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2011年普通高等学校招生全国统一考试黄冈市模拟及答题适应性考试数学试题

时间:2011-05-31


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2011 年普通高等学校招生全国统一考试黄冈市模拟及答题适应性考试







题(理科)

一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.已知复数 z 满足 z × i = 2 - i ,其中 i 为虚数单位,则 z = A. 2 - i B. 1 + 2i C. - 1 + 2i D. - 1 - 2i 2.设函数 f ( x ) = 2 sin(

p p x + ), 若对任意 x ? R 都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x 2 )( x1 , x 2 ? R ) , 2 5

则 x1 - x 2 的最小值为

1 2 2 2 3.若直线 ax + by = 1 与圆 x + y = 1 相交,则点 (a, b) 的位置是
A. 4 B. 2 C. 1 D. A.在圆上 A. 1 : 2 : 3 B.在圆内 B. 3 : 2 : 1
o

C.在圆外

4.设 a > 0 ,不等式 ax + b < c 的解集是 x - 2 < x < 1 ,则 a : b : c 等于 C. 3 : 1 : 2 D. 2 : 1 : 3 5.直线 l 与平面 a 成 45 角,在平面 a 内到直线 l 的距离为 3 的点 P 的轨迹是 A.线段 B.点 C.圆 D.椭圆 6.设偶函数 f (x ) 满足 f ( x) = 2 x - 4( x ? 0) ,则 x f (x - 2) > 0 =

{

D.都有可能

}

{ } C. {x x < 0或x > 6}
A. x x < -2或x > 4 A.

B. x x < 0或x > 4

{ } D. {x x < -2或x > 2}

{

}

7.随机变量 x ~ B ( 2, p ),h ~ B ( 4, p ) ,若 P (x ? 1) =

5 ,则 P (h ? 2) = 9

65 16 D. 81 81 ìx ? y ? 3x 5 2 2 8.已知变量 x, y 满足约束条件 í ,则 x - 2 x + y - y + 的最小值为 4 ? y?2 2 1 5 A. B. C. 1 D. 4 8 36 n 9.对于正项数列 {a n } ,定义其调和均值为 H n = ,现知某数列的调和均值 1 1 1 + +L+ a1 a 2 an 2 为 Hn = ,则 {a n } 的通项公式为 n+2 2 2 1 2 A. a n = B. a n = C. a n = D. a n = 2n + 1 2n - 1 2n + 1 n +1 2 2 x y 10.已知椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0) 的离心率为 e ,直线 l : y = ex + a 与 x 轴, y 轴分别交于 a b AM 点 A, B ,点 M 是直线 l 与该椭圆仅有的一个公共点,则 = AB
B. C. A. 1 - e
2

32 81

11 27

B. 1 + e

C. 1 - e

D. 1 + e

2

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二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中相应的横线上.) 11.从集合 A = { ,2,3,4,5,6,7,8,9} 中,任取 5 个数,组成新的集合 B ,集合 B 中第二大的数不小 1 于 6 的概率为_________. 12.已知 f ( x) = x - 4 + x + 6 的最小值为 n ,则二项式 ( x 2 + _____项. 13. 已 知 两 个 单 位 向 量 a 和 b 的 夹 角 为 135 , 则 当 a + l b > 1 时 l 的 取 值 范 围 是 ___________. 14.函数 f ( x ) = 2a + b cos x 的值域为 [1,7 ] ,方程
o

2 x

) n 展开式中的常数项是第

x2 y2 + = 1 表示的曲线为圆锥曲线,则它 a b

的离心率为___________. 15.对于各数互不相等的正数数组 ( a1 , a 2 , a 3 , L , a n )(n 是不小于 2 的正整数),如果在 i < j 时, 有 a i < a j ,则称 a i , a j 是数组的一个顺号.一个数组中所有顺号的个数称为此数组的顺号数. 例如:数组 (6,8,7,5) 中有顺号“6,8”和“6,7”,其顺号数等于 2.若各数互不相等的正数数 组 (a1 , a 2 , a 3 , a 4 , a5 ) 的顺号数是 4,则 (a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a1 ) 的顺号数是________. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. (本小题满分 12 分) (1).已知 DABC 中, AC = 3, AB = 10 ,边 AB 上的中线 CE 的长为 7,求边 BC 的长; (2).已知 DABC 中, ?B =

2 p , b = AC = 2 ,求 DABC 面积的最大值. 3

17. (本小题满分 12 分) 新华网北京 4 月 2 日电(记者朱立毅)国家质检总局新闻发言人李元平 2 日在新闻发布会 上表示,到 3 月底,全国乳制品及婴幼儿配方乳粉企业生产许可重新审核工作已全部结束,未通 过审核和停产整改的企业一律停止生产乳制品.全国共有 643 家通过了生产许可重新审核,通 过率不到 55%.某市决定按新规定对乳制品进行全面清查,在检查中,执法人员从抽样中得知, 在某超市甲,乙,丙三种乳制品的合格率分别为 50%,90%和 80%. (1)若某消费者从甲,乙,丙三种乳制品中任意各购一件,求消费者至少购得一件合格乳制品 的概率; (2)今有三位执法人员,若每人分别从这三种乳制品中任意各取一件,求恰好有一人取到三件 都是不合格品的概率.

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18. (本小题满分 12 分) 在正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 中, E 是棱 DD1 的中点. (1)求平面 A1 BE 与平面 ABCD 所成二面角的正切值; (2)若 P 是侧面 CDD1C1 上的一动点,且 B1 P // 平面 A1 BE ,求直线 B1 P 与平面 CDD1C1 所成 角的正切值的取值范围.

19. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 数 列 {a n } 中 , a1 = 2, a 2 = 3 , 其 前 n 项 和 S n 满 足 (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)设 bn = 4n + (-1) 有 bn +1 > bn 成立.
n -1

S n +1 + S n -1 = 2 S n + 1(n ? 2, n ? N )

l × 2 an (l 为非零实数, n ? N * ) ,试确定 l 的值,使得对任意 n ? N * ,都

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20. (本小题满分 13 分) 如图,已知椭圆 C :

x2 + y 2 = 1 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,下顶点为 A ,点 P 是椭圆上任一 2

点,圆 M 是以 PF2 为直径的圆. (1)当圆 M 的面积为

p 时,求 PA 所在直线的方程; 8 (2)当圆 M 与直线 AF1 相切时,求圆 M 的方程; (3)求证: 圆 M 总内切于某个定圆

21. (本小题满分 14 分) 若在定义域内存在实数 x0 ,使得 f ( x0 + 1) = f ( x0 ) + f (1) 成立,则称函数 f (x ) 有派驻 点 x0 .

1 是否有派驻点?请说明理由; x (2)证明函数 f ( x) = 2 x + x 2 有派驻点; a (3)若函数 f ( x ) = ln 2 有派驻点,求实数 a 的取值范围. x +1
(1)问函数 f ( x ) =

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2011 年黄冈市五月调考题参考答案(理科)
一,选择题 A 卷 1﹑C 2﹑B 3﹑C 4﹑D 5﹑D 6﹑B 7﹑B 8﹑B B 卷 1﹑C 2﹑A 3﹑C 4﹑D 5﹑D 6﹑A 7﹑A 8﹑A 简解: 9﹑A 10﹑A 9﹑B 10﹑B

ì y = ex + a ì x = -c ? 2 ? ? a ? 2 b2 10 解:设 AM = l AB,由题意得A? - ,0 ÷, B (0, a ) . 由 í x , 得í y y= è e ? ?a 2 + b2 = 1 ? a ? ? a ìa 2 2 ?e - c = l e ? ? b ? a b ? ?a ? ? ,而 \ M ? - c, ÷,Q AM = l AB,\ ? - c + , ÷ = l ? , a ÷, 即í 2 ? ÷ ? ÷ a ? e a ? è e ? ? b = la è è ? a ? AM c = a 2 - b 2 ,\ l = 1 - e 2 且1 - e 2 > 0, 故 = 1 - e2 AB
二,填空题 11﹑ 14﹑

5 6
3 10 或 3 2

12﹑ 9

13﹑ 15﹑ 6

l ? (-?, 0) U ( 2, +?)

14 解: 当 b>0 时由 í 当 b<0 时,由 í 三,解答题

ì2a + b = 7 1 3 ,得 a=2,b=3,此时 e= = ; 3 3 ?2a - b = 1

ì2a + b = 1 5 10 ,得 a=2,b=-3,此时 e= = . 2 2 ?2a - b = 7

AC 2 + AE 2 - CE 2 3 2 + 5 2 - 7 2 1 = =- , 2 ACAE 2 ? 3? 5 2 2 2 2 2 2 2 AC + AB - BC 3 + 10 - BC 1 在 DABC 中, cos A = = =2 ACAB 2 ? 3 ? 10 2 \ BC = 139 ……………6 分 2 2 2 2 2 ⑵∵ b = a + c - 2ac cos B ,∴ 4 = a + c + ac , ? 2ac + ac = 3ac . 4 ∴ ac ? ,………………8 分 3 1 1 4 3 3 ∴ S DABC = ac sin B ? ? ? = .………………10 分 2 2 3 2 3 2 3 当且仅当 a = c = 时取得等号.……………………12 分 3 17 解: (1)所求的概率为 P = 1-(1-50%) · (1-90%) · (1-80%)=1-0.01= 1
16 解:⑴在 DACE 中, cos A = 0.99 …………………… (6 分) (2)P2=(1-50%)(1-90%) (1-80%)=0.01, 因为每人从三种乳制品中各取一件,三件恰好都是不合格乳制品的概率为 0.01,所以三人 分别从中各取一件, 恰好有一人取到三件都是不合格品的事件, 可看做三次独立重复试验问 题. ∴P= c3 (1 - 0.01) · 0.01 =0.027403…………………………12 分
1 2

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18 解:⑴取 CD 的中点 F ,连结 BF 并延长交 AD 的延长线于 G 点.设正方体棱长为 2a , 则 DE = DF = a , DG = 2a ,过 D 点作 DH ^ FG 于 H,有 DH = 连 EH,由三垂线定理知, EH ^ FG , 即 ?DHE 为所求二面角的平面角.其正切值为 ⑵分别取 CC1

2 5

a,

ED 5 = .……………… 6 分 DH 2 C1 D1 的中点 M﹑N 并连结 MN ,有 MN ∥ A1 B , B1 M ∥ A1 E ,从而,平 2 a ? C1 P ? a , 直线 B1 P 2
…………………… 12 分

面 B1 MN // 平面A1 BE , 由题意知:P 点在线段 MN 上移动. 又 与平面 CDD1C1 所成角的正切值为

B1C1 B1C1 , ? 2, 2 2 C1 P C1 P

[

]

19 解:(1)由已知,得(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=1(n≥2,n∈N*), 即 an+1-an=1(n≥2,n∈N*),且 a2-a1=1, ∴数列{an}是以 a1=2 为首项,公差为 1 的等差数列. ∴an=n+1. ………………………………… 5 分 (2)∵an=n+1, ∴bn=4n+(-1)n-1λ·2n+1,要使 bn+1>bn 恒成立. ∴bn+1-bn=4n+1-4n+(-1)nλ·2n+2-(-1)n-1λ·2n+1>0 恒成立, 即 3·4n-3λ·(-1)n-12n+1>0 恒成立. ∴(-1)n-1λ<2n-1 恒成立. ……………………………9 分 ①当 n 为奇数时,即 λ<2n-1 恒成立,当且仅当 n=1 时,2n-1 有最小值为 1,∴λ<1. ②当 n 为偶数时,即 λ>-2n-1 恒成立,当且仅当 n=2 时,-2n-1 有最大值-2,∴λ>-2, 即-2<λ<1.又 λ 为非零整数,则 λ=-1. 综上所述,存在 λ=-1,使得对任意 n∈N*,都有 bn+1>bn. ………………12 分 20 解:⑴易知 F1 (-1,0) , F2 (1,0) , A(0,-1) 则 PF2 = ( x1 - 1) + y1 = ( x1 - 1) + 1 2 2 2 2 2 1

设点 P ( x1 , y1 ) ,

x 1 = ( x1 - 2) 2 , 2 2

p p p 2 2 ,所以 = ( x1 - 2) 解得 x1 = 1 \ P(1,± ) 8 8 8 2 2 2 故 PA 所在直线的方程为 y = (1 + ) x - 1 或 y = (1 )x -1 …………… 4 分 2 2 x + 1 y1 ⑵直线 AF1 的方程为 x + y + 1 = 0 ,且 M ( 1 , ) 到直线 AF1 的距离为: 2 2 x1 + 1 y1 + +1 2 2 2 2 = x1 化简得 y1 = -1 - 2 x1 2 4 2 ì y1 = -1 - 2 x1 8 ? 联立方程组 í x12 解得 x1 = 0 或 x1 = 2 9 ? 2 + y1 = 1 ? 1 1 1 2 1 2 1 当 x1 = 0 时, 可得 M ( ,- ) , \ ⊙ M 的方程为 ( x - ) + ( y + ) = 2 2 2 2 2 8 1 7 当 x1 = - 时,可得 M ( , ) , 9 18 18
又⊙ M 的面积为
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1 2 7 169 ) + ( y - )2 = ;………………9 分 18 18 162 ⑶⊙ M 始终和以原点为圆心,半径为 r1 = 2 (长半轴)的圆(记作⊙ O )相切.
\ ⊙ M 的方程为 ( x 证明: OM =

( x1 + 1) 2 y12 + = 4 4

( x1 + 1) 2 1 x1 2 2 + = + x1 , 4 4 8 2 4
2

又⊙ M 的半径 r2 = MF2 =

\

2 2 x1 , 2 4 OM = r1 - r2 ,即⊙ M 与⊙ O 相切.

…………………13 分

(3)法二

PF1 + PF2 = 2a ,∴ OM + MF2 = a = 2 ,∴ OM = 2 - MF2

∴⊙ M 总与以原点为圆心以椭圆半长轴为半径的圆相内切

1 1 1 2 有派驻点 x0 ,则 = + 1 ,即 x0 + x0 + 1 = 0 ,而此 x x0 + 1 x0 1 方程无实根,矛盾.所以函数 f ( x ) = 没有派驻点. ………………… 4 分 x ⑵ 令 h( x) = f ( x + 1) - f ( x) - f (1) = 2 x +1 + ( x + 1) 2 - 2 x - x 2 - 2 - 1 = 2( 2 x -1 + x - 1) , 又 h(0) = -1 , h(1) = 2 , \ h(0) × h(1) < 0 ,所以 h( x ) = 0 在 (0,1) 上至少有一个实根 x0 ,
21 解:⑴假设函数 f ( x ) = 即函数 f ( x) = 2 x + x 2 有派驻点 x0 . ⑶若函数 f ( x ) = ln
2

……………………………… 9 分

a 有派驻点 x0 , x +1 a a a a a a 即有: ln = ln 2 + ln 成立.\ = 2 × 2 2 2 ( x0 + 1) + 1 x0 + 1 ( x0 + 1) + 1 x0 + 1 2
又a > 0

\a =

2 2( x 0 + 1) 2 x0 + 2 x0 + 2

2( x 2 + 1) 4( x 2 + x - 1) -1± 5 ?( x) = 2 设 g ( x) = 2 ,则由 g = 0得x = ,列表: 2 2 x + 2x + 2 ( x + 2 x + 2) x (- ?, x1 ) x1 ( x1 , x 2 ) x 2 ( x 2 ,+ ?) + 0 0 + — g ?(x)
又极大值为 y = g (

-1- 5 -1+ 5 ) = 3 + 5 ;极小值为 y = g ( ) = 3- 5 ; 2 2
y=2 14 分

2( x 2 + 1) lim 2 = 2 ,所以 g (x) 的值域为 [3 - 5,3 + 5] , n ?? x + 2 x + 2
即 a 的范围是 [3 - 5,3 + 5] . ……………………………

命题人 审稿人

黄梅一中 王卫华 方耀光 黄冈教科院 丁明忠 黄冈中学 张智 程继承

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