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高等代数课件(北大版)第八章 λ-矩阵§8.2

时间:2012-09-22


第八章 λ─矩阵
§1 λ-矩阵 §2 λ-矩阵的 标准形 §3 不变因子 §4 矩阵相似的条件 §5 矩阵相似的条件 §6 若当(Jordan)标准形 的理论推导 小结与习题
2012-9-22 数学与计算科学学院

§8.2 λ─矩阵的标准形
一、λ-矩阵的初等变换 二、λ-矩阵的初等矩阵 三、等价λ-矩阵 四、λ-矩阵的对角化

数学与计算科学学院 2012-9-22§8.2 λ─矩阵的标准形

一、λ-矩阵的初等变换
定义:
λ―矩阵的初等变换是指下面三种变换: ① 矩阵两行(列)互换位置; ② 矩阵的某一行(列)乘以非零常数 c; ③ 矩阵的某一行(列)加另一行(列)的 ? ( ? ) 倍,
? ( ? ) 是一个多项式.

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注:
为了书写的方便,我们采用以下记号
[ i , j ] 代表 i , j [ i ( c )]代表第 i

两行(列)互换; 行乘以非零数 c ;

[ i ? j ( ? ( ? ))] 代表把第 j 行(列)的 ? ( ? )倍加到第 i

行(列).

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二、λ-矩阵的初等矩阵
定义:
将单位矩阵进行一次 ? ―矩阵的初等变换所得的 矩阵称为 ? ―矩阵的初等矩阵.

注: ① 全部初等矩阵有三类:
?1 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? i行 0 ? 1 ? ? ? ? ? j行 1 ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? ? 1? ?

P (i, j) ?

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?1 ? ? ? ? 1 ? ? p ( i ( c )) ? ? ? i行 c ? ? 1 ? ? ? ? ? 1? ?

?1 ? ? ? ? 1 ? ? (? ) ? ? i行 p ( i , j ( ? ( ? ))) ? ? ? ? ? ? j行 1 ? ? ? ? ? 1? ?
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② 初等矩阵皆可逆.
p(i, j)
?1

? p(i, j)

p ( i ( c ))

?1

? p ( i ( 1 )) c
?1

p ( i , j ( ? ( ? )))

? p ( i , j ( ? ? ( ? )))

③ 对一个 s ? n 的 ? ―矩阵 A ( ? )作一次初等行变换 就相当于在 A ( ? ) 在的左边乘上相应的 s ? s 的初等矩 阵;对 A ( ? ) 作一次初等列变换就相当于在 A ( ? ) 的右 边乘上相应的 n ? n 的初等矩阵.
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三、等价λ-矩阵
定义: ―矩阵 ?
A ( ? ) 若能经过一系列初等变换化

为? -矩阵 B ( ? ) ,则称 A ( ? ) 与 B ( ? ) 等价.

性质:
1) ? ―矩阵的等价关系具有: 反身性: A ( ? ) 与自身等价. 对称性: A ( ? ) 与 B ( ? ) 等价 ? B ( ? ) 与 A ( ? ) 等价.

传递性: A ( ? ) 与 B ( ? ) 等价, B ( ? ) 与 C ( ? ) 等价
? A ( ? ) 与C ( ? ) 等价.
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2) A ( ? ) 与 B ( ? ) 等价 ? 存在一系列初等矩阵
P1 ? P S , Q 1 ? Q t

使 A ( ? ) ? P1 ? P S B ( ? ) Q 1 ? Q t .

四、λ-矩阵的对角化
1.(引理)设 ? ―矩阵 A ( ? )的左上角元素 a 1 1 ( ? ) ? 0 , 且 A ( ? ) 中至少有一个元素不能被它整除,那么一定 可以找到一个与 A ( ? ) 等价的矩阵 B ( ? ) ,它的左上 角元素 b1 1 ( ? ) ? 0 ,且 ? ( b1 1 ( ? )) ? ? ( a 1 1 ( ? )) .
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证:根据 A ( ? ) 中不能被 a 1 1 ( ? ) 除尽的元素所在的 位置,分三种情形来讨论: i) 若在 A ( ? ) 的第一列中有一个元素 a i 1 ( ? ) 不能被
a11 ( ? )

除尽, 则有 a i 1 ( ? ) ? a 1 1 ( ? ) q ( ? ) ? r ( ? ),

其中余式 r ( ? ) ? 0 ,且 ? ? r ( x ) ? ? ? ? a 1 1 ( ? ) ?
对 A ( ? ) 作下列初等行变换:
? a11 ( ? ) ? ?? A(? ) ? ? a i1 (? ) ? ? ?? ?? ? ? a11 ( ? ) ?? ? ? ?? [ i?? ?1(?q )] ? ? ? ? ? ? ? ?? ? r ( ? ) ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ?

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? r (? ) ? ?? [1 , i ] ? ?? ? a11 ( ? ) ? ? ??

?? ? ?? ? ? B ( ? ). ?? ? ? ?? ?

B ( ? ) 的左上角元素 r ( ? ) 符合引理的要求,

故 B ( ? ) 为所求的矩阵. ii) 在 A ( ? ) 的第一行中有一个元素 a 1 i ( ? )不能被 a 1 1 ( ? )

除尽,这种情况的证明i)与类似.
iii) A ( ? )的第一行与第一列中的元素都可以被 a 1 1 ( ? )

除尽,但 A ( ? ) 中有另一个元素 a ij ( ? ) ( i ? 1, j ? 1)
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被 a 1 1 ( ? ) 除尽. 我们设 a i 1 ( ? ) ? a 1 1 ( ? )? ( ? ).
对 A ( ? ) 作下述初等行变换:
? a11 ( ? ) ? ? A(? ) ? ? a i1 (? ) ? ? ? ? a1 j (? ) ? ? ? ? ?? ? a ij ( ? ) ? ? ? ? ? ?? ? a1 j (? ) ? ? ... a ij ( ? ) ? a 1 j ( ? )? ( ? ) ? ? ?? ?? ... ? ? ??

? i ? 1(? ) ?

? a11 ( ? ) ? ? ? 0 ? ? ?

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?1 ? i ?

? a11 ( ? ) ? ? ? 0 ? ? ?
? A1 ( ? )

? a ij ( ? ) ? (1 ? ? ( ? )) a 1 j ( ? ) ? ? ? a ij ( ? ) ? a 1 j ( ? )? ( ? ) ? ?

?? ?? ?? ? ??

矩阵 A1 ( ? ) 的第一行中,有一个元素:
a ij ( ? ) ? (1 ? ? ( ? )) a 1 j ( ? )

不能被左上角元素 a 1 1 ( ? ) 除尽,转为情形 ii) . 证毕.
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2.(定理2)任意一个非零的 s ? n 的 ? 一矩阵 A ( ? ) 都等价于下列形式的矩阵
? d1 (? ) ? ? ? d 2 (? ) ? ? ? ? ? d r (? ) ? ? 0 ? ? ? ? ? 0? ?

称之 A(? ) 为 的 标准 形.

其中 r ? 1, d i ( ? ) ( i ? 1, 2 , ? , r ) 是首项系数为1的

多项式,且

d i ( ? ) d i ? 1 ( ? ) ( i ? 1, 2 , ? , r ? 1).

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证: 经行列调动之后,可使 A ( ? ) 的左上角元素
a11 ( ? ) ? 0 ,

若 a 1 1 ( ? ) 不能除尽 A ( ? ) 的全部元素,

由引理,可以找到与 A ( ? ) 等价的 B 1 ( ? ) ,且
B 1 ( ? ) 左上角元素 b1 ( ? ) ? 0 ,? ? b1 ( ? ) ? ? ? ? a 1 1 ( ? ) ? .

若 b1 ( ? ) 还不能除尽 B 1 ( ? ) 的全部元素, 由引理,又可以找到与 B 1 ( ? ) 等价的 B 2 ( ? ) ,且
B2 (? )

左上角元素 b 2 ( ? ) ? 0 , ? ? b 2 ( ? ) ? ? ? ? b1 ( ? ) ? .

如此下去,将得到一系列彼此等价的λ- 矩阵:
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A ( ? ), B 1 ( ? ), B 2 ( ? ), ? .

它们的左上角元素皆为零,而且次数越来越低. 但次数是非负整数,不可能无止境地降低. 因此在有限步以后,将终止于一个λ-矩阵 B s ( ? ) 它的左上角元素 b s ( ? ) ? 0 ,而且可以除尽 B s ( ? ) 的全部元素 b ij ( ? ), 即
b ij ( ? ) ? b s ( ? ) q ij ( j ), i ? 1, 2 , ? , s ; j ? 1, 2 , ? , n .

对 B s ( ? ) 作初等变换:
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0 ? 0? ? bs (? ) ? 0 ? [ 2 ? 1 ( q 2 1 )],[ 3 ? 1 ( q 3 1 )],?? B ( ? ) ? [?1 (? )],[ 3 ? 1 ( q? ?? ? ? ? )], ?? 2 ? q 21 ? ? ? 13 A1 ( ? ) ? ? 0 ? ?
A1 ( ? ) 中的全部元素都是可以被 b s ( ? )

除尽的,

因为它们都是 B s ( ? ) 中元素的组合. 如果 A1 ( ? ) ? 0 ,则对于 A1 ( ? ) 可以重复上述过程,

进而把矩阵化成
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0 ? 0? ? d1 (? ) ? 0 ? d 2 (? ) ? ? 0 ?, 0 ? ? ? A2 ( ? ) ? ? ? 0 0 ? ?

其中 d 1 ( ? ) 与 d 2 ( ? ) 都是首1多项式( d 1 ( ? ) 与 b s ( ? ) 只差一个常数倍数),而且 能除尽 A 2 ( ? ) 的全部元素. 如此下去, A ( ? ) 最后就化成了标准形.
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d 1 ( ? ) | d 2 ( ? ),

d 2 (? )



用初等变换化λ―矩阵为标准形.
2? ? 1 ? ? ?1?? 2 A(? ) ? ? ? ? ?? ? ?1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? 1 ? ? 2 ? ? ?

解:
2? ? 1 1? ?1?? 2 A ( ? ) ? [?1 ? ? ? ? ? 0? 3? ] ?1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? 1 1 ? ? ?

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2? ? 1 1?? ? ?1 2 ? [1 ,3 ]? ? 0 ?? ? ? ? ?1 ? 3 ? ? ? 1 1 ? ? 2 ? ? ? ?1 2? ? 1 1 ? ? 3?1 2 ? ?? ? 0 ? ? ?1 ? 3 ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ?

0 0 ?1 ? 2 ?0 ? [?1 (? ?? ?1 (? 1?? ? ? ? 2 ? 2 ? 1 ),[ 3 ? ? ? )]] ?0 ? 3 ? ? ? 2 ? ? ? ? ?

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0 0 ? ?1 2 ? ? [?? ? 0 ? ? ? 2 ,3 ] ?0 ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? ? ?

?1 ? 0 0 ? ? [?2 ?)] ? ? 0 ? ? 0 3? (? ?0 ? 2 ? ? ?? 2 ? ? ? ? ? ?1 0 ? 0 [ 3 ? 2 ( ? ? 1 )] ? ? B (? ) ? ? (?)]? ? 0 ? ? 0 [3 ?1 ?0 0 ? 2 ? ? ? ? ?
B ( ? ) 即为 A ( ? ) 的标准形.
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