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高考数学数列的求和测试题

时间:2010-09-28


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高考数学数列的求和测试题
(时间:90 分钟 满分:100 分) 题型示例 已知 y=f(x)是一次函数,且 f(2),f(5),f(4)成等比数列,f(8)=15,求 Sn=f(1)+f(2)+…+f(n)(n∈N*)的表达式. 分析 要求和,关键要先求出 f(n). 解 由 y=f(x)是一次函数可设 f(x)=ax+b,则 f(2)=2a+b,f(5)=5a+b,f(4)=4a+b, ∵f(2),f(5),f(4)成等比数列,∴(5a+b)2=(2a+b)(4a+b). ∴17a2+4ab=0,又∵a≠0.

4 b ① 17 又∵f(8)=15,∴8a+b=15 ② 联立方程①、②解得 a=4,b=-17,∴f(x)=4x-17. ∴f(1),f(2),…,f(n)可看作是首项为-13,公差为 4 的等差数列. n(n 1) 由等差数列前 n 项和公式可求得 Sn=-13n+ ×4=2n2-15n. 2 点评 此题渗透了函数思想,解题时要注意知识的横向与纵向之间的联系. 选择题(9×3′=27′) 一、选择题 1.数列{an}是等差数列的一个充要条件是 ( A.Sn=an+b B.Sn=an2+bn+c C.Sn=an2+bn(a≠0) D.Sn=an2+bn 2.设 m=1×2+2×3+3×4+…+(n-1)n,则 m 等于 (
∴a=2

) )

n(n 1) 1 1 1 B. n(n+4) C. n(n+5) D. n(n+7) 3 2 2 2 ( ) 3.若 Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1n,则 S17+S33+S50 等于 A.1 B.-1 C.0 D.2 4.阅读下列文字,然后回答问题:对于任意实数 x,符号[x]表示 x 的整数部分,即[x]是不超过 x 的最大整数.函数 [x]叫做“取整函数” ,也叫高斯函数.它具有以下性质:x-1<[x]≤x<[x+1].请回答:[log21]+[log22]+[log23] +…+[log21024]的值是( ) A.1024 B.8202 C.8204 D.9216 5 . 设 {an} 为 等 比 数 列 ,{bn} 为 等 差 数 列 , 且 b1=0,cn=an+bn, 若 数 列 {cn} 是 1,1,2, … , 则 {cn} 的 前 10 项 和 为 ( ) A.978 B.557 C.467 D.979 2 2 2 2 2 2 6.100 -99 +98 -97 +…+2 -1 的值是 ( ) A.5000 B.5050 C.10100 D.20200 7.若等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2n+r,则 r 的值是 ( ) A.2 B.1 C.0 D.-1 1 1 1 ( ) 8.已知 S=1+ 2 + 2 + + 2 + ,那么 S 的范围是 2 3 n 3 3 A.(1, ) B.( ,2) C.(2,5) D.(5,+∞) 2 2
A.

1 1 9.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=a 2 ( ) n 1 b 2 (n + 1)( ) n 1 (n=1,2,…),其中 a,b 是非零常数,则存在数列{xn}、 2 2
{yn}使得 ( A.an=xn+yn,其中{xn}为等差数列,{yn}为等比数列 B.an=xn+yn,其中{xn}和{yn}都为等差数列 )

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C.an=xnyn,其中{xn}为等差数列,{yn}为等比数列 D.an=xnyn,其中{xn}和{yn}都为等比数列 填空题(4×3′=12′) 二、填空题 10.一个有 2001 项且各项非零的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为 11.若 12+22+…+(n-1)2=an3+bn2+cn,则 a= ,b= ,c= 2 12.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n -4n+1,则|a1|+|a2|+…+|a10|= .

. .

3 9 25 65 161 13.数列 , , , , , …的前 n 项和 Sn= 2 4 8 16 32 解答题(9′+3×10′+12′+10′=61′) 三、解答题 14.求和:1n+2(n-1)+3(n-2)+…+(n-1)2+n1.
15.求和:Sn=

.

1 4 9 n2 . + + ++ 1× 3 3 × 5 5 × 7 (2n 1)(2n + 1)

16.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=10n-n2(n∈N);数列{bn}的通项 bn=|an|,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 17.数列{an}中,a1=a,前 n 项和 Sn 构成公比为 q 的等比数列.(q≠1) (1)求证在{an}中,从第 2 项开始成等比数列;

1 时,设 bn=log2|an|,求|b1|+|b2|+…+|bn|. 2 18.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn=2an+(-1)n,n≥1. 2 (1)求证数列{an+ (-1)n}是等比数列; 3 (2)求数列{an}的通项公式;
(2)当 a=250,q= (3)证明:对任意的整数 m>4,有

1 1 1 7 + ++ < . a 4 a5 am 8

19.求包含在正整数 m 与 n 间(m<n)的分母为 3 的所有不可约分数之和.

参考答案
1.D Sn=na1+

n(n 1)d d 2 d = n +(a1- )n,d 可以为 0,对照知选 D. 2 2 2

2.A an=n2-n.

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n +1 2 (n为奇) 3.A Sn= n (n为偶) 2

0,1 ≤ N < 2 2 1,2 ≤ N < 2 2,2 2 ≤ N < 2 3 故原式=0+1(22-2)+2(23-22)+…+9(210-29)+10=9210-(29+28+…+2)+10=8204,故选 4.C[log2N]= 9,2 9 ≤ N < 210 10, N = 210
C.

q + d = 1 5.A 由题意可得 a1=1,设公比为 q,公差为 d,则 2 q + 2 d = 2
∴q2-2q=0,∵q≠0,∴q=2,∴an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n,∴cn=2n-1+1-n,∴Sn=978. 6.B 并项求和,每两项合并,原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050. 7.D r 等于 2n 系数 1 的相反数-1,选 D.

8.B

1 1 1 3 1 S > 1 + 2 3 + 3 4 + + n(n + 1) = 2 n + 1 3 1 1 <S <2 . 1 1 2 n +1 n S < 1 + 1 + 1 + + =2 1 2 2 3 n(n 1) n

1 n-1 1 1 1 ) ]-b[2-(n+1)( )n-1]-a[2-( )n-2]+b[2-n( )n-2] 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =-( )n-1a+a( )n-2+b(n+1)( )n-1-bn( )n-2=a( )n-2[-( )+1]+bn( )n-2( -1)+b( )n-1=(a+b)( )n-1-bn( )n-1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 =[a+b(1-n)]( )n-1=[a-(n-1)b][ ( )n-2] 2 2 2 1 1 而 a1=S1=a[2-( )0]-b[2-2( )0]=a,因此也适合上式. 2 2 1 1 n-2 ∴xn=a-(n-1)b,yn= ( ) .选 C. 2 2 1001 10. 设此数列{an},其中间项为 a1001, 1000 则 S 奇=a1+a3+a5+…+a2001=1001a1001,S 偶=a2+a4+a6+…+a2000=1000a1001.
9.C 由 an=Sn-Sn-1=a[2-(

1 1 1 11. ; ; 3 2 6
12.67

原式=

(n 1)n (2n 1) 2n 3 3n 2 + n = . 6 6

2(n = 1) an = . 2n 5(n ≥ 2)

13.

n(n + 1) 1 1 + (1 n ) an=n+ n . 2 2 2 14.解 ak=k [(n+1)-k]=(n+1)k-k2, 解 ∴Sn=[(n+1)1-12]+[(n+1)2-22]+…+[(n+1)n-n2] =(n+1)(1+2+…+n)-(12+22+…+n2)
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n(n + 1) 1 n(n+1)(2n+1) 2 6 n(n + 1)(n + 2) = . 6
=(n+1) 15.解 ak= 解

1 1 1 1 1 1 k2 k2 ), = 2 = + = + ( (2k 1)(2k + 1) 4k 1 4 4(2k 1)(2k + 1) 4 8 2k 1 2k + 1

∴Sn=

n(n + 1) n 1 1 . + + (1 )= 4 8 2n + 1 2(2n + 1)

16.解 可按如下三个层次进行: 解 (1)由数列{an}的前 n 项和求 an.

S1 (n = 1) 由 an= 得 an=11-2n(n∈N*) S n S n 1 (n ≥ 2)
(2)由 an 的正负确定{bn}的通项公式. 易知,当 n≤5 时,an>0,则 bn=an;当 n≥6 时,an<0,则 bn=-an

11 2n(n ≤ 5) ∴bn= 2n 11(n ≥ 6)
(3)求数列{bn}的前 n 项和 Tn 当 n≤5 时,因为 bn=an 所以 Tn=Sn=10n-n2; 当 n≥6 时,Tn=a1+a2+a3+…+a5-(a6+a7+…+an)=2S5-Sn=50-(10n-n2)=n2-10n+50.

10n n 2 (n ≤ 5) ∴Tn= 2 . n 10n + 50(n ≥ 6)
点评 数列{an}与数列{|an|}很多题目都有涉及,关键是把握两者的实质联系,我们分了三个步骤以方便同学们理 清思路. 17.(1)证明 由已知 S1=a1=a,Sn=aqn-1,∴Sn-1=aqn-2, 证明 ∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=a(q-1)qn-2. ∵

a n +1 an

=q,∴{an}是当 n≥2 时公比为 q 的等比数列.

a(a = 1). (2)解 a2=S2-S1=a(q-1),∴an= 解 . n2 a(q 1)q ( n ≥ 2) 1 1 1 时,b1=log2|a|=50,当 n≥2 时,bn=log2|an|=log2|250( -1)( )n-2|=51-n. 2 2 2 ∴bn=51-n(n∈N). n(n + 1) n(101 n) ①当 1≤n≤51 时,|b1|+|b2|+…+|bn|=(51-1)+(51-2)+…+(51-n)=51n-(1+2+…+n)=51n= . 2 2 50 × 51 ( n 51)(n 50) n(n 101) ②当 n≥52 时,|b1|+|b2|+…+|bn|=(50+49+48+…+1)+[1+2+3+…+(n-51)]= + = 2 2 2 n n-1 18.(1)证明 由已知得 an=Sn-Sn-1=2an+(-1) -2an-1-(-1) (n≥2), 证明 化简得 an=2an-1+2(-1)n-1(n≥2),
∴当 a=250,q=
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上式可化为 an+

2 2 2 1 (-1)n=2[an-1+ (-1)n-1](n≥2),∵a1=1,∴a1+ (-1)1= . 3 3 3 3 2 1 故数列{an+ (-1)n}是以 为首项,公比为 2 的等比数列. 3 3 2 2 n 1 (-1)n= . 3 3

(2)解 由(1)可知 an+ 解 ∴an=

1 2 2 2 ×2n-1- (-1)n= [2n-2-(-1)n],故数列{an}的通项公式为 an= [2n-2-(-1)n]. 3 3 3 3
1 1 1 + ++ a 4 a5 am

(3)证明 由已知得 证明

=

3 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 + 3 + + m2 = + + + + + + m2 2 m m 2 2 1 2 + 1 2 (1) 2 3 9 15 33 63 2 (1)
1 2 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ) < (1 + + + + + ) 5 11 21 2 3 5 10 20

= (1 + + +

1 1 (1 m 5 ) 1 4 5 1 4 2 2 1 13 1 1 13 104 105 7 2 = + = < = . = ( + × m 5 ) = × ( ) m 5 < 1 2 3 2 3 5 5 2 15 5 2 15 120 120 8 1 2



1 1 1 7 + ++ < (m > 4) a4 a5 am 8

19.解 方法 1 这些分数是 解

3m + 1 3m + 2 3m + 4 3m + 5 3n 2 3n 1 , , , ,, , . 3 3 3 3 3 3 显然它既非等比数列也非等差数列,但如果在适当的位置上分别添上 3m 3m + 3 3n 3 3n , ,, , () 3 3 3 3 3m 3m + 1 3m + 2 3m + 3 3n 3 3n 2 3n 1 3n 即成为 , , , ,, , , , () 3 3 3 3 3 3 3 3 1 (**)是一个有 3n-3m+1 项的等差数列,公差为 ,首项是 m,末项是 n, 3 1 其 和为 S= (3n-3m+1)(m+n)而 (*)是 一 个有 n-m+1 项 的等差 数列 ,公差为 1, 首末 项分别为 m,n 其和 S″ 2 1 = (n-m+1)(m+n). 2 故适合条件的分数和为 S=S′-S″=n2-m2. 1 2 2 1 方法 2 设 S=(m+ )+(m+ )+…+(n- )+(n- )注意到与首末两项等距离的两项和相等,于是把上式倒序相加 3 3 3 3

得:2S= (m + n) + (m + n) + + (m + n),∴ S = n 2 m 2 .
2( n m) 个

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