2016届高三七校第二次联考文科数学试题及答案

七校联合体 2016 届高三第二次联考试卷 文科数学
命题学校：普宁市第二中学 命题人：方灿辉 审题人：陈楚红 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1．答卷前,考生务必填写答题卷上的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3． 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内； 如需改动, 先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1．复数 z ? (2 ? 3i)i 的实部是（ A．2 B． ? 2 ） C．3 D． ? 3 ） D. 第四象限 ）

2．已知点 P (cos ? , tan ? ) 在第二象限，则角 ? 的终边在（ A. 第一象限
2

B. 第二象限

C. 第三象限

3．设曲线 y ? ax 在点（1， a ）处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行，则 a ? （ A．1 B．

1 2

C． ?

1 2

D． ?1 ）

2 1
正视图

4．某几何体的三视图如右图所示，则其体积为（ A．

1

1

2? 3

B.

? 3

C． ?

D．

? 5

侧视图

俯视图

5．设等比数列 {an } 的前n项和为Sn ,已知a1 ? 2011, 且an ? 2an?1 ? an?2 ? 0 (n ? N * ) ，则 S 2015 ?（ A．0 B．1 C．-2011 D．2011 6．已知向量 a ? (2,1), a ? b ? 10,| a ? b |? 5 2, 则 | b | =（ A． 5 B． 10 C．5 D．25

）

?

? ?

? ?

?

）

7．下列说法不正确的是（ ） A．若“ p 且 q ”为假，则 p 、 q 至少有一个是假命题 B．命题“ ? x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“ ? x∈R，x2﹣x﹣1≥0” C． “φ= ”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件

D．a＜0 时，幂函数 y=xa 在（0，+∞）上单调递减 8. 已 知 函 数 f ( x) ? 2 0 a 1s 4i x n? 2 0 bx 1 35? 2 0 1， 6 记 f ( x) 的 导 函 数 为 f ' ( x) ， 则

f (2 0 ) 1? 5 f (?2 0 ) 1? 5 f ' (2 0 ) 1? 6 f ' (?2 0 ) 1?6 （
A. 4030 B. 4028 C. 4032

） D. 0

七校联合体 2016 届高三第二次联考文科数学试卷，共 9 页，第 1 页

9．若以连续两次骰子分别得到的点数 m,n 作为点 P 的横、纵坐标，则点 P 在直线 x+y=5 左下方的概率为 （ ）

1 1 D. 12 9 2 2 2 2 x y x y 10．已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a＞b＞0)，双曲线 2 ? 2 ? 1 (a＞b＞0)和抛物线 y 2 ? 2 px (p＞0)的离心 a b a b
A. B. C. 率分别为 e1，e2，e3，则（ ） A． e1e2 ? e3 B． e1e2 ? e3 C． e1e2 ? e3 D． e1e2 ? e3

1 6

1 4

11．图 1 是某小区 100 户居民月用电等级的条形图，记月用电量为一级的用户数为 A1，月用电量为二级的 用户数为 A2，??，以此类推，用电量为六级的用户数为 A6，图 2 是统计图 1 中居民月用电量在一定级别 范围内的用户数的一个算法流程图．根据图 1 提供的信息，则图 2 中输出的 S 值为（ ） A．82 B．70 C．48 D．30 开始

频率
输入

A 1, A 2 ,..., A 5, A 6
S ?0 k ?2

0.30 0.22 0.18 0.12 0.06

k ? k ?1
k ? 5?
月用电量等级 一级 二级 三级 四级 五级 六级 图1
否 输出S 图2 结束 是

S ? S ? Ak

0

12. 若 直 线 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) 与 函 数 y ? sin x 的 图 象 恰 有 六 个 公 共 点 A( x1 , y1 ) ，

B( x2 , y2 ) , C( x3 , y3 ) ， D( x4 , y 4 ) ， E( x5 , y5 ) ， F ( x6 , y6 ) 其中
x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? x6 ，则有（
A． sin x6 ? 1 C. ）

B． sin x6 ? ( x6 ? 1) cos x6 D.

sin x6 ? k cos x6

sin x6 ? ( x6 ? 1) tan x6

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．已知函数 f(x)＝ x＋6，则 f(f(9))＝________. 14．已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? 3 ， a3 ? a4 ? 12 ．则数列 ?an ? 的通项公式 an ? ________. 15．某商场为了了解毛衣的月销售量 y （件）与月平均气温 x （℃）之间的关系，随机统 计了某 4 个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表： 月平均气温 x（℃） 17 13 8 月销售量 y（件） 24 33 40 2 55

? ? ?2 ，气象部门预测下个月的平均气温约为 7℃，据此估 ?x ? a ? ?b ? 中的 b 由表中数据算出线性回归方程 y
计该商场下个月毛衣销售量约为________件． 16．若函数 f ? x ? =2x2-lnx 在其定义域内的一个子区间(k-1，k+1)内不是单调函数， 则实数 k 的取值范围 是________.
七校联合体 2016 届高三第二次联考文科数学试卷，共 9 页，第 2 页

三、 解答题 （本大题共 8 小题， 考生作答 6 小题， 共 70 分． 解答须写出文字说明、 证明过程或演算步骤） . 17． （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) ? 2 sin x( 3 cos x ? sin x) ? 1, x ? R ． （1）求 f ? x ? 的最小正周期及单调递增区间； （8 分） （2）若 x ? ? ?

? ? ?? ，求 f ? x ? 的最大值和最小值． （4 分） , ? 6 3? ?

18． （本小题满分 12 分） 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示： 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 南方学生 60 20 80 北方学生 10 10 20 合计 70 30 100 (1)根据表中数据，问是否有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”； （5 分） (2)已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生，其中 2 名喜欢甜品，现在从这 5 名学生中随机抽取 2 人，求至少有 1 人喜欢甜品的概率． （7 分） 附：χ2＝ n（ad－bc）2 ， （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
2

P(χ ≥k) k

0.100 2.706

0.050 3.841

0.010 6.635

19． （本小题满分 12 分） 已知平行四边形 ABCD 中， AB ? 4 ， E 为 AB 的中点，且 ?ADE 是等边三角形，沿 DE 把 ?ADE 折起 至A ? 4． 1 1DE 的位置，使得 AC

BF // 平面 A1DE ； （1） F 是线段 AC （4 分） 1 的中点，求证：
（2）求证： A1D ? CE ； （4 分）

BCDE 的距离． （3）求点 A （4 分） 1 到平面
A1 F D C D C

A

E

B

E

B

七校联合体 2016 届高三第二次联考文科数学试卷，共 9 页，第 3 页

20． （本小题满分 12 分） 已知椭圆 E 的两个焦点分别为 F1 (?1, 0) 和 F2 (1, 0) ，离心率 e ? （1）求椭圆 E 的方程；（4 分） （2）设直线 l : y ? x ? m(m ? 0) 与椭圆 E 交于 A、B 两点，线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 T，当 m 变 化时，求△TAB 面积的最大值. （8 分）

2 . 2

21． （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x ． （1）当 a ? 1 时，求曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程； （4 分） （2）求 f ( x) 的单调区间； （4 分） （3）若函数 f ( x) 没有零点，求实数 a 的取值范围． （4 分）

请考生在第 22，23，24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时把小题后相应的矩 形涂黑. 22． （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，⊙O 和⊙ O 相交于 A，B 两点，过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C，D 两点，连接 DB 并延长交⊙O 于点 E. (1) 证明： AC ? BD ? AD ? AB ； （5 分） (2) 若 AD=4, AC ? 2 AB ,求 DE. （5 分）
/

23． （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知圆 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 5 cos? ? y ? 3 ? 5 sin ?

(?为参数) ， 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐

标系，直线 C2 的极坐标方程为 2 ? cos( ? ?

?
3

) ? 23

(1)把圆 C1 , C 2 的方程化为普通方程； （5 分） (2) 求圆 C1 上的点到直线 C 2 的距离的最大值． （5 分） 2 4．(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲 设 a ? R ， f ? x ? ? x ? a ? ?1 ? a ? x ， （1）解关于 a 的不等式 f ? 2? ? 0 ； （4 分） （2）如果 f ? x ? ? 0 恒成立，求实数 a 的取值范围． （6 分）

七校联合体 2016 届高三第二次联考文科数学试卷，共 9 页，第 4 页

七校联合体 2016 届高三第二次联考测试题答案 DCABD
13. 9

CCCAC

AB
15.44 16. [1, )

14. 2n-1

3 2

三、解答题：
17．解： （1） f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 sin 2 x ? 1 ? 3 sin 2x ? cos2x

? 3 ? 1 ?? ? ? 2? sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin 2 x ? ? ? ? ????3 分 ? 2 ? 2 6 ? ? ? ?

f ? x ? 的最小正周期 T ?
由 2k? ?

?

2 6 2 2? ? ? 2 x ? 2k? ? 得 2k? ? 3 3

? 2x ?

?

2? ? ? ???.5 分 2

? 2k? ?

?

，

? k? ?

?

3

? x ? k? ?

?

6

,k ? Z

? 函数 f ( x) 的单调递增区间为[ k? ?
（2）由 ? 所以 ?

?
3

, k? ? ?

?
6

] ， k ? Z ????8 分

?
6

?x?

?
3

，得 ?

?
6

? 2x ?

?

6

5? ，???9 分 6

?? 1 ?? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 ， ?1 ? 2sin ? 2 x ? ? ? 2 6? 2 6? ? ?

函数 f ? x ? 的最小值为 ?1 ，最大值为 2 ?????12 分 18.解：(1)将 2×2 列联表中的数据代入公式计算，得 n（ad－bc）2 χ 2＝ （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d） 100×（60×10－20×10）2 100 ＝ ＝ 21 ≈4.762????3 分 70×30×80×20 由于 4.762 ＞ 3.841 ，所以有 95% 的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差 异” ????5 分 (2)记 5 名学生为 a1，a2，b1，b2，b3,， 从 5 名数学系学生中任取 2 人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω ＝{(a1，a2)，(a1，b1) ，(a1，b2)， (a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2) ，(a2，b3,)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)}， 其中 ai 表示喜欢甜品的学生，i＝1，2，bj 表示不喜欢甜品的学生，j＝1，2，3. Ω 由 10 个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的????8 分 用 A 表示“2 人中至少有 1 人喜欢甜品”这一事件，则 A＝{(a1，a2)，(a1，b1) ，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2， b1)，(a2，b2) ，(a2，b3,)}．事件 A 由 7 个基本事件组成????10 分 7 因而 P(A)＝10????12 分

七校联合体 2016 届高三第二次联考文科数学试卷，共 9 页，第 5 页

19．证明： （1）取 A1D 的中点 G ，连 EG 、 FG ，

FG // CD ，且 FG ? 因为 F 为 AC 1 中点，故

1 CD ， 2

1 CD ， 2 四边形 BFGE 为平行四边形， BF // EG ，
又 BE // CD ，且 BE ?

BF ? 平面 A1DE ，故 BF // 平面 A1DE ；????4 分 又 EG ? 平面 A 1DE ，
（2）折叠前， ?AED ? 60 ， ?CEB ? ?ECB ? 30 ，即 ?CED ? 90
? ? ?

在四棱锥 A 1 ? BCDE 中，即有 CE ? DE ，
? 在 ?BCE 中， BC ? BE ? 2 ， ?B ? 120 ，由余弦定理得 CE ? 2 3 ，

又A ? 4 ，由勾股定理的逆定理，得 ?CEA1 ? 90? ， CE ? A1E ， 1E ? 2, AC 1 又 DE ? A1E ? E ，从而 CE ? 平面 A 1DE ，

A1D ? 平面 A1DE ，得 A1D ? CE ????8 分
（也可连 CG ，证 A1D ? 平面 CEG ） （3）由（2）知， CE ? 平面 A 1DE ，

BCDE 的距离为 h ，则由 VA1 ?CDE ? VC ? A1DE ， 设点 A 1 到平面
得

1 1 1 1 1 1 S ?CDE ? h ? S ?A1DE ? CE ， ? ? DE ? CE ? h ? ? ? A1 D ? EG ? CE ， 3 3 3 2 3 2

解得 h ? 3 …………12 分 （也可取 DE 中点 H ，连 A1H 、 CH ，证面 A1DE ? 面 BCDE ， A1H 就是所求的距离）

?c ? 1 ?a ? 2 ? ? 2 ?c 20.解： （1）根据题意得 ? ? 解得 ?b ? 1 ????2 分 2 ?c ? 1 ?a 2 ? ?a ? b 2 ? c 2 ?
? 所求椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 ????4 分 2

（2）设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

? x2 2 ? ? y ?1 联立方程组 ? 2 ?y ? x ? m ?
七校联合体 2016 届高三第二次联考文科数学试卷，共 9 页，第 6 页

化简得： 3 x 2 ? 4mx ? 2m 2 ? 2 ? 0 ????5 分

? 直线与椭圆有两个不同的交点

?? ? (4m) 2 ? 12(2m 2 ? 2) ? 0
即 ? 3 ? m ? 3 且 m ? 0 ????6 分 由根与系数的关系得 x1 ? x 2 ? ?

4m 2m 2 ? 2 , x1 x 2 ? 3 3
x1 ? x2 2m m ?? , y C ? xC ? m ? 2 3 3

设 A、B 中点为 C，C 点横坐标 xC ?

? 线段 AB 垂直平分线方程为 y ? ? T 点坐标为 (?

m 2m ? ?( x ? ) ????7 分 3 3

m , 0) 3

2 m 3 T 到 AB 的距离 d ? ????8 分 2
由弦长公式得

AB ? 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

2 24 ? 8m 2 ????9 分 3

? S ?TABC

2 m 1 3 2 ? ? ? ? 24 ? 8m 2 2 3 2

?

1 96 2 32 4 m ? m 6 9 9 2 3 9 ?2(m 2 ? ) 2 ? 9 2 2
2 3

?

?

当 m2 ?

6 3 即m ? ? ? (? 3, 3) 时等号成立 2 2
2 ??????12 分 3

? S ?TABmax ?

七校联合体 2016 届高三第二次联考文科数学试卷，共 9 页，第 7 页

21．解： （1）当 a ? 1 时， f ( x) ? x ? ln x ， f '( x ) ? 1 ?

1 ( x ? 0) ， x

f (1) ? 1 ， f '(1) ? 2 ?????????? 2 分 所以切线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 ???????? 4 分
（2） f '( x) ?

x?a ( x ? 0) ???????????5 分 x 当 a ? 0 时，在 x ? (0, ??) 时 f '( x) ? 0 ，所以 f ( x) 的单调增区间是 (0, ??) ；??6 分 当 a ? 0 时，函数 f ( x ) 与 f '( x ) 在定义域上的情况如下：
x

(0, ?a )

?a
0 极小值

( ?a, ??)
+ ↗

f '( x ) f ( x)

?
↘

所以 f ( x) 的单调增区间是 (?a,??) ，减区间是 (0,?a) ；?????????8 分 （3）由（2）可知 ①当 a ? 0 时， (0, ??) 是函数 f ( x) 的单调增区间， 且有 f (e
? 1 a

)?e

?

1 a

? 1 ? 1 ? 1 ? 0 ， f (1) ? 1 ? 0 ，所以，此时函数有零点，不符合题意；

（或者分析图像 x ? ? a ln x ， a ? 0 ，左是增函数右减函数，在定义域 (0,??) 上必有交点，所以存在一 个零点） ②当 a ? 0 时，函数 f ( x) 在定义域 (0, ??) 上没零点； ③当 a ? 0 时， f (? a ) 是函数 f ( x) 的极小值，也是函数 f ( x) 的最小值， 所以，当 f ( ? a ) ? a (ln( ? a ) ? 1) ? 0 ，即 a ? ?e 时，函数 f ( x) 没有零点综上所述，当 ?e ? a ? 0 时， f ( x) 没有零点． ??????? 12 分 22.证明： （1）由 AC 与⊙O 相切于 A ，得 ?CAB =?ADB ， 同理 ?ACB =?DAB ， 所以△ACB∽△DAB．从而

AC AB = ， AD BD

即 AC ? BD ? AD ? AB ??5 分 （2）由（1）得

AD AC ? ? 2 ,? BD ? 2 BD AB
2

由切割线定理得： AD ? BD ? DE ,即 4 ? 2 DE
2

? DE ? 8 ????10 分
23.解： （1）将 ?

? x ? 2 ? 5 cos? ? y ? 3 ? 5 sin ?

2 消去参数 ? ，化为普通方程 （x ? 2） ? ( y ? 3) 2 ? 25 ，

2 ? 圆 C1 的普通方程为 （x ? 2） ? ( y ? 3) 2 ? 25

由 2 ? cos( ? ?

?
3

) ? 23 得 x ? 3 y ? 23，? C 2 的普通方程为 x ? 3 y ? 23 ? 0 ??5 分

七校联合体 2016 届高三第二次联考文科数学试卷，共 9 页，第 8 页

（2）圆心 C1 到直线 C 2 的距离为 d ?

2 ? 3 ? 3 ? 23 1? 3

?9

? 圆 C1 上的点到直线 C 2 的最大距离为 9+5=14????10 分
24.解： （1）解法一： f ? 2 ? ? 2 ? a ? 2 ?1 ? a ? ? ?

a?2 ? ?a, ?4 ? 3a, a ? 2

不等式 f ? 2? ? 0 等价于 ?

? a?2 ? a?2 4 或者 ? ，解得 a ? ； 3 ??a ? 0 ?4 ? 3a ? 0

解法二：由 f ? 2? ? 0 ，得 2 ? a ? 2 ?1 ? a ? ? 0 ，即 a ? 2 ? 2 ? a ?1? ，

? 4 ?2 ?1 ? a ? ? a ? 2 ，解得 a ? ．???4 分 ?2 ? a ?1? ? a ? 2 ? 2 ? a ?1? ，即 ? 3 ? ?a ? 2 ? 2 ? a ? 1?
（2） f ? x ? ? x ? a ? ?1 ? a ? x ? ?

x?a ? ?ax ? a, ， ?? 2 ? a ? x ? a, x ? a

①当 ? a ? 0 ，即 a ? 0 不满足 f ? x ? ? 0 恒成立； ②当 a ? 0 ， f ( x) ? ?

?0 , x ? 0 , 此时 f ( x) min ? 0 ，满足 f ? x ? ? 0 恒成立； ?2 x , x ? 0 ?? 2 x ? 2 , x ? 2 , 不满足 f ? x ? ? 0 恒成立； x?2 ?? 2 ,

③当 a ? 2 ， f ( x) ? ?

?? a ? 0 ? ④当 ? a ? 0且2 ? a ? 0 时 ，即 a ? 0且a ? 2 时 ，因为 f ? x ? ? 0 恒成立 ，故有 ?2 ? a ? 0 ， 解得 ?? a 2 ? a ? 0 ?
0 ? a ?1
综上所述， a 的取值范围为 [0,1] ．???10 分

七校联合体 2016 届高三第二次联考文科数学试卷，共 9 页，第 9 页