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《双曲线的简单几何性质》教学设计

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2.2.2 ◆ 知识与技能目标 双曲线的简单几何性质 了解平面解析几何研究的主要问题: (1)根据条件,求出表示曲 线的方程; (2)通过方程,研究曲线的性质.理解双曲线的范围、对 称性及对称轴,对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念;掌握双曲 线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题;通过例题和探究了 解双曲线的第二定义,准线及焦半径的概念,利用信息技术进一步见 识圆锥曲线的统一定义. ◆ 过程与方法目标 (1)复习与引入过程 引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法,在本节课中 不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论, 研究双曲线的几何性质 的理解和应用,而且还注意对这种研究方法的进一步地培养.①由双 曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围; ②由方程的 性质得到双曲线的对称性;③由圆锥曲线顶点的统一定义,容易得出 双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念;④应用信息技术的《几何 画板》探究双曲线的渐近线问题;⑤类比椭圆通过 P56 的思考问题,探 究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§2.2.2 双曲线的 简单几何性质. (2)新课讲授过程 (i)通过复习和预习,对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲 线的几何性质. 1 提问:研究双曲线的几何特征有什么意义?从哪些方面来研 究? 通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论,可以从整体上 把握曲线的形状、大小和位置.要从范围、对称性、顶点、渐近线及 其他特征性质来研究曲线的几何性质. (ii)双曲线的简单几何性质 ①范围:由双曲线的标准方程得, y 2 x2 ? ? 1 ? 0 ,进一步得: b2 a 2 x ? ? a ,或 x ? a .这说明双曲线在不等式 x ? ? a ,或 x ? a 所表示的区 域; ②对称性:由以 ?x 代 x ,以 ? y 代 y 和 ?x 代 x ,且以 ? y 代 y 这三 个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有, 从而得到双曲线是以 x 轴和 y 轴为对称轴,原点为对称中心; ③顶点:圆锥曲线的顶点的统一定义,即圆锥曲线的对称轴与 圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点.因此双曲线有两个顶点,由于 双曲线的对称轴有实虚之分,焦点所在的对称轴叫做实轴,焦点不在 的对称轴叫做虚轴; ④渐近线:直线 y ? ? x 叫做双曲线 b a x2 y 2 ? ? 1 的渐近线; a 2 b2 c a ⑤离心率: 双曲线的焦距与实轴长的比 e ? 叫做双曲线的离 心率( e ? 1 ) . ⑥学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表 2 (iii)例题讲解与引申、扩展 例 1 求双曲线 9 y 2 ? 16x2 ? 144 的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐 标、离心率、渐近线方程. 分析:由双曲线的方程化为标准方程,容易求出 a, b, c .引导学生 用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可 求相关量或式子,但要注意焦点在 y 轴上的渐近线是 y ? ? x . 引申、扩展: ① 已知双曲线的中心在原点,焦点在 y 轴上,焦距为 16,离心 率为 ,求双曲线的标准方程。 4 3 a b ②求与双曲线 x2 y 2 ? ? 1 共渐近线,且经过 A 2 3, ?3 点的双曲 16 9 ? ? 3 线的标准方及离心率. 解法剖析:双曲线 3 x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? x .①焦点 4 16 9 在 x 轴上时,设所求的双曲线为 1 4 x2 y2 ? ? 1 ,∵ A 2 3, ? 3 点在双曲 16k 2 9k 2 ? ? 线上,∴ k 2 ? ? ,无解;②焦点在 y 轴上时,设所求的双曲线为 ? 1 x2 y2 ? ? 1 ,∵ A 2 3, ?3 点在双曲线上,∴ k 2 ? ,因此,所求双 2 2 4 16k 9k ? ? 曲线的标准方程为 y2 x2 5 ? ? 1 ,离心率 e ? .这个要进行分类讨论, 9 3 4 4 但只有一种情形有解,事实上,可直接设所求的双曲线的方程为 x2 y 2 ? ? m ? m ? R, m ? 0 ? . 16 9 例 2 双曲线型冷却塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转 所成的曲面如图(1) ,它的最小半径为 12m ,上口半径为 13m ,下口 半径为 25m , 高为 55m . 试选择适当的坐标系, 求出双曲线的方程 (各 长度量精确到1m ) . 4 解法剖析:建立适当的直角坐标系,设双曲线的标准方程为 x2 y 2 ? ? 1 ,算出 a, b, c 的值;此题应注意两点:①注意建立直角坐标 a 2 b2 系的两个原则;②关于 a, b, c 的近似值,原则上在没有注意精确度时, 看题中其他量给定的有效数字来决定. 引申:如图所示,在 P 处堆放着刚购买的草皮,现要把 这些草皮沿着道路 PA 或 PB 送到呈矩形的足球场 ABCD 中去铺 垫,已知 AP ? 150m , BP ? 100m , BC ? 60m , ?APB ? 60? .能 否在足球场上画一条“等距离”线,在“等距离”线的两侧 的区域应该选择怎样的线路?说明理由. 解题剖析:设 M 为“等距离”线上任意一点,则 ,∴“等距 PA ? AM ? PB ? BM ,即 BM ? AM ? AP ? BP ? 50(定值) 离”线是以 A 、B 为焦点的双曲线的左支上的一部分,容易“等距离” 线方程为 x2 y2 ? ? 1? ?35 ? x ? ?25, 0 ? y ? 60 ? .理由略. 625 3750 16 的 5 例 5 如图,设 M ? x, y ? 与定点 F ?5,0? 的距离和它到直线 l : x ? 距离的比是常数 ,求点 M 的轨迹方程. 分析: 若设点 M ? x, y ? , 则M F ? x? ? 5? ?y 2 2 5 4 x? , 到直线 l :

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