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【创新设计】2016高考数学二轮复习 专题五 第3讲 圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题训练 文

时间:2016-01-03


第3讲

圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题

一、选择题 1.(2015·衡水中学模拟)已知椭圆 + =1 内有两点 A(1,3),B(3,0),P 为椭圆上一点, 25 16 则|PA|+|PB|的最大值为( A.3 B.4 ) C.5 D.15

x2

y2

解析 在椭圆中,由 a=5,b=4,得 c=3,故焦点为(-3,0)和(3,0),点 B 是右焦点, 记左焦点为 C(-3,0),由椭圆的定义得|PB|+|PC|=10,所以|PA|+|PB|=10+|PA|- |PC|, 因为||PA|-|PC||≤|AC|=5,所以当点 P,A,C 三点共线时,|PA|+|PB|取得最大值 15. 答案 D 2.在平面直角坐标系 xOy 中,经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 +y =1 有两个不 2 同的交点,则 k 的取值范围为( A.?-∞,- B.? C.? )

x2

2

? ?

2? ? 2?

? 2 ? ,+∞? 2 ? ? ? 2 ? ,+∞? ?2 ? ? ?
2? ? 2 ? ?∪? ,+∞? 2? ?2 ?

D.?-∞,-

?1 2? 2 解析 由已知可得直线 l 的方程为 y=kx+ 2, 与椭圆的方程联立, 整理得? +k ?x +2 2 ?2 ?
kx+1=0,
因为直线 l 与椭圆有两个不同的交点, 2 2 ?1 2? 2 2 所以 Δ = 8k - 4 ? +k ? = 4k - 2 > 0 ,解得 k <- 或 k > ,即 k 的取值范围为 2 2 ?2 ? 2? ? 2 ? ? ?-∞,- ?∪? ,+∞? 2 2 ? ? ? ? 答案 D

x2 y2 3.(2015·榆林模拟)若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)与直线 y= 3x 无交点,则离心率 e 的 a b
取值范围是( )

1

A.(1,2) C.(1, 5)

B.(1,2] D.(1, 5]

解析 因为双曲线的渐近线为 y=± x, 要使直线 y= 3x 与双曲线无交点, 则直线 y= 3

b a

b x 应在两渐近线之间,所以有 ≤ 3,即 b≤ 3a, a
所以 b ≤3a ,c -a ≤3a , 即 c ≤4a ,e ≤4,所以 1<e≤2. 答案 B
2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2 4.已知椭圆 + 2=1(0<b<2)与 y 轴交于 A,B 两点,点 F 为该椭圆的一个焦点,则△ABF 4 b
的面积的最大值为( A.1 B.2 ) C.4
2

D.8

解析 不妨设点 F 的坐标为( 4-b ,0),而|AB|=2b, 1 b +4-b 2 2 2 2 2 2 ∴S△ABF= ×2b× 4-b =b 4-b = b (4-b )≤ =2(当且仅当 b =4-b , 2 2 即 b =2 时取等号),故△ABF 面积的最大值为 2. 答案 B 5.在直线 y=-2 上任取一点 Q,过 Q 作抛物线 x =4y 的切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 恒过的点是( A.(0,1) C.(2,0) ) B.(0,2) D.(1,0)
2 2 2 2

1 2 1 解析 设 Q(t,-2),A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线方程变为 y= x ,则 y′= x,则在 4 2 1 1 点 A 处的切线方程为 y-y1= x1(x-x1),化简得 y= x1x-y1;同理,在点 B 处的切线方 2 2 1 1 1 程为 y= x2x-y2.又点 Q(t,-2)的坐标满足这两个方程,代入得-2= x1t-y1,-2= 2 2 2

x2t-y2,则说明 A(x1,y1),B(x2,y2)都满足方程-2= xt-y,即直线 AB 的方程为 y-2
1 = tx,因此直线 AB 恒过点(0,2). 2 答案 B 二、填空题

1 2

y2 2 2 6.(2015·平顶山模拟)若双曲线 x - 2=1(b>0)的一条渐近线与圆 x +(y-2) =1 至多有一 b
2

个公共点,则双曲线离心率的取值范围是________.
2

解析 双曲线的渐近线方程为 y=±bx,则有 则 e =1+b ≤4,得 1<e≤2. 答案 (1,2]
2 2

|0-2| 1+b
2

≥1,解得 b ≤3,

2

7.若椭圆 2+ 2=1(a>b>0)与双曲线 2- 2=1 的离心率分别为 e1, e2, 则 e1e2 的取值范围为 ________. 解析 可知 e1=
2 2 2

x2 y2 a b

x2 y2 a b

a2-b2 b2 2 a2+b2 b2 = 1 - , e = = 1 + , 2 a2 a2 a2 a2

所以 e1+e2=2>2e1e2? 0<e1e2<1. 答案 (0,1) 8.(2015·合肥模拟)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为

x2 y2 a b

6 , 过椭圆上一点 M 作直线 MA, 3

MB 分别交椭圆于 A,B 两点,且斜率分别为 k1,k2,若点 A,B 关于原点对称,则 k1·k2
的值为________.

b 6 b 1 y-n y+n 2 解析 由 e =1- 2= , 得 2= , 设 M(x, y), A(m, n), B(-m, -n), 则 k1·k2= · a 9 a 3 x-m x+m y2-n2 = 2 ,① x -m2 x ? 2 2? m ? 1 2 2? 把 y =b ?1- 2?,n =b ?1- 2?代入①式并化简,可得 k1·k2=- . 3 ? a? ? a?
1 答案 - 3 三、解答题 1 2 2 2 9.(2015·浙江卷)如图,已知抛物线 C1:y= x ,圆 C2:x +(y-1) =1, 4 过点 P(t,0)(t>0)作不过原点 O 的直线 PA,PB 分别与抛物线 C1 和 圆 C2 相切,A,B 为切点. (1)求点 A,B 的坐标; (2)求△PAB 的面积. 注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物 线相切,称该公共点为切点. 解 (1)由题意知直线 PA 的斜率存在,故可设直线 PA 的方程为 y=k(x-t).
2 2

2

2

y=k(x-t), ? ? 由? 1 2 消去 y,整理得: y= x ? ? 4 x2-4kx+4kt=0,
3

由于直线 PA 与抛物线相切,得 k=t, 因此,点 A 的坐标为(2t,t ). 设圆 C2 的圆心为 D(0,1),点 B 的坐标为(x0,y0),由题意知:点 B,O 关于直线 PD 对称,
2

y0 x0 ? ? =- +1, 2 2 t 故? ? ?x0t-y0=0.
2t ? ?x =1+t , 解得? 2t ? ?y =1+t .
0 2 2 0 2

? 2t 2, 2t 2?. 因此,点 B 的坐标为? ? ?1+t 1+t ?
(2)由(1)知,|AP|=t· 1+t 和直线 PA 的方程 tx-y-t =0, 点 B 到直线 PA 的距离是 d= 设△PAB 的面积为 S(t), 1 t 所以 S(t)= |AP|·d= . 2 2 10.已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴,焦点是(0, 2),(0,- 2),又点 A(1, 2)在椭圆 M 上. (1)求椭圆 M 的方程; (2)已知直线 l 的斜率为 2,若直线 l 与椭圆 M 交于 B、C 两点,求△ABC 面积的最大值. 解 (1)由已知椭圆的焦点为(0,- 2),故设椭圆方程为 2+
3 2 2

2

t2
1+t
2



y2 x2 =1, 2 a a -2

2 1 将点 A(1, 2)代入方程得 2+ 2 =1, a a -2 整理得 a -5a +4=0, 解得 a =4 或 a =1(舍), 故所求椭圆方程为 + =1. 4 2 (2)设直线 BC 的方程为 y= 2x+m,设 B(x1,y1),C(x2,y2), 代入椭圆方程并化简得 4x +2 2mx+m -4=0, 由 Δ =8m -16(m -4)=8(8-m )>0,可得 m <8,① 由 x1+x2=- 2 m -4 m,x1x2= , 2 4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2

y2 x2

3· 16-2m 故|BC|= 3|x1-x2|= 2

4

|m| 又点 A 到 BC 的距离为 d= . 3 1 m (16-2m ) 1 2m +(16-2m ) 故 S△ABC= |BC|·d= ≤ · = 2. 2 4 2 4 2 当且仅当 2m =16-2m , 即 m=±2 时取等号(满足①式), 所以△ABC 面积的最大值为 2. 11.(2015·南阳模拟)已知椭圆 C 的中心在坐标原点, 焦点在 x 轴上, 椭圆 C 上的点到焦点距 离的最大值为 3,最小值为 1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点(A、B 不是左、右顶点),且以 AB 为直 径的圆过椭圆 C 的右顶点 D,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. (1)解 由题意设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). 易知 a+c=3,a-c=1, 则 a=2,c=1,故 b =3. 所以椭圆 C 的标准方程为 + =1. 4 3 (2)证明 设 A(x1,y1),B(x2,y2).
2 2 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

x2 y2

y=kx+m, ? ? 2 2 2 2 2 由?x y 得(3+4k )x +8mkx+4(m -3)=0. + =1, ? ?4 3
依题意,Δ =64m k -16(3+4k )(m -3)>0, 即 3+4k -m >0. 8mk 4(m -3) 又 x1+x2=- , 2,x1·x2= 2 3+4k 3+4k 所以 y1y2=(kx1+m)(kx2+m) =k x1x2+mk(x1+x2)+m 3(m -4k ) = . 2 3+4k 因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), → → 所以DA·DB=0. → → 又DA=(x1-2,y1),DB=(x2-2,y2), → → 故DA·DB=(x1-2)(x2-2)+y1y2=0, 即 y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0,
5
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



3(m -4k ) 4(m -3) 16mk + + 2 2 2+4=0, 3+4k 3+4k 3+4k
2 2

2

2

2

化简得 7m +16mk+4k =0, 2k 2 2 解得 m1=-2k,m2=- ,且满足 3+4k -m >0. 7 当 m=-2k 时,l:y=k(x-2),直线过定点(2,0),与已知矛盾; 2k ? 2? ?2 ? 当 m=- 时,l:y=k?x- ?,直线过定点? ,0?. 7 7 ? ? ?7 ?

?2 ? 综上可知,直线 l 过定点,该定点的坐标为? ,0?. ?7 ?

6


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