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高中数学必修二

时间:2018-06-30


高中数学必修 2 第一章 立体几何初步 立体几何初步
'

特殊几何体表面积公式( 为底面周长, 为高, 为斜高, 为母线) 特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h 为斜高,l 为母线)

S 直棱柱侧面积 = ch
S 正棱锥侧面积 =
S正棱台侧面积 =

1 ch' 2

S 圆柱侧 = 2πrh

1 (c1 + c2 )h' 2

S圆柱表 = 2πr (r + l )
S圆台表 = π r 2 + rl + Rl + R 2

S圆锥侧面积 = πrl S圆锥表 = πr (r + l )
S圆台侧面积 = ( r + R )πl

(

)

柱体、锥体、 柱体、锥体、台体的体积公式

V柱 = Sh
1 V锥 = Sh 3

1 V台 = ( S ' + S ' S + S )h 3

V圆柱 = Sh = π r 2 h
1 V圆锥 = πr 2 h 3

1 1 V圆台 = ( S ' + S ' S + S )h = π (r 2 + rR + R 2 )h 3 3
(4)球体的表面积和体积公式:V 球 = 4 π R 3 ; S 球面 = 4π R 球体的表面积和体积公式:
3
2

第二章 直线与平面的位置关系 空间点、直线、 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 1 平面含义:平面是无限延展的 2 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 符号表示为 A∈L A B∈L => L α α · L A∈α B∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内. 判断直线是否在平面内. 判断直线是否在平面内 (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 A B α· C · 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α, · 使 A∈α、B∈α、C∈α。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 确定一个平面的依据。 确定一个平面的依据 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共 β α
P

·

L

直线。 符号表示为:P∈α∩β =>α∩β=L,且 P∈L 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据. 判定两个平面是否相交的依据. 判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 相交 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点; 平行 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 异面 2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b =>a∥c c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 判断空间两条直线平行的依据。 判断空间两条直线平行的依据 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 4 注意点: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为了简便,点 O 一般取在两直线中的一条上; π ② 两条异面直线所成的角θ∈(0, ); 2 ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 空间中直线与平面、 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α来表示

a α a∩α=A a∥α .2.直线 直线、 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与 此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 线线平行, 线线平行 则线面平行。 符号表示: a α

b β => a∥α a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面 平行。 符号表示: a β b β a∩b = P a∥α b∥α

β∥α

2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 直线与平面、 2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此 平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 线面平行则线线平行。 线面平行则线线平行 符号表示: a ∥α a β a∥b α∩β= b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、两个平面平行的性质定理:如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们的交 线平行。 符号表示: α∥β α∩γ= a a∥b β∩γ= b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义:如果直线 L 与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面α互相垂 : 直,记作 L⊥α,直线 L 叫做平面α的垂线,平面α叫做直线 L 的垂面。如图,直线与平面 垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 P a L

2、直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线 与此平面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l β B α 2、二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。

直线与平面、 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2、两个平面垂直的性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个 平面垂直。 第三章 直线与方程 (1)直线的倾斜角 正向与直线向上方向 向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行 定义:x 轴正向 正向 向上方向 或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α<180° °≤α 180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常 倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。 用 k 表示。即 k = tan α 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当 α ∈ 0 ,90 时, k ≥ 0 ; 在。 ②过两点的直线的斜率公式 k = 过两点的直线的斜率公式: 过两点的直线的斜率公式

[

)

当 α ∈ 90 ,180

(

) 时, k < 0 ;

当 α = 90 时, k 不存

y 2 ? y1 ( x1 ≠ x 2 ) x 2 ? x1

( P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2)

注意下面四点:(1)当 x1 = x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关; (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 点斜式: ① 点斜式: y ? y1 = k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ( x1, y1) 注意: 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l

上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。

斜截式: ② 斜截式: y = kx + b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b

两点式: ③ 两点式:

y ? y1 x ? x1 ( x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 )直线两点 ( x1, y1) , ( x2 , y2 ) = y2 ? y1 x2 ? x1

x y ④ 截矩式: + = 1 其中直线 l 与 x 轴交于点 (a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴 截矩式: a b 的截距 截距分别为 a, b 。 截距

一般式: ⑤ 一般式: Ax +

By + C = 0 (A,B 不全为 0)

2 注意: 1 ○特殊的方程如: 注意:○各式的适用范围 平行于 x 轴的直线: y = b (b 为常数); 平行于 y 轴的直线: x = a (a 为常数); (6)两直线平行与垂直 当 l1 : y = k1 x + b1 , l 2 : y = k 2 x + b2 时,

l1 // l 2 ? k1 = k 2 , b1 ≠ b2 ; l1 ⊥ l 2 ? k1 k 2 = ?1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。

(7)两条直线的交点

l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 l 2 : A2 x + B2 y + C 2 = 0 相交
A x + B1 y + C1 = 0 交点坐标即方程组 ? 1 的一组解。 ? ? A2 x + B2 y + C 2 = 0

方程组无解 ? l1 // l 2 ; 则 | AB |= ( x2 ? x1 ) 2 + ( y2 ? y1 ) 2

方程组有无数解 ?

l1 与 l 2 重合

两点间距离公式: B 是平面直角坐标系中的两个点, (8) 两点间距离公式 :设 A( x1 , y1 ),(x2 , y2)

点到直线距离公式: 一点 P ( x0 , y 0 ) 到直线 l1 : Ax + By + C = 0 的距离 d = Ax0 + By 0 + C ( 9) 点到直线距离公式 : 2 2
A +B

(10)两平行直线距离公式 10) 两平行直线距离公式 已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax + By + C1 = 0 ,

l 2 : Ax + By + C 2 = 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d =

C1 ? C 2 A2 + B 2

第四章 圆与方程 1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的 圆的定义: 半径。 2、圆的方程
2 2 2

(1) 标准方程 ( x ? a ) + ( y ? b ) = r ,圆心
2 2 2

(a, b ) ,半径为 r;

点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a ) + ( y ? b) = r 的位置关系:
2 当 ( x0 ? a ) + ( y0 ? b) > r ,点在圆外 2 2

当 ( x0 ? a ) + ( y0 ? b) = r 2 ,点在圆上
2 2

当 ( x0 ? a ) + ( y0 ? b) < r 2 ,点在圆内
2 2

2 2 (2) 一般方程 x + y + Dx + Ey + F = 0

2 2 方程表示圆, 当 D + E ? 4 F > 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? ? D ,? E ? ,半径为 r = 1 D 2 + E 2 ? 4 F ? ?

?

2

2?

2

当D

+ E ? 4 F = 0 时,表示一个点; 表示一个点; 2 方程不表示任何图形。 当 D + E ? 4 F < 0 时,方程不表示任何图形。
2 2 2

(3)求圆方程的方法: 求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法: 先设后求。 确定一个圆需要三个独立条件, 若利用圆的标准方程, 一般都采用待定系数法: 先设后求。 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况: 相离,相切,相交 相离 (1)设直线 l : Ax + By + C = 0 ,圆 C : ( x ? a )2 + ( y ? b )2 = r 2 ,圆心 C (a, b ) 到 l 的距离 为 d = Aa + Bb + C , 则有 d > r ? l与C相离 ; = r ? l与C 相切 ; < r ? l与C相交 d d 2 2
A +B

(2)过圆外一点的切线 过圆外一点的切线:①k 不存在,验证是否成立②k 存在,设点斜式方程,用圆心到该 过圆外一点的切线 直线距离=半径,求解 k,得到方程【一定两解】 2 2 2 (3)过圆上一点的切线 过圆上一点的切线方程:圆(x-a) +(y-b) =r ,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方 过圆上一点的切线 2 程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 圆与圆的位置关系: 设圆 C1 : (x ? a1 )2 + ( y ? b1 )2 = r 2 , C 2 : ( x ? a 2 )2 + ( y ? b 2 )2 = R 2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 时两圆外离,此时有公切线四条; 当 d > R + r 时两圆外离,此时有公切线四条; 当d

= R + r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;

时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 R ? r < d < R + r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d = R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 两圆内含; 当 d < R ? r 时,两圆内含; 当d

= 0 时,为同心圆。 为同心圆。

注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点


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