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2.3幂函数 (2)

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2.3幂函数 1 引例. 1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么 她需要支付p=w元,这里p是w的函数; 2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 s=a2, 这里s是a的函数; 3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V=a3, 这里V是a函数; 4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方 形的边长 a=S1/2 这里S是a的函数; 5)如果人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均 速度v=t-1 km/s 这里v是t的函数. 以上问题中的函数具有什么共同特征? 2 新课讲解. 一般地,函数 y ? x 叫做幂函数 ? 是常数. (power function),其中x是自变量, 几点说明: ? ? y ? x 1) 中 x 前面系数是1,并且后面也没有常数项; 一.幂函数的定义 ? 2)要确定一个幂函数,需要一个条件就可以,即把常数 ? 确定下来; 3)幂函数和指数函数的异同:两者都具有幂的形式,但 指数函数的自变量位于指数上,幂函数的自变量是底数 . 3 新课讲解. 二.幂函数的图象及性质 在同一平面直角坐标系内作出 1 ?1 2 y?x, 的图像 y?x y ? x, y ? x, y ? x3 , 2 3 y?x y?x 2 y?x 1 2 y?x y?x ?1 观察上述图象,将你发现的结论写在P78的表格内 4 新课讲解. 定义域 R y?x 二.幂函数的图象及性质1 y?x y?x 2 3 y?x 2 y?x ?1 R R [0, ??) ?x | x ? 0? [0, ??) ? y | y ? 0? 非奇非偶 增 奇 值域 奇偶性 单调性 R 奇 增 [0, ??) [0, ??) 上增 偶 R 奇 增 (0, ??) 上减 (??, 0] (??, 0) 定点 上减 上减 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) 5 (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) 新课讲解. 二.幂函数的图象及性质 幂函数性质: 1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过 点(1,1); 2)当α >0时,幂函数的图象都通过原点,并且 在[0,+∞)上是增函数 (从左往右看,函数图象逐渐上升) 当α<0时,幂函数在区间(0,+∞)上是减函数. (从左往右看,函数图象逐渐上升) 3)在第一家限内,当x向原点靠近时,图象在y轴的右方 无限逼近y轴正半轴,当x慢慢地变大时,图象在x轴上方 并无限逼近x轴的正半轴. 4)当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数 6 应用举例. 例1.证明幂函数 y ? 增函数. x 在定义域上是 例2.证明幂函数y=x3 在定义域上是增函数. 7 应用举例. 例3.比较下列各组数的大小 5 ? 2 5 ? 2 1)3 和3.1 7 ? 8 1 2) ? 8 和 ? ( ) 9 2 2 ? ? 2 3 3 3 3)(? ) 和(? ) 31 4 1 7 8 0.9 3 和0.8 2 呢? 8 应用举例. 例4.如图,幂函数 y ? x (i ? 1,2,3,4,5) 在第一象限对应的图像分别是C1, C2 , C3 , C4 , C5 ,则 ? i 大小如何排列? ?i 9 应用举例. 选讲.1)当 幂函数 ? 取不同的有理数时,讨论 ? 的定义域. m2 ?2m?3 y?x (m ? N ) , 2)已知幂函数

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