】 ①中 y 与 x 负相关而斜率为正,不正确;④中 y 与 x 正相关而斜率为负,不 正确. 【答案】 ①④ ^ 4. 已知回归直线方程为y=4.4x+838.19, 则可估计 x 与 y 增长速度之比约为________. 【导学号:11032053】 1 5 【解析】 由题意知 x 与 y 增长速度之比为 = . 4.4 22 【答案】 5 22

5.要分析学生初中升学的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响,在高一年级学生 中随机抽选 10 名学生,分析他们入学的数学成绩(x)和高一年级期末数学考试成绩(y). 编号 1 63 65 2 67 78 3 45 52 4 88 82 5 81 92 6 71 89 7 52 73 8 99 98 9 58 56 10 76 75

x y

(1)画出散点图; (2)分析 x 和 y 是否有相关关系; (3)若近似成线性关系,请画出一条直线来近似地表示这种线性关系. 【解】 (1)散点图如图所示:

(2)由散点图知 x 和 y 有线性相关关系.入学成绩高的同学期末成绩一般也较高. (3)所画直线如散点图中直线所示.

9


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