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河北省正定中学2016届高三数学上学期第五次月考试题 文

时间:2016-04-10


高三年级第五次月考数学试题(文)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 1 至 3 页.第Ⅱ卷 3 至 6 页.考试时间 120 分钟,满分 150 分. 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷的答题卡上. 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号,非选 择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卷面清洁,不折叠,不破损.

第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共有 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知复数 z ? i ,则 A.

1 2

1 的虚部为 z ?1 1 B. ? 2

C.

1 i 2

D. ?

1 i 2

2.下列四个函数中,既是定义域上的奇函数又在区间 (0,1) 内单调递增的是 A. y ? B. y ? ? sin x
2

x

1 C. y ? x

x2 ?1 D. y ? x

3.“ ?x ? R, e x ? 2 ? m ”是“ m ? 2 ”成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

?x ? 0 ? 4.已知实数 x 、 y 满足 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?x ? y ?1 ? 0 ?
A.

1 2

B. 1
2 2

C. 2

D. 4

5.已知角 ? 的终边与单位圆 x ? y ? 1交于点 P ? , y0 ?,则 cos 2? 等于

?1 ?2

? ?

1

A. ?

1 2

B.

1 2

C.

3 2

D.1

6.设 Sn 为等比数列 {an } 的前 n 项和,若 8a 2 ? a5 ? 0 ,则 A.-8 B.5 C. 8 D. 15

S4 ?( S2



7.执行如图所示的程序框图,若输入 p ? 5, q ? 6 ,则输出的 a , i 值分别为 A.5,1 B.5,2 C.15,3 D.30,6

8.将函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(| ? |? 函数 f ( x ) 在 [0, A. ?

?
2

) 的图象向左平移

?
2

? 个单位后的图象关于原点对称,则 6

] 上的最小值为
B. ?

3 2

1 2

C.

1 2

D.

3 2

9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. 6 B. 5.5 C.5 D. 4

10.已知定义在 R 函数 f ( x ) 满足 f (1) ? 1 ,且 f ?( x ) ?

1 ,则不等式 2

f (lg 2 x) ?
A. (0,

lg 2 x 1 ? 的解集为 2 2
B. (0,

1 ) 10

1 ) ? (10, ??) 10

C. (

1 ,10) 10

D. (10, ??)

x2 y 2 11.设 F1 , F2 为椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点, 且| F 若椭圆上存在点 P 1F 2 |? 2c , a b
2 使得 | PF 1 | ? | PF 2 |? 2c ,则椭圆的离心率的最小值为

A.

1 2

B.

1 3

C.

2 2

D.

3 3
1 1 2 2

2 2 12.已知直角 ?ABC 的三个顶点都在单位圆 x ? y ? 1上, 点M( , ), 则 | MA ? MB ? MC |

???? ???? ???? ?

的最大值为
2

A. 2 ? 1

B.

2?2

C.

3 2 ?1 2

D.

3 2 ?2 2

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.请将答案填写在答题纸上. 13 . 在 区 间 [0, 2] 上 随 机 地 取 一 个 数 x , 则 事 件 A“ ?1 ? log 1 ( x ? ) ? 1 ” 发 生 的 概 率
2

1 2





? 14. 已 知 点 P, A, B, C 是 球 O 表 面 的 四 个 点 , 且 PA, PB, PC 两 两 成 60 角 ,

PA ? PB ? PC ? 1cm ,则球的表面积为
15.已知双曲线

cm2 .

x2 y 2 0 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F , 若过点 F 且倾斜角为 45 的直线与双 a 2 b2
.

曲线的左支没有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是

16. 函数 f ( x) ? x sin x( x ? R) , x0 为 f ( x ) 的一个极值点,且满足 cos 2 x0 ?

1 ,则 x0 ? 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的各项均是正数,其前 n 项和为 Sn ,满足 Sn ? 4 ? an . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

3 1 (n ? N *) ,数列 {bn ? bn?2 } 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? ]. 4 2 ? log 2 an

18. (本小题满分 10 分) 如图甲, ⊙ O 的 直 径 AB ? 2 , 圆 上 两 点 C , D 在 直 径 AB 的 两 侧 , 使 ?CAB ?

?
4



?DAB ?

?
3

. 沿 直 径 AB 折 起 , 使两个半圆所在的平面互相垂直 (如图乙) ,F 为 BC

的中点.根据图乙解答下列各题:

3

( 1 ) 求 点 D 到 面ABC 的距离; ( 2 ) 在 BD 弧 上 是 否 存 在 一 点 G , 使 得 FG ∥ 平 面 ACD ? 若 存 在 , 试 确 定 点 G 的 位置;若不存在,请说明理由.

19.(本小题满分 12 分) 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人,结果如下:

(Ⅰ)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (Ⅱ)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (Ⅲ)在需要提供服务的老年人中按分层抽样抽取 7 人组成特别护理组,现从特别护理组中抽 取 2 人参加某机构组织的健康讲座,求抽取的两人恰是一男一女的概率.

4

20.(本小题满分 12 分) 如图,在抛物线 E : y ? 4 x 的焦点为 F ,准线 l 与 x 轴的交点为 A .点 C 在抛物线 E 上,
2

以 C 为圆心 OC 为半径作圆,设圆 C 与准线 l 的交于不同的两点 M , N .

y

(1)若点 C 的纵坐标为 2,求 MN ; (2)若 AF
2

l
M N O C F

? AM ? AN ,求圆 C 的半径.

x

21. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

3 ? x ? a ln x ,且 x ? 3 是函数 f ( x) 的一个极值点. x

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? f ( x) ? m ,讨论函数 y ? g ( x) 在区间 (0,5] 上零点的个数? (参考数据: ln 5 ? 1.61 , ln 3 ? 1.10 ).

22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 已知直线 PA 与圆 O 相切于点 A , 经过点 O 的割线

PBC 交圆 O 于点 B 和点 C , ?APC 的平分线分
别交 AB、AC 于点 D 和 E . (Ⅰ)证明: ?ADE ? ?AED ; (Ⅱ)若 AC ? AP ,求

PC 的值. PA

5

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,圆 C 的圆心坐标为 C (2,

?
3

) ,半径为 2.以极点为原点,极轴为 x 的正半轴,

取相同的长度单位建立平面直角坐标系,

? 3 x ? 1? t ? ? 2 ( t 为参数) 直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 3 ? 1 t ? ? 2
(Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程 (Ⅱ)设 l 与圆 C 的交点为 A, B ,

l 与 x 轴的交点为 P ,求 PA ? PB



24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ?x? ? 2x ? 1 ? x ? 2 (Ⅰ)求不等式 f ?x ? ? 2 的解集;
2 (Ⅱ)若 ?x ? R, f ? x ? ? t ?

11 t 恒成立,求实数 t 的取值范围. 2

高三文科数学答案

BDACA

8DACB

CC

6

13.

3 4

14.

3? 2

15. 1 ? e ?

2

16. ?

2 2

17.(1) an ? 2

2? n

(2) Tn ?

3 1 1 3 ? ? ? 4 2(n ? 1) 2(n ? 2) 4

18. (1)

3 (2) BD 弧上存在一点 G ,G 为弧的中点满足 DG ? GB ,使得 FG ∥ 面ACD 2

19.(1)调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中,需要志

愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为

70 ? 14 %. 500

(2) K 2 ?

500 ? (40 ? 270 ? 30 ?160)2 ? 9.967 ? 6.635 ,所以有 99% 的把握认为该地区的 200 ? 300 ? 70 ? 430

老年人是否需要帮助与性别有关.

(3)

4 7

20.(1) | MN |? 2

(2)

33 2

20.解: (1) f ? ? x ? ? ?

3 a ?1? , 2 x x
7

1 a f ? ? 3? ? ? ? 1 ? ? 0 得 a=4.经检验 a=4 满足条件, 3 3
(2)由(1)知 f ? ? x ? ? ?

3 4 3 4 ? 1 ? ,由 ? 2 ? 1 ? ? 0 ,解得 x ? ?1,3? , 2 x x x x

由?

3 4 ? 1 ? ? 0 及 x>0 得 x ? ? 0,1? 或 x ? ? 3, ?? ? , 2 x x

于是当 x ? ?1,3? 时,y=f(x)单调递增;当 x ? ? 0,1? 时,y=f(x)单调递减;

当 x ? ? 3, ?? ? 时,y=f(x)单调递减.

(3)令 g(x)=f(x)-m=0,于是 f(x)=m,所以函数 y=g(x)在区间(0,5]上零点的个数

是 y=f(x) ,x∈(0,5]与直线 y=m 交点的个数.

由下表:

x

(0,1)

1

(1,3)

3

(3,5)

5

f ? ? x?

-

0

+

0

-

4 ln 5 ?
f( x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘

22 5

2

4 ln 3 ? 2

8

注意到: 4 ln 3 ? 2 > 4 ln 5 ?

22 >2, 5

所以函数 f(x)在(0,5]的最小值为 2,无最大值 结合大致图

象可知:

当 m<2 时,g(x)=f(x)-m 的零点个数为 0;

当 m=2 或 m> 4 ln 3 ? 2 时,g(x)=f(x)-m 的零点个数为 1;

当 2<m< 4 ln 5 ?

22 或 m= 4 ln 3 ? 2 时,g(x)=f(x)-m 的零点个数为 2; 5

当 4 ln 5 ?

22 ≤m< 4 ln 3 ? 2 时,g(x)=f(x)-m 的零点个数为 3. 5

20.(1) | MN |? 2

33 (2) 2

20.解:本题主要考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知识,考

查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想. (1)抛物线 y =4x 的准线 l 的方程为 x=-1. 由点 C 的纵坐标为 2,得点 C 的坐标为(1,2), 所以点 C 到准线 l 的距离 d=2,又|CO|= 5, 2 2 所以|MN|=2 |CO| -d =2 5-4=2.
2

y0 ?y0 ? ? y0?2 2 2 (2)设 C? ,y0?,则圆 C 的方程为?x- ? +(y-y0) = +y0, 16 ?4 ? ? 4?
即 x - x+y -2y0y=0. 2 由 x=-1,得 y -2y0y+1+ =0, 2
9
2 2 y0 2

2

2

4

y2 0

2

设 M(-1,y1),N(-1,y2),则

?1+y0?=2y2-4>0, ? ? 0 ?Δ =4y -4? ? 2?

2

? y ?y y = 2 +1. ?
2 0 1 2 2

2 0

由|AF| =|AM|·|AN|,得|y1y2|=4, 所以 +1=4,解得 y0=± 6,此时 Δ >0. 2

y2 0

?3 ? ?3 ? 所以圆心 C 的坐标为? , 6?或? ,- 6?, ?2 ? ?2 ?
从而|CO| =
2

33 33 33 ,|CO|= ,即圆 C 的半径为 . 4 2 2

22.(1)? PE 为 ?APC 的平分线,? ?APD ? ?BPD ;

又? 直线 PA 是圆 O 的切线,? ?PAB ? ?ACB ; 又? ?AED ? ?ACB ? ?BPD , ?ADE ? ?PAB ? ?APD ;

? ?AED ? ?ADE .

(2)过 A 作 AF ? BC 于 F ;

? BC 为圆 O 的直径,? ?BAF ? ?ACB ,又 ?PAB ? ?ACB
0 由 AC ? AP ,则? ?APC ? ?ACB ,而? ?BAF ? ?ACB ? ?APB ? 90 ,

? ?BAF ? ?ACB ? ?APB ? 300 ; 则

PF 3 , 得 PC ? 2PF ? 3PA , 所 求 即 ? PA 2

10

PC ? 3. PA
23. 解 : ( 1 ) 在 直 角 坐 标 系 中 , 圆 心 的 坐 标 为 C (1, 3) , 所 以 圆 C 的 方 程 为

( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 即 x2 ? y2 ? 2x ? 2 3 y ? 0 ,
? 3 x ? 1? t ? ? 2 (2)把 ? 代入 x2 ? y2 ? 2x ? 2 3 y ? 0 得 t 2 ? 4 ,所以点 A、B 对应的参数分别为 1 ?y ? 3 ? t ? ? 2

1 t1 ? 2, t2 ? ?2 令 3 ? t ? 0 得点 P 对应的参数为 t0 ? ?2 3 2
所 以

PA ? PB

? t1 ? t0 ? t2 ? t0 ? 2 ? 2 3 ? ?2 ? 2 3 ? 2 ? 2 3 ? ?2 ? 2 3 ? 4 3

? 3 x ? 1? t ? ? 3 2 法二:把 ? 化为普通方程得 y ? 3 ? ? ( x ? 1) 3 ?y ? 3 ? 1 t ? ? 2

令 y ? 0 得点P坐标为 P(4, 0) ,又因为直线 l 恰好经过圆 C 的圆心 C ,

故 PA ? PB ? 2 PC ? 2 (4 ? 1)2 ? ( 3 ? 0) 2 ? 4 3

10 分

24.【解析】

1 ? ? ? x ? 3, x ? ? 2 ? 1 (1)由题意得 f ? x ? ? ? , 3 x ? 1, ? ? x ? 2 ? 2 ? ? x ? 3, x ? 2
11

当x??

1 时,不等式化为-x-3>2,解得 x<-5,∴x<-5, 2

当?

1 ? x ? 2 时,不等式化为 3x-1>2,解得 x>1,∴1<x<2, 2

当 x≥2 时,不等式化为 x+3>2,解得 x>-1,∴x≥2,

综上,不等式的解集为 x x ? 1或x ? ?5 .

?

?

(2)由(1)得 f ? x ? min ? ? 则只需 f ? x ?min ? ?

5 11 2 ,若 ? x∈R, f ? x ? ? t ? t 恒成立, 2 2

1 5 2 11 ? t ? t ,解得 ? t ? 5 , 2 2 2

综上,t 的取值范围为 ? ,5? 2

?1 ?

? ?

12


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