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2018-2019学年高中数学必修二人教A版检测:第二章2.3-2.3.1直线与平面垂直的判定 Word版含答案

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第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 直线与平面垂直的判定

2.3.1

A级 一、选择题 1.下列说法中正确的个数是( )

基础巩固

①如果直线 l 与平面 α 内的两条相交直线都垂直,则 l⊥α ; ②如果直线 l 与平面 α 内的任意一条直线垂直,则 l⊥α ; ③如果直线 l 不垂直于 α ,则 α 内没有与 l 垂直的直线; ④如果直线 l 不垂直于 α ,则 α 内也可以有无数条直线与 l 垂直. A.0 B. 1 C.2 D.3

解析:由直线和平面垂直的定理知①正确;由直线与平面垂直的定义知,②正确;当 l 与 α 不垂直时,l 可能与 α 内的无数条直线垂直,故③错误,④正确. 答案:D 2.直线 l⊥平面 α ,直线 m? α ,则 l 与 m 不可能( A.平行 C.异面 B.相交 D.垂直 )

解析:若 l∥m,l?α ,m? α ,则 l∥α ,这与已知 l⊥α 矛盾.所以直线 l 与 m 不可能平 行. 答案:A 3.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,能保证该直线与平面垂直的是( ①三角形的两边 ②梯形的两边 ③圆的两条直径 )

④正六边形的两条边 A.①③ C.②④ B.② D.①②③

解析:由线面垂直的判定定理可知①③是正确的,而②中线面可能平行、相交.④中由于正 六边形的两边不一定相交,所以也无法判定线面垂直. 答案:A 4.如图所示,如果 MC⊥菱形 ABCD 所在平面,那么 MA 与 BD 的位置关系是( )

-1-

A.平行 B.垂直相交 C.垂直但不相交 D.相交但不垂直 解析:因为四边形 ABCD 是菱形,所以 BD⊥AC.又 MC⊥平面 ABCD,则 BD⊥MC.因为 AC∩MC=

C,所以 BD⊥平面 AMC.又 MA? 平面 AMC,所以 MA⊥BD.显然直线 MA 与直线 BD 不共面,因此直线 MA 与 BD 的位置关系是垂直但不相交.
答案:C 5.如图所示,PA⊥平面 ABC,△ABC 中 BC⊥AC,则图中直角三角形的个数是( )

A.1 C.3

B.2 D.4

解析:

PA⊥平面ABC? ?

?? ? BC? 平面ABC?

? ? ?? PA∩AC=A ? ?
PA⊥BC AC⊥BC

BC⊥平面 PAC? BC⊥PC,
所以直角三角形有△PAB,△PAC,△ABC,△PBC. 答案:D 二、填空题 6.已知△ABC 所在平面外一点 P 到△ABC 三顶点的距离都相等,则点 P 在平面 ABC 内的射影 是△ABC 的____________________ (填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”). 解析:P 到△ABC 三顶点的距离都相等,则点 P 在平面 ABC 内的射影到△ABC 三顶点的距离 都相等,所以是外心. 答案:外心 7.已知正三棱锥 S?ABC 的所有棱长都相等,则 SA 与平面 ABC 所成角的余弦值为________. 解析:因为 S?ABC 为正三棱锥,所以设点 S 在底面 ABC 上的射影为△ABC 的中心 O,连接 SO,

AO,如图所示,则∠SAO 为 SA 与底面 ABC 所成的角,设三棱锥的棱长为 a,在 Rt△SOA 中,AO
2 3 = ·asin 60°= a,SA=a, 3 3

-2-

所以 cos∠SAO= 答案: 3 3

AO 3 = . SA 3

8.如图所示,平面 α ∩β =CD,EA⊥α ,垂足为 A,EB⊥β ,垂足为 B,则 CD 与 AB 的位 置关系是________.

解析:因为 EA⊥α ,CD? α , 根据直线和平面垂直的定义,则有 CD⊥EA. 同样,因为 EB⊥β ,CD? β ,则有 EB⊥CD. 又 EA∩EB=E, 所以 CD⊥平面 AEB. 又因为 AB? 平面 AEB,所以 CD⊥AB. 答案:CD⊥AB 三、解答题 9.如图所示,在正四面体 ABCD 中,E 是棱 AD 的中点,求直线 CE 与底面 BCD 所成的角的正 弦值.

解:设正四面体 ABCD 的棱长为 1,如图,作 AO⊥平面 BCD,垂足为 O,则 O 是△BCD 的中心, 2 3 3 故 OD= × = . 3 2 3

取 OD 的中点 G,连接 EG, 因为 EG∩OD=G,则 EG⊥平面 BCD.连接 CG,于是∠ECG 就是直线 CE 与底面 BCD 所成的角.
-3-

1 1 1 2 2 因为 EG= AO= AD -DO = × 2 2 2 6 6 EG 2 所以 sin∠ECG= = = . EC 3 3 2

1 -?
2

6 3 ? 3?2 ? = 6 ,又 CE= 2 , 3 ? ?

所以直线 CE 与底面 BCD 所成的角的正弦值为

2 . 3

10.如图所示,四边形 ABCD 为矩形,AD⊥平面 ABE,F 为 CE 上的点,且 BE⊥平面 ACE.求证:

AE⊥BE.

证明:因为 AD⊥平面 ABE,AD∥BC, 所以 BC⊥平面 ABE. 又 AE? 平面 ABE,所以 AE⊥BC. 因为 BF⊥平面 ACE,AE? 平面 ACE,所以 AE⊥BF. 又因为 BF? 平面 BCE,BC? 平面 BCE,BF∩BC=B, 所以 AE⊥平面 BCE. 又 BE? 平面 BCE,所以 AE⊥BE. B级 能力提升 )

1.已知直线 m,n 是异面直线,则过直线 n 且与直线 m 垂直的平面( A.有且只有一个 C.有一个或无数个 B.至多一个 D.不存在

解析:若异面直线 m,n 垂直,则符合要求的平面有一个,否则不存在. 答案:B 2.在三棱柱 ABC?A1B1C1 中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的中点,则

AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是________.
解析:如图所示,取 BC 的中点 E,连接 DE,AE,则 AE⊥面 BB1C1C.

所以 AE⊥DE,因此 AD 与平面 BB1C1C 所成角即为∠ADE,
-4-

设 AB=a,则 AE=

3 a a,DE= , 2 2

有 tan∠ADE= 3,所以∠ADE=60°. 答案:60° 3.(2016·全国卷Ⅱ改编)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,AB=5,AC=6,点

E,F 分别在 AD,CD 上,AE=CF= ,EF 交 BD 于点 H.将△DEF 沿 EF 折到△D′EF 的位置, OD′= 10.
证明:D′H⊥平面 ABCD.

5 4

证明:由已知得 AC⊥BD,AD= CD, 又由 AE=CF,得

AE CF = ,故 AC∥EF. AD CD

因为 EF⊥HD,从而 EF⊥D′H. 由 AB=5,AC=6 得 DO=BO= AB -AO =4. 由 EF∥AC 得
2 2

OH AE 1 = = , DO AD 4

所以 OH=1,D′H=DH=3, 于是 D′H +OH =3 +1 =10=D′O ,故 D′H⊥OH. 又 D′H⊥EF,而 OH∩EF=H,所以 D′H⊥平面 ABCD.
2 2 2 2 2

-5-


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