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1.5正弦型函数的图像和性质(二)

时间:2017-04-17


§1.5(二)

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【读一读学习要求,目标更明确】 1.会用“五点法”画函数 y=Asin(ωx+φ)的图象. 2.能根据 y=Asin(ωx+φ)的部分图象,确定其解析式 . 3.了解 y=Asin(ωx+φ)的图象的物理意义, 能指出简谐运动 中的振幅、周期、相位、初相.

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【看一看学法指导,学习更灵活】 1.利用 “五点”作图法作函数 y= Asin(ωx+ φ)的图象时, π 3 要先令 “ ωx+ φ”这一个整体依次取 0、 、π、 π、2π,再 2 2 求出 x 的值,这样才能得到确定图象的五个关键点,而不 是先确定 x 的值,后求“ ωx+ φ”的值 . 2.由 y= Asin(ωx+ φ)的部分图象确定其解析式,可以根据 “ 五点 ”作图法逆向思维,从图象上确定“五点” 中的某 些点的横坐标,建立关于参数 ω、 φ 的方程,列方程组求 出 ω 和 φ 的值.

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填一填·知识要点、记下疑难点

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1.简谐振动 简谐振动 y= Asin(ωx+ φ)(A>0, ω>0)中,A __叫做振幅,

2π ω ω ,频率 f=____ ωx+φ,初相是 2π ,相位是______ 周期 T= ____

φ __.
2.函数 y= Asin(ωx+ φ) (A>0, ω>0)的性质如下: 定义域 值域 周期性 R

[-A,A] ___________

2π ω T= ______

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π +kπ (k∈Z) kπ (k∈Z) 时是奇函数; φ= ___________ φ = ____________ 2 奇偶 kπ 非奇非偶 函数 时是偶函数;当 φ ≠ (k∈ Z)时是 ___________ 性
2

π π 2kπ-2≤ωx+φ≤2kπ+2 (k∈Z) 单调增区间可由 _____________________________
单调 性

π 2kπ+2≤ωx+φ≤2kπ+ 得到,单调减区间可由 _______________________
3π (k∈Z) 2 ___________得到

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问题探究一

“五点法”作函数 y= Asin(ωx+ φ)(A>0, ω>0)的图象

利用“五点法”作出函数 y= Asin(ωx+ φ)(A>0,ω>0)在一 个周期上的图象,要经过“取值、列表、描点、连线”这 四个步骤.请完成下面的填空. ωx +φ x y 0 π 2 π 3 π 2 2π

φ π φ 3π φ φ π φ 2π - + - + + - - + ω 2ω - ω ω ω ω _______ ____ ______ ω ________ ω 2ω ________
0 A 0 -A 0

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? φ ? ?- ,0? ? ω ?, 所以,描点时的五个关键点的坐标依次是 __________
? φ ? ? φ ? ? φ ? π π 3π ?- + ? ,A ?- + ,0? ?- + ,-A? ω 2 ω ? ? ω 2ω ? ω ω ? , ?_______________ ?, _______________, _______________
? φ 2π ? ?- + ,0? ω ω ?_____________. ?

φ φ 2π - - ω ω 若设 T= ,则这五个关键点的横坐标依次为 ____, ___ ω φ T T φ 3 φ - + - +4T + - +T ω 2 ,_________ 4 ,_________ ω ω _____ , _________.

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问题探究二 由函数 y= Asin(ωx+ φ)的部分图象求三角函 数的解析式 (1)在由图象求解析式时,“第一个零点”的确定是关键, 一般地可将所给一段图象左、 右扩展找离原点最近且穿过 x 轴上升的即为“第一零点”(x1,0).从左到右依次为第 π 二、三、四、五点分别有 ωx2+ φ= , ωx3+ φ=π, ωx4 2 3 + φ= π, ωx5+ φ= 2π. 2

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(2)由图象确定系数 ω,φ 通常采用两种方法: ①如果图象明确指出了周期的大小和初始值 x1(第一个零 点的横坐标 )或第二,第三 (或第四,第五 )点横坐标,可以 直接解出 ω 和 φ,或由方程 (组 )求出. ②代入点的坐标,通过解最简单的三角函数方程,再结合 图象确定 ω 和 φ. (3)A 的求法一般由图象观察法或代入点的坐标通过解 A 的 方程求出.

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例如,已知函数 y= sin(ωx+φ)(ω>0, |φ| π 2 < )的部分图象如图所示,则 ω= ________ , 2 π - φ= ________. 6
T 7π π π 解析 由图象知4=12-3=4,∴T=π,ω=2. 7π π 且 2×12+φ=kπ+π(k∈Z),φ=kπ-6(k∈Z). π π 又|φ |<2,∴φ=-6.

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问题探究三 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)或 f(x)=Acos(ωx+φ) 的奇偶性 关于函数 f(x)= Asin(ωx+φ)或 f(x)= Acos(ωx+φ)的奇 偶性有以下结论: ① f(x)=Asin(ωx+φ)是奇函数?f(x)= Asin(ωx+φ)的图 象关于原点对称?f(0)= 0?φ=kπ(k∈ Z). ②函数 f(x)=Asin(ωx+ φ)是偶函数 ?f(x)= Asin(ωx+φ) π 的图象关于 y 轴对称? f(0)= A 或 f(0)=-A? φ=kπ+ 2 (k∈ Z). ③函数 f(x)=Acos(ωx+ φ)是奇函数? f(x)=Acos(ωx+φ) π 的图象关于原点对称? f(0)= 0?φ= kπ+ (k∈ Z). 2 ④函数 f(x)=Acos(ωx+ φ)是偶函数? f(x)= Acos(ωx+ φ)的图象关于 y 轴对称 ?f(0)= A 或 f(0)=- A? φ = kπ(k∈Z).

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例如, (1)若函数 f(x)= 5sin(2x+α)是偶函数, 则 α 等于 ( D ) A.kπ,k∈ Z B. (2k+ 1)π, k∈ Z π π C.2kπ+ , k∈ Z D. kπ+ , k∈Z 2 2 (2)若函数 f(x)= cos(3x+ φ)是奇函数,则 φ 等于 π π A.- B. kπ+ (k∈ Z) 2 2 π C.kπ (k∈Z) D. 2kπ- (k∈ Z) 2 解析 (1)f(0)=5sin α=± 5,∴sin α=± 1. π ∴α=kπ+ ,k∈Z. 2 π (2)f(0)=cos φ=0,∴φ=kπ+ ,k∈Z. 2 ( B )

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问题探究四 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)或 f(x)=Acos(ωx+φ) 图象的对称性 关于函数 f(x)=Asin(ωx+φ)图象的对称性有以下结论: ①函数 f(x)= Asin(ωx+φ)的图象关于点 (x0,0)中心对称 当且仅当 f(x0)=0. ②函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象关于直线 x=x0 轴对称 当且仅当 f(x0)=A 或 f(x0)=-A. 上述结论若换成函数 f(x)=Acos(ωx+φ)同样成立. ③对于函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象, 相邻的 两个对称中心或两条对称轴相距半个周期; 相邻的一个 对称中心和一条对称轴相距周期的四分之一.

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例如,函数

2 x=2kπ+3π, k∈Z 轴方程是 _________________.

? π ? ?1 ? ?2kπ- ,0? π 3 ? ? ? ? ,对称 y= sin x+ 的对称中心是 ___________ 2 6 ? ?

一般地,函数 y= sin(ωx+ φ)(ω≠ 0)的对称中心是 π kπ+2-φ ?kπ-φ ? ,k∈Z ? ? ω 对称轴方程是 x= ___________________.(结果 ? ω , 0?, ? ? 用 ω, φ 表示)

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典型例题 例 1 利用五点法作出函数 草图.


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?1 π? y=3sin? x- ?在一个周期内的 3? ?2

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x π π 3π 依次令2-3取 0、2、π、 2 、2π,列出下表: x π 2-3 x y π 2 5π 3 3 3π 2 11π 3 -3

0 2π 3 0

π 8π 3 0

2π 14π 3 0

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描点,连线,如图所示.

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小结 “五点法”作图时,五点的确定,应先令 ωx+φ 分 π 3π 别为 0、2、π、 2 、2π,解出 x,从而确定这五点.

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跟踪训练 1 作出
? π? y=2.5sin?2x+ ?的图象. 4? ?

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π 1? π? 解 令 X=2x+ ,则 x= ?X- ?.列表: 4 2? 4? π 3π X 0 π 2 2 π π 3π 5π -8 x 8 8 8 y 0 2.5 0 -2.5 描点、连线,如图所示.

2π 7π 8 0

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例 2 如图为 y= Asin(ωx+φ)的图象的一段,求其解析式.

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解 方法一 以 N 为第一个零点, ?5π π? 则 A=- 3,T=2? 6 -3?=π, ? ? ∴ω=2,此时解析式为 y=- 3sin(2x+φ). ? π ? π π ? ? ∵点 N -6 ,0 ,∴-6×2+φ=0,∴φ=3, ? ? ? π? 所求解析式为 y=- 3sin?2x+3?. ? ?

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方法二 由图象知 A= 3, ?π ? ?5π ? 以 M? ,0?为第一个零点,P? , 0?为第二个零点. ?3 ? ?6 ? ? π ?ω= 2 + φ=0 ?ω· ? 3 列方程组? ,解之得? 2π 5π φ=- . ? ?ω· + φ= π 3 ? ? 6 ∴所求解析式为 y=
小结
? 2π? 3sin ?2x- ?. 3? ?

A、ω、φ 三个量中初相 φ 的确定是一个难点,除使用 ? φ ? 初始点?- ,0?外,还可利用五点法来确定初相 φ,即在五 ? ω ? 点中找两个特殊点列方程组解出 φ.

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跟踪训练 2 如图是函数 y= Asin(ωx + φ)(A>0, ω>0, |φ|<π)在一个周期 内的图象,试写出函数的表达式.
解 方法一 由图象知 A=2, ? π? 3 T= π-?- ?=π, 4 ? 4? 2π ∴ω= =2,∴y=2sin(2x+φ). π
又当 x=0 时,2sin φ=2,即 sin φ=1, π ∴φ= (∵|φ |<π), 2 ? π? ∴所求解析式为 y=2sin?2x+ ?. 2? ?

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方法二

同方法一,求得 A=2,

π 根据图象选取五点法作图中的第一个点为 x1=- , 4 ? π π ? - ω+φ=0 ? ? φ= 4 π 2 . 则 x3= ,由? ,解得? 4 ? ?πω+φ= π ?ω= 2 ?4 于是所求解析式为
? π? y=2sin?2x+ ?. 2? ?

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例 3 已知函数 f(x)=a2sin 2x+ (a-2)cos 2x 的图象关于点 ?π ? ? , 0?中心对称,求 a 的值. ?2 ?
解 根据函数 f(x) = a2sin 2 x + (a - 2)cos 2 x 的图象关于 ?π ? ?π ? ? ,0? 中心对称,∴f? ?=2-a=0,∴a=2. ?2 ? ?2 ?
小结 对于函数 f(x)=Asin(ωx+φ)而言,函数图象与 x 轴的 交点就是图象的对称中心, 注意以下充要条件的应用: 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)关于点(x0,0)中心对称?f(x0)=0, 换为函数 f(x)=Acos(ωx+φ)结论仍成立.

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跟踪训练 3 已知函数 f(x)=a2sin 2x+(a-2)cos 2x 的图象 π 关于直线 x=- 对称,求 a 的值. 8 π 解 根据函数图象关于直线 x=-8对称, ? π ? ? π ? ∴f ?-8+x?=f ?-8-x?对一切 x∈R 恒成立. ? ? ? ? ? π? π 取 x= 得 f(0)=f ?- ?.代入得 a-2=-a2,解得 a=1 或 a 8 ? 4? =-2.

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1.已知函数

? π? f(x)= sin?ωx+ ?(ω>0)的最小正周期为 3? ?

π,则

该函数的图象 ?π ? A.关于点? , 0?对称 ?3 ? π B.关于直线 x= 对称 4 ?π ? C.关于点? , 0?对称 ?4 ? π D.关于直线 x= 对称 3

( A )

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2.函数 y= sin(ωx+ φ)(x∈ R,ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如 图,则 ( )

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π π A.ω= ,φ= 2 4 π π B.ω= ,φ= 3 6 π π C.ω= ,φ= 4 4 π 5π D.ω= ,φ= 4 4
T 解析 由所给图象可知,4=2,∴T=8. 2π π 又∵T= ,∴ω=4. ω ∵图象在 x=1 处取得最高点, π π π ∴ +φ= ,∴φ= . 4 2 4

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答案

C

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?1 π? y= 3sin? x- ?一个周期上的图象. 4? ?2

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3.作出

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解 (1)列表: x 1 π x- 2 4
?1 π? 3sin?2x- 4? ? ?

π 2 0 0

3 2π π 2 3

5 2π π 0

7 2π 3 π 2 -3

9 2π 2π 0

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描点、连线如图所示:

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1. 由函数 y= Asin(ωx+ φ)的部分图象确定解析式关键在于 确定参数 A, ω, φ 的值. (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定 |A|. 2π (2)因为 T= ,所以往往通过求周期 T 来确定 ω,可通 ω 过已知曲线与 x 轴的交点从而确定 T,即相邻的最高点 T 与最低点之间的距离为 ;相邻的两个最高点 (或最低点) 2 之间的距离为 T.

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? φ ? (3) 从寻找 “ 五点法 ” 中的第一零点 ?- , 0 ? ( 也叫初 ? ω ?

始点 )作为突破口. 以 y= Asin(ωx+ φ)(A>0, ω>0)为例, 位于单调递增区间上离 y 轴最近的那个零点最适合作 为“五点”中的第一个点. 2.在研究 y= Asin(ωx+ φ)(A>0,ω>0)的性质时,注意采用 π 整体代换的思想. 如, 它在 ωx+ φ= + 2kπ (k∈ Z)时取 2 3π 得最大值,在 ωx+ φ= + 2kπ (k∈ Z)时取得最小值. 2


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