2018届高三理科数学一轮复习 随机事件的概率_图文

第三节 随机事件的概率 本节主要包括 2 个知识点： 1.随机事件的频率与概率； 2.互斥事件与对立事件. 淮北一中数学组 突破点(一) 基础联通 随机事件的频率与概率 抓主干知识的“源”与“流” 1．事件的分类 2．频率和概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验， 观察某一事件 A 是否 次数 nA 为事件 A 出现的频 出现，称 n 次试验中事件 A 出现的_____ nA n 为事件 A 出现的频率． 数，称事件 A 出现的比例 fn(A)＝____ (2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事 频率 fn(A) 稳定在某个常数上，把这个常数记作 件 A 发生的__________ P(A)，称为事件 A 的概率，简称为 A 的概率． 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 随机事件的频率与概率 事件 A 发生的频率是利用频数 nA 除以试验总次数 n 所 得到的值，且随着试验次数的增多，它在 A 的概率附近摆 动幅度越来越小，即概率是频率的稳定值，因此在试验次 数足够的情况下，给出不同事件发生的次数，可以利用频 率来估计相应事件发生的概率． [ 典例 ] (2017· 湖北七市联考 ) 某电子商务公司随机抽取 1 000 名网络购物者进行调查．这 1 000 名购物者 2015 年网上购 物金额(单位： 万元)均在区间[0.3,0.9]内， 样本分组为：[0.3,0.4)， [0.4,0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，购物金额的 频率分布直方图如下： 电子商务公司决定给购物者发放优惠券， 其金额(单位： 元) 与购物金额关系如下： 购物金额分组 [0.3,0.5) [0.5,0.6) 发放金额 50 100 [0.6,0.8) 150 [0.8,0.9] 200 (1)求这 1 000 名购物者获得优惠券金额的平均数； (2)以这 1 000 名购物者购物金额落在相应区间的频率作为 概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于 150 元的概率． [解] (1)购物者的购物金额 x 与获得优惠券金额 y 的频率分 布如下表： x y 频率 0.3≤x<0.5 50 0.4 0.5≤x<0.6 0.6≤x<0.8 0.8≤x≤0.9 100 0.3 150 0.28 200 0.02 这 1 000 名购物者获得优惠券金额的平均数为： 50×400＋100×300＋150×280＋200×20 ＝96. 1 000 (2)以这 1 000 名购物者购物金额落在相应区间的频率作为 概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于 150 元的概率． [解] 由获得优惠券金额 y 与购物金额 x 的对应关系， 由(1) 有 P(y＝150)＝P(0.6≤x<0.8)＝0.28， P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9) ＝0.02， 从而， 获得优惠券金额不少于 150 元的概率为 P(y≥150) ＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3. 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1．某超市随机选取 1 000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、 丁四种商品的情况， 整理成如下统计表， 其中“√”表示购买， “×”表示未购买. (1)估计顾客同时购买乙 顾客人数 100 和丙的概率； 217 (2)估计顾客在甲、乙、 200 丙、丁中同时购买 3 种 300 商品的概率； 85 (3)如果顾客购买了甲， 98 则该顾客同时购买乙、 丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 商品 甲 √ × √ √ √ × 乙 × √ √ × × √ 丙 √ × √ √ × × 丁 √ √ × × × × (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率； (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率； 解：(1)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中有 200 位顾客 同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计 200 为1 000＝0.2. (2)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中有 100 位顾客同时 购买了甲、丙、丁，另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙， 其他顾客最多购买了 2 种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中 100＋200 同时购买 3 种商品的概率可以估计为 1 000 ＝0.3. (3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商 品的可能性最大？ 解：与(1)同理，可得： 200 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为1 000＝0.2， 100＋200＋300 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 ＝0.6， 1 000 100 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1 000＝0.1. 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大． 2．如图，A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2， 现随机抽取 100 位从 A 地到火车站的人进行 调查，调查结果如下： 所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 选择L1的人数 6 12 18 12 50～60 12 选择L2的人数 0 4 16 16 4 (1)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率； (2)分别求通过路径 L1 和 L2 所用时间落在上表中各时间段内的 频率； (3)现甲、 乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站， 为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说 明，他们应如何选择各自的路径． (1)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率； (2)分别求通过路径 L1 和 L2 所用时间落在上表中各时间段内的 频率； 解：(1)共调查了 100 人，其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 12＋12＋16＋4＝44(人)， 用频率估计概率，可得所求概率为 0.44. (2