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直线与圆单元测试卷(含答案)

时间:2015-09-09


2015 学年第一学期高二数学《直线与圆》单元测试(2015-08-29)
班级___________ 姓名_________________

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.在同一直角坐标系中,直线 y ? ax 与 y ? x ? a 的图象正确的是……………….( )

2. 过点(1,2)且与原点的距离最大的直线方程是……………….( A. 2 x ? y ? 4 ? 0 B. x ? 2 y ? 5 ? 0 C. x ? 3 y ? 7 ? 0

)

D. 3x ? y ? 5 ? 0

3. 若直线 x ? 3 y ?1 ? 0 的倾斜角为 ? ,则 ? 的值是……………….( A.

)

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

5? 6

4. 两直线 3x ? y ? 3 ? 0 与 6 x ? my ? 1 ? 0 平行,则它们之间的距离为……………….( A. 4 B.

)

2 13 13

C.

7 10 20

D.

5 13 26
)

5. 圆 C1 : ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1, 圆 C2 : ( x ? 2)2 ? ( y ? 5)2 ? 9 , 则这两圆公切线的条数为…….( A.1 B.2 C.3 D.4

6. 经过点 ?1,3? 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是……………….( A. x ? y ? 4 B. y ? x ? 2 C.

)

y ? 3x 或 x ? y ? 4

D. y ? 3x 或 y ? x ? 2

7. 直线 xsinα+ycosα+1=0 与直线 xcosα-ysinα+2=0 的位置关系是……………….( A 平行 B 相交但不垂直 C 垂直
2

)

D 视 α 的取值而定
2

8. 若过点(3,1)总可以作两条直线和圆 ( x ? 2k ) ? ( y ? k ) ? k (k ? 0) 相切,则 k 的取值 范围是.(

)

A. (0,2)

B. (1,2)

C. (2,+∞)

D. (0,1)∪(2,+∞)

9. 圆 心 为 C ? ?

? 1 ? ,3 ? 的 圆 与 直 线 l : x ? 2 y ? 3 ? 0 交 于 P 、 Q 两 点 , O 为 坐 标 原 点 , 且 满 足 ? 2 ?

??? ? ???? OP ? OQ ? 0 ,则圆 C 的方程为……………….(
1 2 5 2 2 2 1 2 25 2 C. ( x ? ) ? ( y ? 3) ? 2 4
A. ( x ? ) ? ( y ? 3) ?

)

B. ( x ? ) ? ( y ? 3) ?

1 2 5 2 2 2 1 2 25 2 D. ( x ? ) ? ( y ? 3) ? 2 4

10. 已知圆 O : x2 ? y 2 ? 1, 点 P ? x0 , y0 ? 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上, O 为坐标原点.若圆上存在点

Q 使得 ?OPQ ? 30? ,则 x0 的取值范围为……………….(
A. ? ?1,1? B. ?0,1? C. ?0, 2?

)
D. ??2, 2?

二、填空题(每小题 4 分,共 28 分)
11. 已知 P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点,PA,PB 是圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的切线,A,B 是切 点,C 是圆心,那么四边形 PACB 的面积的最小值是_______ 12. 若直线 l1 : y ? k ? x ? 4? 与直线 l 2 关于点 (2,1) 对称,则直线 l 2 恒过定点____________ 13. 过点(1, 2)的直线 l 将圆(x-2) +y =4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线 l 的斜 率 k=
2 2 2 14. 若圆 ( x ? 3) ? ( y ? 5) ? r 上有且只有两个点到直线 4 x ? 3 y ? 2 的距离为 1,则半径 r 的取值范围
2 2

是 15. 点 M(x0,y0)是圆 x +y =a (a>0)内不为圆心的一点,则直线 x0x+y0y=a 与该圆的位置关系是 16. 已知平面内一点 P ? 是 .
2 2 2 2



?? x, y ? x

2

? y 2 ? x ? y ,则满足条件的点 P 在平面内所围成的图形的面积

?

17. 圆 C 的方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ,圆 M 的方程为 ( x ? 2 ? 5cos? )2 ? ( y ? 5sin ? )2 ? 1 (? ? R) ,过圆

M 上任意一点 P 作圆 C 的两条切线 PE 、 PF ,切点分别为 E 、 F ,则 PE ? PF 的最小值为____

三.解答题(共 72 分)
18. (本题 14 分)矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M (2, 0) , AB 边所 在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 矩形 ABCD 外接圆的方程。 点 T (?11) , 在 AD 边所在直线上.求

y

T D

C

N

O
A

M

B

x

19. (本题 14 分)已知圆 C : x 2 ? 2ax ? y 2 ? 10 y ? a 2 ? 0(a ? 0) 截直线 x ? y ? 5 ? 0 的弦长为 5 2 ; (1)求 a 的值; (2)求过点 P(10,15) 的圆的切线所在的直线方程.

? 2? 20. (本题 14 分)已知圆 C 以 C ? t , ??t ? R, t ? 0? 为圆心且经过原点 O. ? t?
(1) 若直线 2 x ? y ? 4 ? 0 与圆 C 交于点 M , N ,若 OM ? ON ,求圆 C 的方程; (2) 在(1)的条件下,已知点 B 的坐标为 (0, 2) ,设 P, Q 分别是直线 l : x ? y ? 2 ? 0 和圆 C 上的动点, 求 PB ? PQ 的最小值及此时点 P 的坐标。

21.(本题 15 分)已知点 P(2,0) 及圆 C : x2 ? y 2 ? 6 x ? 4 y ? 4 ? 0 . (Ⅰ)若直线 l 过点 P 且与圆心 C 的距离为 1,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设过点 P 的直线 l1 与圆 C 交于 M 、 N 两点,当 MN ? 4 时,求以线段 MN 为直径的圆 Q 的方 程; (Ⅲ)设直线 ax ? y ? 1 ? 0 与圆 C 交于 A , B 两点,是否存在实数 a ,使得过点 P(2, 0) 的直线 l2 垂直 平分弦 AB ?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.

22.(本题 15 分)已知圆 C : x2 ? ( y ?1)2 ? 5 ,直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 。 (Ⅰ)求证:对 m ? R ,直线 l 与圆 C 总有两个不同交点; (Ⅱ)设 l 与圆 C 交与不同两点 A、B,求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程; (Ⅲ)若定点 P(1,1)分弦 AB 为

AP 1 ? ,求此时直线 l 的方程。 PB 2

2015 学年第一学期高二数学《直线与圆》单元测试(2015-08-29【)参考答案】
一、选择题(每题 5 分,共 50 分)CBACB 二、填空题(每题 4 分,共 28 分) 三、解答题(共 72 分) 18.(本题 14 分) 解:因为 AB 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,且 AD 与 AB 垂直,所 以直线 AD 的斜率为 ?3 又因为点 T (?11) , 在直线 AD 上,所以 AD 边所在 直线的方程为 y ? 1 ? ?3( x ? 1) . DCDCC (0,2) ,

2 2,

2 , 2

(4,6),

相离,

2 ?? ,

6,

y

? x ? 3 y ? 6 ? 0, 解得点 A 的坐标为 (0, 3x ? y ? 2 ? 0 .由 ? ? 2) ,因为矩形 ?3x ? y ? 2 = 0 ABCD 两条对角线的交点为 M (2, 0) . 所 以 M 为 矩 形 A B C 外D 接 圆 的 圆 心 . 又
AM ? (2 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 2 2 .
从而矩形 ABCD 外接圆的方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 8 . 19. (本题 14 分) (1) ? C : ( x ? a)2 ? ( y ? 5)2 ? 25 ,圆心 C 到直线 x ? y ? 5 ? 0 距离

C
T D

N

O
A

M

B

x

5 2 2 5 2 , ? a ? 5 , ( x ? 5)2 ? ( y ? 5)2 ? 25 ) ? 2 2 2 (2)若切线斜率不存在, x ? 10 ,符合 若切线斜率存在,设 y ? 15 ? k ( x ? 10) , kx ? y ? 15 ? 10k ? 0 d? ? 52 ? (

a

d?

5k ? 10 ? 10k k ?1
2

?5

?k ?

3 4

?切线: y ?

3 15 x ? 或 x ? 10 4 2
2

2? 4 4 ? 2 20. (本题 14 分)由题知,圆 C 方程为 ?x ? t ? ? ? y ? ? ? t 2 ? 2 ,化简得 x 2 ? 2tx ? y 2 ? y ? 0 t? t t ? (1)? OM ? ON ,则原点 O 在 MN 的中垂线上,设 MN 的中点为 H ,则 CH ? MN .? C , H , O 三点

2 2 1 共线,则直线 OC 的斜率 k ? t ? 2 ? ? t ? 2 或 t ? ?2 ,则圆心 C ?2,1? 或 C ?? 2,?1? , 所以圆方程为 t t 2 2 2 2 ?x ? 2? ? ? y ? 1? ? 5 或 ?x ? 2? ? ? y ? 1?2 ? 5 , 由 于 当 圆 方 程 为 ?x ? 2?2 ? ? y ? 1?2 ? 5 时 , 直 线
(2)点 B?0,2? 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 的对称点为 B / ?? 4,?2? ,则 PB ? PQ ? PB / ? PQ ? B / Q ,又 B / 到 圆 上 点 Q 的 最短 距离 为 B / C ? r ?

2 x ? y ? 4 ? 0 到圆心的距离 d ? r ,不满足直线和圆相交,故舍去.?圆 C 方程为 ?x ? 2?2 ? ? y ? 1?2 ? 5 .

?? 6?2 ? 32

? 5 ? 3 5 ? 5 ? 2 5 ,所 以 PB ? PQ 的 最 小值 为

2 5 , 直线 B / C 的方程为 y ?

1 ? 4 2? x ,则直线 B / C 与直线 x ? y ? 2 ? 0 的交点 P 的坐标为 ? ? ,? ? 2 ? 3 3?

21. (本题 15 分) 解:解:(Ⅰ)设直线 l 的斜率为 k ( k 存在)则方程为 y ? 0 ? k ( x ? 2) . 又圆 C 的圆心为 (3, ?2) , 半径 r ? 3 ,

3 3 ? 1 , 解得 k ? ? .所以直线方程为 y ? ? ( x ? 2) , 即 3x ? 4 y ? 6 ? 0 . 4 4 k ?1 当 l 的斜率不存在时, l 的方程为 x ? 2 ,经验证 x ? 2 也满足条件.

2

3k ? 2 ? 2k

(Ⅱ)由于 CP ? 5 ,而弦心距 d ? 点.

r2 ? (

MN 2

)2 ? 5 ,所以 d ? CP ? 5 .所以 P 为 MN 的中

故以 MN 为直径的圆 Q 的方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 . ( Ⅲ ) 把 直 线 ax ? y ? 1 ? 0 即 y ? ax ? 1 . 代 入 圆 C 的 方 程 , 消 去 y , 整 理 得

(a2 ? 1) x2 ? 6(a ?1) x ? 9 ? 0 . 由于直线 ax ? y ? 1 ? 0 交圆 C 于 A, B 两点,故 ? ? 36(a ?1)2 ? 36(a2 ? 1) ? 0 ,即 ?2a ? 0 ,解得 a ? 0. 则实数 a 的取值范围是 (??, 0) . 设符合条件的实数 a 存在, 由于 l2 垂直平分弦 AB , 故圆心 C (3, ? 2) 1 1 1 必在 l2 上.所以 l2 的斜率 kPC ? ?2 ,而 k AB ? a ? ? ,所以 a ? .由于 ? ( ??, 0) , 2 2 k PC 故不存在实数 a ,使得过点 P(2, 0) 的直线 l2 垂直平分弦 AB .
. 22. (本题 15 分) 解: (Ⅰ)解法一:圆 C : x2 ? ( y ?1)2 ? 5 的圆心为 C (0,1) ,半径为 5 。 ∴圆心 C 到直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 的距离 d ?

?m m ?1
2

?

m 2m

?

1 ? 5 2

∴直线 l 与圆 C 相交,即直线 l 与圆 C 总有两个不同交点; 方法二:∵直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 过定点 P(1,1) ,而点 P(1,1) 在圆 C : x2 ? ( y ?1)2 ? 5 内∴直线 l 与圆 C 相交,即直线 l 与圆 C 总有两个不同交点; (Ⅱ)当 M 与 P 不重合时,连结 CM、CP,则 CM ? MP , ∴ CM
2

y

? MP ? CP
2 2

2

2

设 M ( x, y)( x ? 1) ,则 x ? ( y ?1) ? ( x ?1) ? ( y ?1) ? 1 ,
2 2 2 2

B C M O

l

化简得: x ? y ? x ? 2 y ? 1 ? 0( x ? 1) 当 M 与 P 重合时, x ? 1, y ? 1 也满足上式。 故弦 AB 中点的轨迹方程是 x ? y ? x ? 2 y ? 1 ? 0 。
2 2

P(1,1)

A ? 1 ??? ? AP 1 ??? ? 得 AP ? PB , (Ⅲ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 PB 2 2 1 ∴ 1 ? x1 ? ( x2 ? 1) ,化简的 x2 ? 3 ? 2x1 ………………① 2 ?mx ? y ? 1 ? m ? 0 2 2 2 2 又由 ? 2 消去 y 得 (1 ? m ) x ? 2m x ? m ? 5 ? 0 ……………(*) 2 x ? ( y ? 1) ? 5 ? 2m 2 ∴ x1 ? x2 ? ………………………………② 1 ? m2 3 ? m2 由①②解得 x1 ? ,带入(*)式解得 m ? ?1 ,∴直线 l 的方程为 x ? y ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 。 1 ? m2

x


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