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【2015届备考】2015全国名校数学试题分类解析汇编(1月第一期):F单元 平面向量

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F 单元 目录

平面向量

F 单元 平面向量 ........................................................................................................................... 1 F1 平面向量的概念及其线性运算............................................................................................... 1 F2 平面向量基本定理及向量坐标运算....................................................................................... 5 F3 平面向量的数量积及应用..................................................................................................... 10 F4 单元综合 ................................................................................................................................ 16

F1

平面向量的概念及其线性运算

【数学理卷· 2015 届辽宁省沈阳二中高三 12 月月考( 201412 ) 】 16 、在 ?ABC 中,

1 AC ? 6, BC ? 7, cos A ? , O是?ABC 5











OP ? xOA ? yOB
.



其中0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1 ,则动点 P 的轨迹所覆盖的面积为
【知识点】向量的运算 解三角形 C8 F1 【答案】【解析】

10 6 3

解析:若 OP ? xOA ? yOB , 其中0 ?

x ? 1, 0 ? y ? 1 ,动点 P 的轨迹为以 OA,OB 为邻
1 ,由余弦定理可解 5

边的平行四边形 ADBO 的内部(含边界) ,又 AC ? 6, BC ? 7, cos A ? 得 AB=5,又 sin A ? 1 ? cos 2 A ?

2 6 1 2 6 ,所以 S?ABC ? ? 6 ? 5 ? ? 6 6 ,设三角形 5 2 5

内切圆半径为 r,则有

1 2 6 ,所以动点 P 的轨迹所覆盖的面积为 r ? 5 ? 6 ? 7 ? ? 6 6, r ? 2 3

1 2 6 10 6 ? AB ? r ? 2 ? 5 ? ? 2 3 3

. 【思路点拨】理解向量的加法运算是解答本题的关键,由向量的加法可知满足

OP ? xOA ? yOB , 其中0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1 ,动点 P 的轨迹为以 OA,OB 为邻边的平行四
边形 ADBO 的内部(含边界) ,再求面积即可.

【数学理卷· 2015 届浙江省杭州二中高三第二次月考 (201412) 】 12、 在△ABC 中,A ?

?
6



D 是 BC 边上任意一点(D 与 B、C 不重合) ,且 | AB |2 ?| AD |2 ? BD ? DC ,则角 B 等 于 .

【知识点】向量的线性运算 解三角形 F1 C8 【答案】 【解析】
2 2

? ? ? BD. ? AB ? AD ? DC ? ? BD. ? AB ? AC ? ? 0 , D ?A C 即B ?B A? ? ,又因为 D 在 BC 上, ? ? ? 所以 BC ? ? AB ? AC ? ,即 AB ? AC 三角形为等腰三角形,所以 6 ? ? ,故 ?B ?
AB ? AD ? AB ? AD . AB ? AD ? AB ? AD .BD ? BD.DC ,整理得
答案为

?

5? .解析:由已知可得: 12

??

5? . 12

2

12

【思路点拨】由已知变形可得

AB ? AD ? AB ? AD . AB ? AD ? AB ? AD .BD ? BD.DC ,可得

2

2

?

??

? ?

?

BC ? AB ? AC ,即 AB ? AC ,三角形为等腰三角形,可求得.

?

?

【数学理卷·2015 届河南省洛阳市高三第一次统一考试(201412) 】8.在△ABC 中,D 为 AC 的中点, BC ? 3BE ,BD 与 AE 交于点 F,若

AF ? ? AE ,则实数 ? 的值为
A.

1 2

B.

2 3

C.

3 4
F1

D.

4 5

【知识点】平面向量的线性运算.

【答案】 【解析】C 解析:作 EF D 为 AC 的中点,所以

AC 交 BD 于 G,因为

BE 1 EG 1 ? ,所以 ? ,因为 BC 3 DC 3

EG 1 EF 1 3 ? ,所以 ? ? AF ? AE ,故选 C. AD 3 FA 3 4

【思路点拨】画出几何图形,利用平行线分线段成比例定理求得结论.

【数学文卷·2015 届辽宁省沈阳二中高三 12 月月考(201412) (1)】16.在 ?ABC 中,

1 AC ? 6, BC ? 7, cos A ? , O是?ABC 5











OP ? xOA? yOB

其中0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1,则动点 P 的轨迹所覆盖的面积为
【知识点】向量的运算 解三角形 C8 F1 【答案】【解析】

.

10 6 3

解析:若 OP ? xOA ? yOB , 其中0 ?

x ? 1, 0 ? y ? 1 ,动点 P 的轨迹为以 OA,OB 为邻
1 ,由余弦定理可解 5

边的平行四边形 ADBO 的内部(含边界) ,又 AC ? 6, BC ? 7, cos A ? 得 AB=5,又 sin A ? 1 ? cos 2 A ?

2 6 1 2 6 ,所以 S?ABC ? ? 6 ? 5 ? ? 6 6 ,设三角形 5 2 5

内切圆半径为 r,则有

1 2 6 ,所以动点 P 的轨迹所覆盖的面积为 r ? 5 ? 6 ? 7 ? ? 6 6, r ? 2 3

1 2 6 10 6 ? AB ? r ? 2 ? 5 ? ? 2 3 3

. 【思路点拨】理解向量的加法运算是解答本题的关键,由向量的加法可知满足

OP ? xOA ? yOB , 其中0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1 ,动点 P 的轨迹为以 OA,OB 为邻边的平行
四边形 ADBO 的内部(含边界) ,再求面积即可.

【数学文卷· 2015 届浙江省杭州二中高三第二次月考 (201412) 】 13、 在△ABC 中,A ?

?
6



D 是 BC 边上任意一点(D 与 B、C 不重合) ,且 | AB |2 ?| AD |2 ? BD ? DC ,则角 B 等 于 .

【知识点】向量的线性运算 解三角形 F1 C8 【答案】 【解析】
2 2

? ? ? BD. ? AB ? AD ? DC ? ? BD. ? AB ? AC ? ? 0 , D ?A C 即B ?B A? ? ,又因为 D 在 BC 上, ? ?? BC ? AB ? AC 所以 ? ? ,即 AB ? AC 三角形为等腰三角形,所以 ?B ? 6 ? ? ,故
AB ? AD ? AB ? AD . AB ? AD ? AB ? AD .BD ? BD.DC ,整理得
答案为

?

5? .解析:由已知可得: 12

??

5? . 12

2

12

【思路点拨】由已知变形可得

AB ? AD ? AB ? AD . AB ? AD ? AB ? AD .BD ? BD.DC ,可得

2

2

?

??

? ?

?

BC ? AB ? AC ,即 AB ? AC 三角形为等腰三角形,可求得.

?

?

【数学文卷· 2015 届广东省中山一中等七校高三第二次联考( 201412 ) 】 7 .已知向量

| a |? 10, | b |? 12 ,且 a ? b ? ?60 ,则向量 a 与 b 的夹角为(
A. 60
0

) D. 1500

B. 1200

C. 1350

【知识点】向量的定义 F1 【答案】 【解析】B 解析:由 a b ? a . b . cos? ? ?60 得 cos? ? ? 【思路点拨】由 a b ? a . b . cos? ? ?60 ? cos? ? ?

1 0 ,故 ? ? 120 ,选 B. 2

1 0 ,可得 ? ? 120 . 2

【数学文卷·2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考(201412) 】3、平面向量 a 与 b 的夹 角为 60°, a =(2,0),| b | =1,则| a +2 b |等于( A. 2 2 B. 2 3 ) C. 4 D. 10

【知识点】向量加减混合运算及其几何意义.F1 【答案】 【解析】B
2 2

解析:由已知得 | a |= 2 ,
2

a + 2b = a + 4a ?b 4b = 4 + 4创 2 1窗 cos60 + 4 = 12
∴ a + 2b = 2 3 ,故选 B。

【思路点拨】根据向量的坐标求出向量的模,最后结论要求模,一般要把模平方,知道夹角 就可以解决平方过程中的数量积问题,题目最后不要忘记开方.

F2

平面向量基本定理及向量坐标运算

【数学理卷· 2015 届河南省洛阳市高三第一次统一考试 (201412) 】 17. (本小题满分 10 分) 已知

?an?,?bn? 均为等差数列,前 n 项和分别为

Sn , Tn .

(1)若平面内三个不共线向量 OA, OB, OC 满足 OC ? a3 OA ? a15 OB ,且 A,B,C 三点 共线. 是否存在正整数 n, 使 Sn 为定值?若存在, 请求出此定值; 若不存在, 请说明理由。
? (2)若对 n ? N ,有

Sn 31n ? 101 a ,求使 n 为整数的正整数 n 的集合. ? Tn n?3 bn
D2 F2

【知识点】等差数列及其前 n 项和;平面向量基本定理. 【答案】 【解析】 (1)存在 n=17 时, S17 为定值 解析:(1)∵A,B,C 三点共线,

17 ; (2){1,3} 2

∴ ?? ? R ,使 AC ? ? AB, OC ? OA ? ? (OB ? OA) ,即 OC ? (1 ? ? )OA ? ?OB . 由平面向量基本定理得: ?

?1 ? ? ? a3 消去 ? 得 a3 ? a15 ? 1 .-----3 分 ?? ? a15
17(a1 ? a17 ) 17 ? . 2 2

又 a3 ? a15 ? a1 ? a17 , ∴ S17 ? 即存在 n=17 时, S17 为定值 (2)由于

17 .------5 分 2

4 an a1 ? an?1 S2 n?1 31n ? 35 ? 31 ? .-----8 分 ? ? ? n ?1 bn b1 ? bn?1 T2 n?1 n ?1

依题意,n+1 的可能值为 2,4. 所以 n 的取值为 1 或 3. 即:使

an 为整数的正整数 n 的集合为{1,3}.-----10 分 bn

【思路点拨】(1)由 A,B,C 三点共线及平面向量基本定理得: a3 ? a15 ? 1 ,所以 a1 ? a17 =1,

进而有 S17 ?

17(a1 ? a17 ) 17 17 ? ,所以存在 n=17 时, S17 为定值 ; (2)由 2 2 2

4 an a1 ? an?1 S2 n?1 31n ? 35 ? 31 ? 得结论. ? ? ? n ?1 bn b1 ? bn?1 T2 n?1 n ?1

【数学理卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期五调考试(201412)word 版】8.已知非

零向量

=a,

=b,且 BC OA,c 为垂足,若

,则 等于

【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算 F2 【答案】B 【解析】 由于 OC =λ a , 根据向量投影的定义, 得 λ 就是向量 OB 在向量 OA 方向上的投影, 即 λ=

a ?b a
2



【思路点拨】根据一个向量在另一个向量方面上和投影的定义即可得出答案.

2015 届广东省中山一中等七校高三第二次联考 【数学理卷· (201412) 】 3. 设向量 a ? ? x,1? ,

b ? ? 4, x ? ,且 a , b 方向相反,则 x 的值是(
A. ?2 【知识点】向量的坐标运算 B. 0 F2

) C. ?2 D. 2

【答案】 【解析】C解析:因为 a , b 方向相反,所以两向量共线,根据两向量共线的坐标表 示可得 x2 ? 4 ? x ? ?2 ,当 x ? 2 时, a , b 方向相同,所以舍去,故选择C. 【思路点拨】根据两个向量共线的坐标表示可得 x2 ? 4 ? x ? ?2 ,检验发现当 x ? 2 时,

a , b 方向相同,所以舍去,即可得到.

【数学理卷· 2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测 (201412) 】 11.向量 a、 b 满足 a ? 1, a ? b ?

3 ,a与b 的夹角为 60°,则 b ? ___________. 2

【知识点】平面向量的模的运算.F2

【 答 案 】【 解 析 】

1 2

解 析 : 由 a ?b ?

2 2 3 3 得 : a ? 2a ? b ? b ? , 4 2

1 ? 2 b cos 60? ? b ?

2

3 , 4

b?

1 . 2

【思路点拨】先把已知条件 a ? b ?

3 平方,展开再利用向量的运算即可。 2

【数学理卷·2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考(201412) 】7. 在 ?ABC 中, D 是

? AB AC ? ?, | AB |? 2, | AC |? 4 . BC 边上的一点, AD ? ? ? ? ? | AB | | AC | ? ? ? ? ? ? ? 若记 AB ? a, AC ? b ,则用 a, b 表示 BD 所得的结果为 ( ) ? ? ? 1? 1 1? 1 1 ? 1? 1? 1 A. a ? b B. a ? b C. ? a ? b D. a ? b 3 3 2 3 3 3 2 2
【知识点】平面向量的基本定理及其意义.F2 【答案】 【解析】C 解析:如图,B,D,C 三点共线,存在 μ,使 BD = mBC ;

∴ AD - AB = m AC - AB ;∴ AD = 1 - m AB + mAC ;

(

)

(

)

l l l l 4 AB + AC ;∴ + = 1;∴ l = ; 2 4 2 4 3 2 1 1 1 1 1 ∴ AD = AB + AC ;∴ BD = AD - AB = AB + AC = - a + b . 3 3 3 3 3 3
又 AD = 故选 C. 【思路点拨】B,D,C 三点共线,所以根据已知条件对于 AD =

l l AB + AC ,能够得到 2 4 l l 4 1 1 1 1 + = 1,所以得到 l = ,所以 BD = AD - AB = AB + AC = - a + b . 2 4 3 3 3 3 3

【数学文卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】11.设向量

e1 , e2 是夹角为 60°的两个单位向量,则 e1 ? 2e2 ? ___________.
【知识点】向量的模.F2 【答案】 【解析】 7 解析:因为向量 e1 , e2 是夹角为 60°的两个单位向量,所以可得:

1 | e1 ? 2e2 |? (e1 ? 2e2 ) 2 ? | e1 |2 ?4e1 ? e2 ? 4 | e2 |2 ? 1 ? 4 ?1?1? ? 4 ? 7. 2
故答案为: 7 【思路点拨】由已知中,向量 e1 , e2 是夹角为 60°的两个单位向量,根据公式 以求出向量的模. 可

【数学文卷·2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考(201412) 】16、 (本小题满分 12 分) 设 a ? ( 3 sin x, cos x) , b ? (cosx, cos x) ,记 f ( x) ? a ? b (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)试用“五点法”画出函数 f ( x ) 在区间 ? ?

? ? 11? ? 的简图,并指出该函数的图象可由 , ? 12 12 ? ?

y ? sin x( x ? R) 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到;
(3)若 x ? ? ?

? ? ?? , 时,函数 g ( x) ? f ( x) ? m 的最小值为 2,试求出函数 g ( x) 的最大值 ? 6 3? ?

并指出 x 取何值时,函数 g ( x) 取得最大值.

【知识点】五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象;平面向量数量积的运算;两角和与差的 正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的定义域和值域.C3 F2 C5 【答案】 【解析】(1)

p ;(2)见解析;(3)

7 . 2

解析: (1) f ( x) ? a b ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ?

3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? 2 2

2? ? 1 ? sin(2 x ? ) ? , ∴ T ? ? ? . ????????????(3 分) 6 2 ?

(2)

? ? 1 得到 y ? sin( x ? ) ,再保持纵坐标不变,横坐标缩短为原的 变为 6 2 6 ? 1 ? 1 y ? sin(2 x ? ) ,最后再向上平移 个单位得到 y ? sin(2 x ? ) ? .?????(8 分) 6 2 6 2 ? 1 (3) g ( x) ? f ( x) ? m ? sin(2 x ? ) ? ? m, 6 2
y ? sin x 向左平移

? ? ? 5? ? ? ?1 ? ? ? ?? x ? ? ? , ? ,? 2 x ? ? ? ? , ? ,? sin(2 x ? ) ? ? ,1? , 6 ? 6 6 ? 6 ?2 ? ? 6 3?
3 7 ? 3 ? ? g ( x) ? ? m, ? m ? ,? m ? 2,? g max ( x) ? ? m= . 2 2 ? 2 ?
当 2x ?

?
6

=

?
2

即 x=

? 7 时 g ( x) 取得最大,最大值为 . ????????????(12 分) 6 2

【思路点拨】 (1)先利用向量数量积的坐标运算写出函数 f ( x ) 的解析式,再利用二倍角公 式和两角和的正弦公式将函数化简为 y=Asin(ωx+φ) 的形式, 最后由周期公式即可得 f ( x ) 最小正周期; (2)由(1) f x = sin(2 x + ) +

( )

p 6

1 p ,利用五点法,即将 2 x + 看成整体取 2 6

正弦函数的五个关键点,通过列表、描点、连线画出函数图象,用图象变换的方法得此函数 图象,可以先向左平移,再横向伸缩,再向上平移的顺序进行;

(3) g ( x) ? f ( x) ? m ? sin(2 x ?

?
6

)?

1 p ? m, ,求此函数的最值可先将 2 x + 看成整体, 2 6

求正弦函数的值域,最后利用函数 g ( x) ? f ( x) ? m 的最小值为 2,解方程可得 m 的值,进 而求出函数最大值。

F3

平面向量的数量积及应用

【数学(文)卷·2015 届四川省成都市高中毕业班第一次诊断性检测(201412)word 版】 12.若非零向量 a , b 满足 a ? b ? a ? b ,则 a , b 的夹角的大小为__________. 【知识点】向量的夹角
0

F3 即a b ?0 , 所以 a ? b , a?b ? a?b ? | a ? b |2 ?| a ? b |2 ,

【答案】 【解析】90 解析:

a , b 的夹角为 90 0 ,故答案为 90 0 .
【思路点拨】由 a ? b ? a ? b 可得 a b ? 0 ,所以夹角为 90 0 .

【数学理卷·2015 届辽宁省沈阳二中高三 12 月月考(201412) 】10.已知向量 OA与OB 的

uur

uuu r

OA ? 2, OB ? 1, OP ? tOA, OQ ? ?1 ? t ? OB, PQ 夹 角 为 ?,
1 0 ? t0 ? 时,夹角 ? 的取值范围为 5
A. ? 0, (

uur

uuu r

uuu r

uur uuu r

uuu r uuu r

在t0 时 取 得 最 小 值 , 当


? ?

??
? 3?

B. ?

?? ? ? , ? ?3 2?

C. ?

? ? 2? ? , ? ?2 3 ?

D. ? 0,

? ?

2? ? ? 3 ?

【知识点】向量的数量积 F3 【答案】【解析】C 解析:因为 OA ? OB ? 2cos ? , PQ ? OQ ? OP ? ?1 ? t ? OB ? tOA ,

PQ ? PQ ? ? 5 ? 4cos ? ? t 2 ? ? 2 ? 4cos ? ? t ? 1 ,所以 t0 ?
2

2

0?

1 ? 2 cos ? 1 1 ? 2? ? ,得 ? ? cos ? ? 0 ,所以 ? ? ? ,则选 C. 5 ? 4 cos ? 5 2 2 3

1 ? 2 cos ? ,则 5 ? 4 cos ?

【思路点拨】把所求向量用已知向量转化,再利用模的性质求出向量的模,利用最小值时对 应的 在t0 的范围求夹角范围即可.

【数学理卷·2015 届辽宁省沈阳二中高三 12 月月考(201412) 】9.对于非零向量 ? , ? , 定义一种向量积: ? ? ?

? ?? ? .已知非零向量 a, b的夹角? ? (0, ) ,且 a ? b, b ? a 都在 4 ? ??
( ) C.

集合 { | n ? Z } 中。则 a ? b = A.

n 2

5 3 , 2 2

B.

1 3 , 2 2

5 1 , 2 2

D.

1 2

【知识点】向量的数量积 F3 【答案】【解析】B 解 析 : 由 定 义 知 a b?

a ?b b
2

?

a b

cos ? ?

n1 n b?a b , b a ? 2 ? cos ? ? 2 , 所 以 2 2 a a

cos2 ? ?

1 3 n1n2 ? 1 ? ? ? ,1? ,则 n1n2 ? 3 ,得 n1 ? 1, n2 ? 3或n1 ? 3, n2 ? 1,所以 a b ? 或 , 2 2 4 ?2 ?

则选 B. 【思路点拨】理解题目中新定义的含义是本题解题的关键.

【数学理卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期四调考试(201412)word 版】1.已知向 量 =

【知识点】平面向量的数量积;向量模的运算.
2 2

F3
2

【答案】 【解析】C 解析:∵ a ? b ? (a) ? 2a ? b ? (b) ? 50 ,又 a ? (2,1), a ? b ? 10 , ∴ b

??

2

? 50 ? 5 ? 20 ? 25 ? b ? 5 ,故选 C.

【思路点拨】把向量的模转化为数量积运算. 【数学理卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】10.已知实

? x ? 2 y ? 2, ? 数 x、 y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4, 若 a ? ? x, y ? , b ? ? 3, ?1? ,设 z 表示向量 a 在向量 b 方 ? 4 x ? y ? ?1. ?
向上射影的数量,则 z 的取值范围是

A. ? ?

? 3 ? ,6 ? 2 ? ?

B. ? ?1,6?

C. ? ?

?

3 6 ? , ? ? 2 10 10 ?

D. ? ?

? ?

1 6 ? , ? 10 10 ?

【知识点】简单线性规划;平面向量数量积的运算.E5 F3

【答案】 【解析】C

? x ? 2 y ? 2, ? 解析:画出约束条件 ? 2 x ? y ? 4, 的可行域, ?4 x ? y ? ?1. ?

由可行域知: a ? ( x, y)= ? 2,0 ? 时,向量 a 在 b 方向上的射影的数量最大,此时 a ? b ? 6 , 所以向量 a 在 b 方向上的射影的数量为

6 10

;当 a ? ?

?1 ? ,3 ? 时,向量 a 在 b 方向上的射影 ?2 ?

的数量最小,此时 a ? b ? ?

3 3 .所以 z 的取 ,所以向量 a 在 b 方向上的射影的数量为 ? 2 2 10

值范围是 [?

3 2 10

,

6 10

].

【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域,利用向量投影的定义计算 z 的表达式,利用数 形结合即可得到结论.

【数学理卷·2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考(201412) 】16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos( 的最高点和最低点. (1)求点 A 、 B 的坐标以及 OA ? OB 的值;

?
6

x?

?
3

) (0 ? x ? 5) ,点 A 、 B 分别是函数 y ? f ( x) 图像上

(2)设点 A 、 B 分别在角 ? 、 ? ( ? ? ?0,2? ?)的终边上,求 sin( 【知识点】函数 y = Asin wx +j

?
2

? 2 ? ) 的值.

(

) 的图象变换;平面向量数量积的运算.C4 F3

【答案】 【解析】 (1)-2; (2) 解析: (1)∵ 0 #x ∴ - 1 ? cos(

7 2 10
7p , 6

5 ,∴

p p p ? x 3 6 3

p p 1 x ) . 6 3 2 p p p 当 x + = ,即 x = 0 时,f(x)取得最大值 1, 6 3 3 p p 当 x + = p ,即 x = 4 时,f(x)取得最小值﹣2. 6 3
因此,所求的坐标为 A(0,1) ,B(4,﹣2) . 则 OA = 0,1 , OB = 4, - 2 . ∴ OA?OB

( )

(

)

0- 2 =-2.

(2)∵点 A(0,1) 、B(4,﹣2)分别在角 α、β(α、β∈[0,2π])的终边上,

则a =

p 5 2 5 , sin b = , cos b = , 2 5 5

则 sin2β=2sinβcosβ= 2? 琪

骣 5 2 5 琪 5 ? 5 桫
2

-

4 , 5

骣 2 5 cos2β=2cos β﹣1= 2? 琪 琪5 桫
2

3 1= . 5

∴ sin(

骣 a p p p - 2b ) = sin 琪 琪 - 2 b = sin cos 2 b - cos sin 2 b 2 4 4 4 桫

=

2 2骣 3 4 7 2 . 琪 cos 2b - sin 2 b ) = ( 琪+ = 2 2 桫 5 5 10
p p x + 的范围,得到 f(x)的最大值和最小值,从而求 6 3

【思路点拨】 (1)由 x 的范围求出

出 A,B 的坐标,则 OA×OB 的值可求; (2)由点 A、B 分别在角 α、β(α、β∈[0,2π])的 终边上求出角 α 的值和角 β 的正余弦值,由倍角公式求得 2β 的正余弦值,展开两角差的正 弦公式求得 sin(

a - 2 b ) 的值. 2

【数学理卷·2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考(201412) 】12.已知平面向量 a, b 满 足: | a |? 1,| b |? 2 ,且 | 2a ? b |? 10 ,则向量 a 与 a ? 2b 的夹角为 【知识点】数量积表示两个向量的夹角.F3 【答案】 【解析】 理得 a ?b .

? 2

解析:将 | 2a ? b |? 10 两边平方,得 4a + 4a?b b = 10 ,化简整

2

2

1 , 2

因为 | a - 2b |=

(

a - 2b

)

2

= a + 4a ?b 4b = 15 ,

2

2

由向量的夹角公式 cos < a, a - 2b >= 故答案为:

a ? a 2b

(

| a || a - 2b |

) = 0 ,所以向量 a 与 a ? 2b 的夹角为 ? .
2
1 , 再 根 据 2

? . 2

【 思 路 点 拨 】 将 | 2a ? b |? 10 两 边 平 方 , 整 理 得 出 a ?b

c o< s a a, -

a? a 2 b b 2> = ,求出夹角余弦值,最后求出夹角大小. | a | |a- 2 b |

(

)

【数学理卷· 2015 届四川省德阳市高三第一次诊断考试 (201412) word 版】 7. 在 ?ABC 中,

AB ? (cos 18? ,sin 18? ), BC ? (2cos 63? ,2cos 27 ? )则 ?ABC 面积为
A.

2 4

B.

2 2

C.

3 2

D.

2

【知识点】平面向量的数量积及应用 F3 【答案】B 【解析】∵|AB|= cos∠ABC=

cos2 18? ? sin 2 18? =1, |BC|=
=2sin45° /2=

4cos2 63? ? 4co s2 27? =2,

BA ? BC BA BC

2 2 ∴∠ABC=45° , ∴面积为 。 2 2

【思路点拨】先求出向量的模,再根据面积公式求出。

【数学文卷· 2015 届辽宁省沈阳二中高三 12 月月考 (201412) (1)】 10.已知向量 OA与OB

uur

uuu r

uur uuu r uuu r uur uuu r uuu r uuu r OA ? 2, OB ? 1, OP ? tOA, OQ ? ?1 ? t ? OB, PQ 在t0 时取得最小值, 的夹角为 ?, 当

1 0 ? t0 ? 时,夹角 ? 的取值范围为 5

? ?? A. ? 0, ? ? 3?

?? ? ? B. ? , ? ?3 2?

? ? 2? ? ? 2? ? C. ? , ? D. ? 0, ? ?2 3 ? ? 3 ?

【知识点】向量的数量积 F3 【答案】【解析】C 解析:因为 OA ? OB ? 2cos ? , PQ ? OQ ? OP ? ?1 ? t ? OB ? tOA ,

PQ ? PQ ? ? 5 ? 4cos ? ? t 2 ? ? 2 ? 4cos ? ? t ? 1 ,所以 t0 ?
2

2

0?

1 ? 2 cos ? 1 1 ? 2? ? ,得 ? ? cos ? ? 0 ,所以 ? ? ? ,则选 C. 5 ? 4 cos ? 5 2 2 3

1 ? 2 cos ? ,则 5 ? 4 cos ?

【思路点拨】把所求向量用已知向量转化,再利用模的性质求出向量的模,利用最小值时对 应的 在t0 的范围求夹角范围即可.

【数学文卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期五调考试(201412)word 版】5.已知向 量 ,则向量 a,b 夹角为

【知识点】平面向量的数量积及应用 F3 【答案】B 【解析】由已知得 a +2 a ? b =0,则 4-2 ? 2 ? 2cos ? =0,所以 cos ? =【思路点拨】根据向量的数量积,求出角。
2

1 2? ,? = 2 3

【数学文卷· 2015 届四川省德阳市高三第一次诊断考试 (201412) word 版】 7. 在 ?ABC 中,

AB ? (cos 18? ,sin 18? ), BC ? (2cos 63? ,2cos 27 ? )则 ?ABC 面积为
A.

2 4

B.

2 2

C.

3 2

D.

2

【知识点】平面向量的数量积及应用 F3 【答案】B 【解析】∵|AB|= cos∠ABC=

cos2 18? ? sin 2 18? =1, |BC|=
=2sin45° /2=

4cos2 63? ? 4co s2 27? =2,

BA ? BC BA BC

2 2 ∴∠ABC=45° , ∴面积为 。 2 2

【思路点拨】先求出向量的模,再根据面积公式求出。

F4

单元综合

【数学文卷·2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考(201412) 】10、已知 O 是△ABC 所在 → → 则点 O ( ) B.在∠C 平分线所在的直线上 D.是△ABC 的外心 →
2






2

平面内一点,且满足BA·OA+|BC| =AB·OB+|AC| ,

A.在 AB 边的高所在的直线上 C.在 AB 边的中线所在的直线上 【知识点】向量在几何中的应用.F4

→ → 【答案】 【解析】A ∴ BA? OA OB = - | BC | + | AC | ,∴ BA?2OD ∴ BA?2OC


2

→ →



解析:取 AB 的中点 D,则∵BA· OA+|BC| =AB· OB+|AC|2,
2 2

(

)

BA? 2CD ,

(

)

0 ,∴ BA ^ OC ,∴点 O 在 AB 边的高所在的直线上,故选 A.
→ → →
2

→ →



思路点拨】 取 AB 的中点 D, 利用BA· OA+|BC| =AB· OB+|AC|2, , 化简可得 BA?2OC 从而可得点 O 在 AB 边的高所在的直线上.

0,

【数学卷·2015 届江苏省南通中学高三上学期期中考试(201411) 】12.如图,在等腰三角 形 ABC 中 , 已 知 AB ? AC ? 1, A ? 120?, E , F 分 别 是 边 AB , AC 上 的 点 , 且
AE ? m AB , AF ? n AC , 其中 m , n ? (0,1), 若 EF , BC 的中点分别为 M , N , 且 m ? 4n ? 1,

则 MN 的最小值是 【知识点】单元综合 F4 【答案】



7 7

【解析】连接 AM、AN, ∵等腰三角形 ABC 中,AB=AC=1,A=120° , ∴ AB ? AC =| AB |?| AC |cos120° =∵AM 是△AEF 的中线, ∴ AM =

1 2

1 1 ( AE ? AF )= (m AB +n AC ) 2 2

1 ( AB ? AC ),由此可得 MN ? AN ? AM 2 1 1 = (1-m) AB + (1-n) AC . 2 2 1 1 1 将此式平方得 MN 2 = (1-m)2- (1-m)(1-n)+ (1-n)2, 4 4 4 21 2 3 1 结合 m+4n=1 消去 m,得 MN 2 = n - n+ 2 4 4
同理,可得 AN = ∴当 n=

1 1 7 时, MN 2 的最小值为 ,所以| MN | 的最小值为 7 7 7 1 . 连接 AM、 AN, 2

【思路点拨】 由等腰△ABC 中, AB=AC=1 且 A=120° , 算出 AB ? AC =利用三角形中线的性质,得到 AM =

1 1 ( AE ? AF )且 AN = ( AB ? AC ),进而得到 2 2

MN ? AN ? AM
1 1 (1-m) AB + (1-n) AC .将此式平方, 2 2 1 1 1 代入题中数据化简可得 MN 2 = (1-m)2- (1-m)(1-n)+ (1-n)2, 4 4 4 21 3 1 1 结合 m+4n=1 消去 m,得 MN 2 = n2- n+ ,结合二次函数的性质可得当 n= 时, 2 4 7 4
=

MN 2 的最小值为

1 7 ,所以| MN | 的最小值为 . 7 7

【数学卷·2015 届江苏省南通中学高三上学期期中考试(201411) 】9.已知向量 任意两个都不共线,且 【知识点】单元综合 F4 【答案】 0 与 共线, 与 共线,则向量 = .



b ? c =β a 两式相减得 a - c =α c -β a , 【解析】 因为( a ? b )// c , ( b ? c )// a , 设 a ? b =α c ,
移项得(1+α) c =(1+β) a 因为向量 a 、 c 中不平行,所以只有 1+α=0,1+β=0 即 α=-1, β=-1 也就是 a + b =- c 即 =0

【思路点拨】先根据向量共线关系找出向量的关系求出结果。


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