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导与练重点班2017届高三数学一轮复习第二篇函数导数及其应用第8节函数与方程课时训练理

时间:2017-03-30


第 8 节 函数与方程

【选题明细表】 知识点、方法 函数零点(个数) 确定函数零点所在区间 利用函数零点个数确定参数的取值(范围) 函数零点的综合问题 题号 2,3,6,8,12 1,4,14 7,9,10,13,15,16 5,11

基础对点练(时间:30 分钟) 1.(2016 孝感质检)函数 f(x)=e +x-2 的零点所在的一个区间是( A ) (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(-2,-1) (D)(-1,0) x 解析:因为 f′(x)=e +1>0 在 R 上恒成立, 所以函数 f(x)在 R 上单调递增. 又函数图象连续不断, 0 1 且 f(0)=e +0-2=-1<0,f(1)=e +1-2=e-1>0, 所以 f(0)·f(1)<0,所以函数 f(x)的零点所在的一个区间是(0,1).故选 A. 2 2.若函数 f(x)=ax+b 有一个零点是 2,那么函数 g(x)=bx -ax 的零点是( C ) (A)0,2 (B)0, (C)0,- (D)2,2 解析:由题意知 2a+b=0,即 b=-2a.令 g(x)=bx -ax=0 得 x=0 或 x==-. 3.(2016 安徽黄山质检 ) 若定义在 R 上的偶函数 f(x) 满足 f(x+2)=f(x), 且当 x ∈ [0,1] 时,f(x)=x,则方程 f(x)=log3|x|的解的个数是( C ) (A)0 (B)2 (C)4 (D)6 解析:画出周期函数 f(x)和 y=log3|x|的图象,如图所示,由图知方程 f(x)=log3|x|的解的个 数为 4.故选 C.
x

4.(2016 安徽芜湖质检)函数 f(x)=+ln (A)(1,2) (C)(3,4) (B)(2,3) (D)(1,2)与(2,3)

的零点所在的大致区间是(

B )

解析:f(x)=+ln

=-ln(x-1),当 1<x<2 时,ln(x-1)<0,>0,所以 f(x)>0,故函数 f(x)在(1,2)

上没有零点.f(2)=1-ln 1=1>0,f(3)=-ln 2=

=

.因为

=2

≈2.828>e,所以 8>e ,即

2

1

ln 8>2,即 f(3)<0.又 f(4)=-ln 3<0,所以 f(x)在(2,3)内存在一个零点.故选 B. 5.(2016 桂林质检)设方程 log4x-() =0,lo x-() =0 的根分别为 x1,x2,则( A (A)0<x1x2<1 (B)x1x2=1 (C)1<x1x2<2 (D)x1x2≥2 解析:在同一坐标系内画出函数 y=() ,y=log4x,y=lo x 的图象,如图所示,则 x1>1>x2>0,
x x x

)

由 log4x1=() ,lo x2=() 得 log4x1-lo x2=log4(x1x2)=() -()

<0,所以 0<x1x2<1.

6.(2016 沈阳质检)函数 f(x)=lg(|x|+1)-sin 2x 的零点个数为( D ) (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 解析:由题意知求 y=lg(|x|+1)与 y=sin 2x 的交点个数,因为 x=±9 时,y=lg 10=1,所以当 x ∈[0,9]时,y=lg(|x|+1)与 y=sin 2x 有 6 个交点;当 x∈[-9,0)时,y=lg(|x|+1)与 y=sin 2x 有 6 个交点;所以共有 12 个交点. 7.已知 x>0,符号[x]表示不超过 x 的最大整数,若函数 f(x)= -a(x≠0)有且仅有 3 个零点, 则 a 的取值范围是( A ) (A) (,] (B) [, ] (C) (,] (D) [, ] 解析:由题意知 y=a 与 y= (x>0)的交点个数为 3 个,

由 y= =

画出 y= 的图象(图略),通过数形结合可知 a∈(,]. 8.(2016 河南安阳月考)设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数, f′(x)是 f(x)的导函数,当 x∈[0,π ]时,0<f(x)<1;当 x∈(0,π )且 x≠时, (x-)
2

f′(x)>0,则函数 y=f(x)-sin x 在[-2π ,2π ]上的零点个数为 . 解析:因为 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数, 所以 f(x+2π )=f(x)=f(-x), 所以 y=f(x)的图象关于 y 轴和直线 x=π 对称, 因为 0<x<时, (x-)f′(x)>0, 所以 0<x<时,f′(x)<0; <x<π 时,f′(x)>0. 又因为 0≤x≤π 时,0<f(x)<1, 所以 y=f(x)的大致图象如图所示. 又函数 y=f(x)-sin x 在[-2π ,2π ]上的零点个数?函数 y=f(x)(x∈[-2π ,2π ])与 y=sin x(x∈[-2π ,2π ])图象的交点个数,由图可知共有四个交点.

答案:4 9.已知 f(x)= 且函数 y=f(x)+ax 恰有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范

围是 . 2 解析:当 x<0 时,f(x)=(x+1) -,把函数 f(x)在[-1,0)上的图象向右平移一个单位即得函数 y=f(x)在[0,1)上的图象,继续右移可得函数 f(x)在[0,+∞)上的图象.如果函数 y=f(x)+ax 恰有 3 个不同的零点,即函数 y=f(x),y=-ax 的图象有三个不同的公共点, 实数 a 应满足-a<-或≤-a<, 即 a>或-<a≤-.

答案: (-,-]∪(,+∞) 2 10.(1)m 为何值时,函数 f(x)=x +2mx+3m+4 有两个零点且均比-1 大; 2 (2)若函数φ (x)=|4x-x |+a 有 4 个零点,求实数 a 的取值范围. 解:(1)法一 设 f(x)的两个零点分别为 x1,x2, 则 x1+x2=-2m,x1x2=3m+4. 由题意,知

?

3

? 所以-5<m<-1.故 m 的取值范围为(-5,-1). 法二 由题意,知

即 所以-5<m<-1.所以 m 的取值范围为(-5,-1). (2)令 ? (x)=0, 得|4x-x |+a=0, 2 即|4x-x |=-a. 2 令 g(x)=|4x-x |,h(x)=-a.
2

作出 g(x),h(x)的图象如图. 由图象可知,当 0<-a<4, 即-4<a<0 时, g(x)与 h(x)的图象有 4 个交点, 即 ? (x)有 4 个零点. 故 a 的取值范围为(-4,0). 能力提升练(时间:15 分钟) 11.(2016 凉山州诊断考试)设函数 f(x)=|ln x|(A)x1x2<1 (C)1<x1x2< (B)x1x2=1 (D)x1x2> 的两个零点为 x1,x2,则有( A )

解析:由 f(x)=|ln x|-

=0,得|ln x|=

,

作函数 y=|ln x|与 y=

的图象如图,

4

不妨设 x1<x2, 由图可知,x1<1<x2, 则 ln x1<0,且|ln x1|>|ln x2|, 所以-ln x1>ln x2, 则 ln x1+ln x2<0, 即 ln(x1x2)<0, 所以 x1x2<1. 12.(2016 唐山质检)设函数 f(x)= 则函数 F(x)=xf(x)-1 的零点个数为

( C ) (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 解析:xf(x)=1,转化为 f(x)=,如图,画出函数 y=f(x)和 g(x)=的图象,当 x<0 时, 有一个交点,当 x>0 时 f(1)=1,g(1)=1,此时 f(1)=g(1)=1,x=1 是函数 F(x)的一个 零点,f(3)=f(1)=,g(3)=,满足 f(3)>g(3),所以在(2,4)上有两个交点,同理 f(5) >g(5), 所以在 (4,6) 上有两个交点 ,f(7)<g(7), 所以在 (6,8) 内没有交点 , 当 x>7 时 , 恒有 f(x)<g(x),所以两个函数没有交点,所以 F(x)共有 6 个零点.

13.设函数 f(x)的定义域为 R,f(x)=

且对任意的 x∈R 都有 f(x+1)=

f(x-1),若在区间[-1,3]上函数 g(x)=f(x)-mx-m 恰有四个不同零点,则实数 m 的取值范围是 ( D ) (A) [0, ] (B) [0, ) (C) (0, ] (D) (0, ] 解析:由 f(x+1)=f(x-1)得 f(x+2)=f(x),则函数 f(x)的周期为 2,从而函数 f(x)在区间[-1,3] 上的图象如图所示:

5

令 u(x)=mx+m=m(x+1), 当 m=0 时,g(x)=f(x)有两个零点,不合题意, 当 m≠0 时,直线恒过定点(-1,0). 当直线过点 A(3,1)时,m=,故 m∈(0,]. 14.(2016 扬州月考 ) 如果函数 f(x)=ln x+x-3 的零点所在的区间是 (n,n+1), 则正整数 n= . 解析:根据对数函数的单调性与函数单调性的运算性质,可知 f(x)=ln x+x-3 在(0, +∞)上是增函数,再通过计算知 f(1)=-2<0,f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3>0,所以 f(2)f(3)<0, 根据零点存在性定理,可得函数 f(x)=ln x+x-3 的零点所在区间为(2,3),故 n=2. 答案:2 15.若方程 =k(x-2)+3 有两个不等的实根,则 k 的取值范围是 .

解析:作出函数 y1=

和 y2=k(x-2)+3 的图象如图所示,函数 y1 的图象是圆心在原点,半径

为 2 的圆在 x 轴上方的部分 ( 包括端点 ), 函数 y2 的图象是过定点 P(2,3) 的直线 , 点 A(-2,0),kPA= =.

直线 PB 是圆的切线,由圆心到直线的距离等于半径得,

=2,

得 kPB= . 由图可知当 kPB<k≤kPA 时,两函数图象有两个交点, 即原方程有两个不等实根. 所以 <k≤.

答案: ( ,] 16.已知函数 f(x)=-x +2ex+t-1,g(x)=x+(x>0,其中 e 表示自然对数的底数).
2

6

(1)若 g(x)=m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 t 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. 解:(1)法一 g(x)=x+≥2 故 g(x)的值域是[2e,+∞), 因而只需 m≥2e, 则 g(x)=m 就有零点. 即 m 的取值范围是[2e,+∞). 法二 解方程 g(x)=m, 2 2 得 x -mx+e =0. 此方程有大于零的根,故 =2e,等号成立的条件是 x=e.

等价于 故 m≥2e. 即 m 的取值范围为[2e,+∞). (2)若 g(x)-f(x)=0 有两个相异的实根,

7

即函数 g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点,作出 g(x),f(x)的图象. 2 因为 f(x)=-x +2ex+t-1 2 2 =-(x-e) +t-1+e . 2 所以其对称轴为 x=e,开口向下,最大值为 t-1+e . 2 故当 t-1+e >2e, 2 即 t>-e +2e+1 时,g(x)与 f(x)有两个交点, 即 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. 2 所以 t 的取值范围是(-e +2e+1,+∞). 精彩 5 分钟 a b x 1.(2016 太原月考)已知实数 a,b 满足 2 =3,3 =2,则函数 f(x)=a +x-b 的零点所在的区间是 ( B ) (A)(-2,-1) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(1,2) 解题关键:由函数零点存在性定理作出判断. a b 解析:因为实数 a,b 满足 2 =3,3 =2, 所以 a=log23>1,0<b=log32<1, x 因为函数 f(x)=a +x-b, x 所以 f(x)=(log23) +x-log32 单调递增, 因为 f(0)=1-log32>0, f(-1)=log32-1-log32=-1<0, x 所以根据函数零点存在性定理得出函数 f(x)=a +x-b 的零点所在的区间为(-1,0). 2.已知函数 f(x)=5 +x,g(x)=x-lo x,h(x)=log2xx

的零点分别为 x1,x2,x3,则 x1,

x2,x3 的大小关系是( D ) (A)x1>x2>x3 (B)x2>x1>x3 (C)x1>x3>x2 (D)x3>x2>x1 解题关键:将函数零点转化为函数交点的横坐标,数形结合求解. 解析:由 f(x)=5 +x=0,g(x)=x-lo x=0,h(x)=log2xx

=0 分别得 5 =-x,x=lo x,

x

log2x=

.
x

在坐标系中分别作出 y=5 与 y=-x,y=x 与 y=lo x,y=log2x 与 y= 由图象可知-1<x1<0,0<x2<1,x3>1, 所以 x3>x2>x1.故选 D.

的图象,

8

3.函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且满足 f(x+2)=f(x).当 x∈[0,1]时,f(x)=2x.若在区间 [-2,2]上方程 ax+a-f(x)=0 恰有三个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是 . 解题关键:数形结合求参数的取值范围. 解析:由 f(x+2)=f(x)得函数的周期是 2. 由 ax+a-f(x)=0 得 f(x)=ax+a, 设 y=f(x),y=ax+a,作出函数 y=f(x),y=ax+a 的图象. 如图,要使方程 ax+a-f(x)=0 恰有三个不相等的实数根,

则直线 y=ax+a=a(x+1)的斜率满足 0≤a<kAB, 由题意可知,A(-1,0),B(1,2), 所以 kAB==1, 所以 0≤a<1,即 a∈[0,1). 答案:[0,1)

9


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