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等差等比数列的性质

时间:2016-01-27


2014 级高二上期末复习(理科数学)

命制:吴



等差数列、等比数列性质
班级 一、知识清理
1.等差数列的性质: (1)通项公式: an = 推广: an ? am ? (n ? m)d . (2)前 n 项公式: S n ? (3)单调性: ?an ? 的公差为 d ,则: ⅰ) d ? 0 ? ?an ? 为 ⅲ) d ? 0 ? ?an ? 为 数列;ⅱ) d ? 0 ? ?an ? 为 数列; 数列; = dn ? a1 ? d (n ? N * ) , 当公差 d ? 0 时,等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数,且斜率为公差 d ;

姓名

an ? am ; n?m d d? ? = n 2 ? ? a1 ? ?n ,是关于 n 的二次函数且常数项为 0. 2 2? ?
从而 d ?

(4) 当 m ? n ? p ? q 时,则有 am ? an ? a p ? aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 am ? an ? 2a p . 注: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ??? (5) 求 Sn 的最值 法一:因等差数列前 n 项和是关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列 的特殊性 n ? N 。 法二:(1)“首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和
*

即当 a1 ? 0,d ? 0,由 ?

?a n ? 0 可得 Sn 达到最大值时的 n 值. a ? 0 ? n ?1 ?an ? 0 可得 Sn 达到最小值时的 n 值. ?an ?1 ? 0

(2) “首负”的递增等差数列中,前 n 项和的最小值是所有非正项之和。 即 当 a1 ? 0,d ? 0,由 ? 或求 ?a n ?中正负分界项 2.等比数列的性质: (1) 通项公式: an = =

a1 n q ? A ? B n (a1 ? q ? 0, A ? B ? 0, n ? N * ) , q
n?m

推广: an ? amq

n ?m



从而得 q

?

an am

(2)前 n 项和 Sn 公式: ⅰ) 当 q ? 1 时, S n ? ⅱ) 当 q ? 1 时, S n ? ;

=

a1 a ? 1 q n ? A ? A ? B n ,(A,B 为非零常数) 1? q 1? q

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2014 级高二上期末复习(理科数学)

命制:吴



* (3) 若 m+n=s+t (m, n, s, t ? N ),则 an ? am ? as ? at .特别的,当 n+m=2k 时,得 an ? am ? ak 2

注: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3an?2 ??? (4) ①当 q ? 1 时,
1 ? 0,则{ an }为递增数列 {a a1 ? 0,则{ an }为递减数列 ,

②当 0<q<1 时,
1 ? 0,则{ an }为递减数列 {a a1 ? 0,则{ an }为递增数列

③当 q=1 时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列); ④当 q<0 时,该数列为摆动数列.

二、典例解析
例 1、(1)设 ?an ? 是等差数列,且 a1 ? a4 ? a8 ? a12 ? a15 ? 2 ,求 a3 ? a13 及 S15 值。 (2)等比数列 ?an ? 中, a1 ? an ? 66 , a2 an?1 ? 128,前 n 项和 Sn=126,求 n 和公比 q。

例 2、设等差数列的前 n 项之和为 Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0, (1)求公差 d 的取值范围。 (2)指出 S1,S2,S3,…,Sn 中哪一个值最大,并说明理由。

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例 3、设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 (3 ? m)Sn ? 2man ? m ? 3(n ? N * ) ,其中 m 为常数,且 m ? 3, m ? 0 . (1)求证:{an}是等比数列; (2)若数列{an}的公比满足 q ? f (m) 且 b1 ? a1 , bn ? 列,并求 bn.

?1? 3 f (bn ?1 )( n ? N * , n ? 2) ,求证: ? ? 是等差数 2 ? bn ?

三、课后练测
班级
1.在正整数 100 至 500 之间能被 11 整除的个数为 A.34 B.35 C.36 2.{an}是等差数列,且 a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则 a3+a6+a9 的值是 A.24 B.27 C.30 3.设函数 f(x)满足 f(n+1)= A.95

姓名
( D.37 ( D.33 ( D.192 ( D.4008 ( D.8 ) ) ) ) )

2 f (n) ? n (n∈N*)且 f(1)=2,则 f (20)为 2
B.97 C.105

4. 若 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0, a2003 .a2004 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最 大自然数 n 是 A.4005 B.4006 C.4007 * 5.等差数列{an}中,已知 a1=-6,an=0,公差 d ? N ,则 n(n≥3)的最大值为 A.5 B.6 C.7 6.在数列{an}中,a1=1,an+1=

2a n 2 (n ? N*),则 是这个数列的第_________项. an ? 2 7

7.在-9 和 3 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成和为-21 的等差数列,则 n=_______. 8. 已知等差数列{a n}的公差 d≠0,且 a1,a3,a9 成等比数列,则

a1 ? a 3 ? a 9 的值是 a 2 ? a 4 ? a10


.

9. 设 m∈N+,log2m 的整数部分用 F(m)表示,则 F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是 10. 已知 f(x+1)=x2-4,等差数列{an}中,a1=f(x-1), a2=- (1)求 x 值; (2)求 a2+a5+a8+…+a26 的值.

3 ,a3=f(x). 2

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11.某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M,M 的价值在使用过程中逐年减少.从第 2 年到第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年开始,每年初 M 的价值为上年初的 75%. (Ⅰ)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; (Ⅱ) 设 An ?

a1 ? a2 ? ... ? an , 若 An 大于 80 万元, 则 M 继续使用, 否则须在第 n 年初对 M 更新. 试 n

问该企业须在第几年初对 M 更新.

12.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2Sn· Sn-1=0(n≥2),a1= (1)求证:{

1 . 2

1 }是等差数列; Sn

(2)求 an 表达式;

(3)(选做)若 bn=2(1-n)an(n≥2),求证:b22+b32+…+bn2<1.

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