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2009年至2015年全国高中数学联赛试题及详细解析

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青岛青奥教育提示考生: 每年高考试题的一些题型和命题思路会借鉴全国高中数 学联赛的命题及解题思想,高中数学成绩比较优秀的考 生应当接触、了解高中数学联赛试题特点及解答所使用 的思想,这对高考答卷开阔思路有很大好处。 2009 年全国高中数学联赛真题 一 试 5.椭圆 x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? 上任意两点 P , Q ,若 OP ? OQ ,则乘积 OP ? OQ 的最小值为. a 2 b2 若方程 lg kx ? 2lg ? x ? 1? 仅有一个实根,那么 k 的取值范围是. [来源:学&科&网 Z&X&X&K] 1. 2. 一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和,最后一行仅有一 个数,第一行是前 100 个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的数是(可以用指数表示) ∶ 00 ~ 9∶ 00 , 9∶00 ~ 10∶00 都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,且两者 到站的时 3. 某车站每天 8 间是相互独立的,其规律为 8 ∶ 10 8 ∶30 8 ∶50 到站时刻 9∶ 10 9∶30 9∶50 1 1 1 概率 6 2 3 一旅客 8∶20 到车站,则它候车时间的数学期望为(精确到分) . 二、解答题 x2 y 2 x2 y 2 9、 (14 分) 设直线 l : y ? kx ? m(其中 k ,m 为整数) 与椭圆 ? 与双曲线 ? ? 1 ? 1 交于不同两点 A ,B , 16 12 4 12 ???? ??? ? 交于不同两点 C , D ,问是否存在直线 l ,使得向量 AC ? BD ? 0 ,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请 说明理由. [来源:学.科.网] 1 加试 一、填空(共 4 小题,每小题 50 分,共 200 分) ? 、? AC 的中点.过点 C 作 PC ∥ MN 12、如图, M , N 分别为锐角三角形 ?ABC ( ?A ? ?B )的外接圆 ? 上弧 BC ? ABC 交圆 ? 于 P 点, I 为 的内心,连接 PI 并延长交圆 ? 于 T . ⑴求证: MP ? MT ? NP ? NT ; AB (不含点 C )上任取一点 Q ( Q ≠ A , T , B ) ⑵在 弧 ? ,记 ?AQC , △QCB 的内心分别为 I1 , I 2 , 求证: Q , I1 , I 2 , T 四点共圆. P N I T C M B 13、 求证不等式: 1 ? n k ? ?1 ? ? ? 2 ? ln n ≤ , n ? 1 ,2,… ? 2 ? k ?1 k ? 1 ? A Q 14、 l 设 k , l 是给定的两个正整数.证明:有无穷多个正整数 m ≥ k ,使得 Ck m 与 互素. 2 2009 全国高中数学联赛解答 一、填空(共 8 小题,每小题 7 分,共 56 分) x ?99? f ? f ? x ?? 1.若函数 f ? x ? ? 且 f (n) ? x ? ? f ? ?? ?? ?f ? ? ,则 f ?1? ? . 2 ??? ???? ? 1? x n 【答案】 1 10 x 1? x 2 2 , f ? ? ? x? ? f ? ? f ? x ?? ?? 1 【解析】 f ? ? ? x ? ? f ? x ? ? 99 ……, f ? ? ? x ? ? x 1 ? 2 x2 , x 1 ? 99 x 2 .故 f ?99? ?1?

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