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山东省东营市2015年高考第二次模拟考试数学理试题

时间:2015-05-20


高三数学(理科)测试题
注意事项: 1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为非选择题,考试时间为 120 分钟, 满分 150 分. 2.把选择题选出的答案标号涂在答题卡上. 3.第Ⅱ卷用黑色签字笔在答题纸规定的位置作答,否则不予评分.

第Ⅰ卷

选择题(共 50 分)

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.将正确答案填写在答题卷相应位置. 1.已知 i 是虚数 单位,则 A. 1 ? 2i 2.若集合 A ? {x |

3?i =( 1? i
B. 2 ? i

) C. 2 ? i ) D. 1 ? 2i

x ? 0} , B ? {x | x 2 ? 2 x} ,则 A B ? ( x ?1
B. {x | 0 ? x ? 1} D. {x | 0 ? x ? 1}

A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1}

3.若α ,β 是第一象限的角, “α >β ”是“sinα >sinβ ”的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

4. 已知函数 f ( x ? 1) 是偶函数,当 x∈(1,+∞)时,函数 f ( x) ? sin x ? x , 设 a = f ( ? ) , b ? f (3) , c ? f (0) ,则 a 、 b 、 c 的大小关系为( A. b < a < c C. b < c < a B. c < a < b D. a < b < c 2 5.一个几何体的三视图如图所示,该几何体外接球的表面积为 ( A. 9? C. 8? ) B. 2

1 2

)

28 ? 3

1
正视图

1 2

3
侧视图

D. 7?

6. 已知 ?an ? 是首项为 1 的等比数列, s n 是 ?an ? 的前 n 项和, 且 9s3 ? s6 ,则数列 ?

2

2

?1? ? 的前 5 项和为( ? an ?


-1-

俯视图

A.

15 或5 8

B.

31 或5 16

C.

31 16

D.

15 8
)

7. 执行右面的程序框图,如果输入的 x , t 均为 2,则输出的 S =( A.4 B.5 C.6 D.7

8.从左至右依次站着甲、乙、丙 3 个人,从中随机抽取 2 个人进行 位置调换,则经过两次这样的调换后,甲在乙左边的概率是( A. )

1 2

B.

4 9

C.

2 3

D.

1 3

x2 y2 ? ? 1,随着 a 的增大该 9. 已知焦点在 x 轴上的椭圆方程为 4a a 2 ? 1
椭圆的形状( A. 越扁 C.先接近于圆后越扁 ) B.越接近于圆 D.先越扁后接近于圆
E F

10.右图是某果园的平面图,实线部分 DE 、DF 、EF 游客观赏道路, 其中曲线部分 EF 是以 AB 为直径的半圆上的一段弧,点 O 为圆心,

? ABD 是 以 AB 为 斜 边 的 等 腰 直 角 三 角 形 , 其 中 AB=2 千 米 ,

A

O

B

?EOA =?FOB =2 x ( 0 ? x ?

?
4

), 若游客在路线 DE 、DF 上观赏

D

所获得的“满意度”是路线长度的 2 倍,在路线 EF 上观赏所获得的“满意度”是路线的长度,假定该果园 的“社会满意度” y 是游客在所有路线上观赏所获得的“满意度”之和 ,则下面图象中能较准确的反映 y 与 x 的函数关系的是( )

-2-

第Ⅱ卷
11.已知 9 a ? 3, 12. (

非选择题(共 100 分)

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

lg x ? a , 则 x ? _________.

1 ? x 2 )3 的展开式中的常数项为 a ,则直线 y ? ax 与曲线 y ? x2 围成图形的面积为_________. x

? x 2 , ( x ? 0), 13.已知 f ( x) ? ? ,若 f [ f ( x0 )] ? 3 ,则 x0 ? ________. ?? 2 sin x, (0 ? x ? ?)
?2 x ? y ? 2 ? 0, ? 14.设 x, y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0, 若目标函数 z ? 4ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最大值为 8,则 a ? x ? 0, y ? 0, ?
=_________时,

1 a ? 取得最小值. 2a b

15 .在 平面直角坐标系中, O 为原点, A(?1,0), B(0, 5 ),C(3,0) ,动 点 D 满 足 CD ? 1 , 则

OA ? OB ? OD 的最大值是__________.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,三个内角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,其中 c ? 2 , 且

cos A b 3 . ? ? cos B a 1
(Ⅰ)求 a , b ,C. ︿ ( Ⅱ ) 如 图 , 设 圆 O 过 A, B, C 三 点 , 点 P 位 于 劣 弧 AC 上 , 记

C

P

B

A

?PAB ? ? ,求 ?PAC 面积最大值.
图6 17. (本小题满分 12 分) 现有两种投资方案, 一年后投资盈亏的情况如下: (1)投资股市: 投资结果 概 率 (2)购买基金: 投资结果 概 率 获利 20% 不赔不赚 亏损 10% 获利 40% 不赔不赚 亏损 20%

1 2

1 8

3 8

p

1 3
-3-

q

(Ⅰ)当 p =

1 时,求 q 的值; 4 4 ,求 p 的取值范围; 5

(Ⅱ)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资,如果一年后他们中至 少有一人获利的概率大于

(Ⅲ)丙要将家中闲置的 10 万元钱进行投资,决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中 选择一种,已知 p =

1 1 , q = ,那么丙选择哪种投资方案,才能使得一年后投资收益的数学期望较 2 6

大?给出结果并说明理由. 18.(本小题满分 12 分) 已知正项数列{an } , 其前 n 项和 Sn 满足 8Sn ? an 2 ? 4an ? 3, 且 a2 是 a1 和 a7 的等 比中项. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 符号 [ x ] 表示不超过实数 x 的最大整数,记 bn ? [log 2 ( 19.(本小题满分 12 分)在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面

an ? 3 )] ,求 b1 ? b2 ? b3 ? 4
C

b2n .
C1

ABB1 A1 为矩形, AB ? 2 , AA1 ? 2 2 , D 是 AA1 的中
点, BD 与 AB1 交于点 O ,且 CO ? 平面 ABB1 A 1. (Ⅰ)证明: BC ? AB1 ; (Ⅱ)若 OC ? OA ,求直线 CD 与平面 ABC 所成角的 正弦值. 20.(本小题满分 13 分) 设 A, B 是椭圆 W :

B

B1
O

A

D

A1

x2 y 2 ? ? 1 上不关于坐标轴对称的两个点,直线 AB 交 x 4 3

轴于点 M (与点 A, B 不重合) ,O 为坐标原点. (Ⅰ)如果点 M 是椭圆 W 的右焦点,线段 MB 的中点在 y 轴上,求直线 AB 的方程; (Ⅱ)设 N 为 x 轴上一点,且 OM ? ON ? 4 ,直线 AN 与椭圆 W 的另外一个交点为 C,证明:点 B 与点 C 关于 x 轴对称. 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 ? ln( x ? 1) ( x ? 0) . x

(1)函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上是增函数还是减函数?证明你的结论; (2)当 x ? 0 时, f ( x ) ?

k 恒成立,求整数 k 的最大值; x ?1

(3)试证明: (1 ? 1? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ? (1 ? 3 ? 4) ?

? (1 ? n(n ?1)) ? e2n?3 ( n ? N * )

-4-

高三数学(理科)测试题参考答案
一、选择:1-10:DADAB CDCBA

二、填空:11、 10 ; 12、 三、解答: 16、 (1)由正弦定理得

9 ? 2? ; 13、 或 ; 2 3 3

14、

2 3

15、4

cos A sin B , ? cos B sin A

整理为 sin A cos A ? sin B cos B ,即 sin 2 A ? sin 2 B 又因为 0 ? 2 A, 2 B ? 2? ∴ 2 A ? 2 B 或 2 A ? 2 B ? ? ,即 A ? B 或 A ? B ?

?
2



b 3 , ? a 1

∴ A ? B 舍去,故 A ? B ? 可知 C ?

?
2

由 A? B ?

?
2

?
2

,∴ ?ABC 是直角三角形 ?7 分

(2)由(1)及 c ? 2 ,得 a ? 1 , b ? 3 , 设 ?PAB ? ? (

?
6

?? ?

?
2

) ,则 ?PAC ? ? ?

?
6



在 Rt ?PAB 中, PA ? AB ? cos ? ? 2 cos ?
S ?PAC ?

所以

1 ? 1 ? PA ? AC ? sin(? ? ) ? ? 2 ? cos ? ? 3 ? sin(? ? ) ? 3 ? cos ? ? sin(? ? ? ) 2 6 2 6 6

? 3 cos ? (sin ? ?

3 1 3 3 ? cos ? ? ) ? cos ? sin ? ? cos 2 ? 2 2 2 2

3 3 1 ? cos 2? 3 3 1 3 ? sin 2? ? ? ? ( sin 2? ? cos 2? ) ? 4 2 2 2 2 2 4 ? 3 ? 3 sin(2? ? ) ? 2 6 4
因为

?
6

?? ?

?
2

所以

?
6

? 2? ?

?
6

?

5? , 6

当 2? ?

?
6

?

?
2

,即 ? ?

?
3

时, S ?PAC 最大值等于

3 . 4

17.(Ⅰ)解:因为“购买基金”后,投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种,且三 种投资结果相互独立, 所以 p +

1 + q =1. 3

又因为 p =

1 , 4

所以 q =

5 . 12

(Ⅱ)解:记事件 A 为 “甲投资股市且盈利”,事件 B 为“乙购买基金且盈利”,事 件 C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”, 则 C = AB U AB U AB ,且 A,B 独立.

-5-

由上表可知, P ( A) =

1 , P( B) = p . 2

所以 P(C) = P( AB) + P( AB) + P( AB)
= 1 ? (1 2 p) + 1 ? p 2 1 2 p
= 1 1 . + p 2 2

3 因为 P(C ) = 1 + 1 p > 4 , 所以 p > . 5 2 2 5 1 又因为 p + + q = 1 , q≥0 , 所以 p≤ 2 . 3 3
所以 3 < p≤ 2 . 5 3 (Ⅲ)解:假设丙选择“投资股票”方案进行投资,且记 X 为丙投资股票的获利金额(单位:万元) , 所以随机变量 X 的分布列为:
X

4

0

?2

P

1 2

1 8

3 8

1 1 3 5 则 EX ? 4 ? ? 0 ? ? (?2) ? ? . 2 8 8 4
假设丙选择“购买基金”方案进行投资,且记 Y 为丙购买基金的获利金额(单位:万元) , 所以随机变量 Y 的分布列为:

Y

2
1 2

0
1 3

?1
1 6

P

则 EY ? 2 ?

1 1 1 5 ? 0 ? ? (?1) ? ? . 2 3 6 6

因为 EX ? EY , 所以丙选择“投资股市” ,才能使得一年后的投资收益的数学期望较大. 18、解:(Ⅰ) 由 8Sn ? an 2 ? 4an ? 3 ① 知 8Sn?1 ? an?12 ? 4an?1 ? 3 (n ? 2, n ? N ) ② 由①-②得 8an ? (an ? an?1 )(an ? an?1 ) ? 4an ? 4an?1 整理得 (an ? an?1 ? 4)(an ? an?1 ) ? 0 (n ? 2, n ? N ) ∵{an } 为正项数列∴ an ? an?1 ? 0, ,∴ an ? an?1 ? 4 (n ? 2, n ? N )

-6-

所以 {an } 为公差为 4 的等差数列,由 8a1 ? a12 ? 4a1 ? 3, 得 a1 ? 3 或 a1 ? 1 当 a1 ? 3 时, a2 ? 7, a7 ? 27 ,不满足 a2 是 a1 和 a7 的等比中项. 当 a1 ? 1 时, a2 ? 5, a7 ? 25 ,满足 a2 是 a1 和 a7 的等比中项. 所以 an ? 1 ? (n ?1)4 ? 4n ? 3 . (Ⅱ) 由 an ? 4n ? 3 得 bn ? [log 2 (

an ? 3 )] ? [log 2 n] , 4
m m?1

由符号 [ x ] 表示不超过实数 x 的最大整数知,当 2 ? n ? 2

时, [log2 n] ? m ,

所以令

S ? b1 ? b2 ? b3 ?
? 0 ?1?1? 2 ?

b2n ? [log2 1] ? [log2 2] ? [log2 3] ? [log2 2n ]
?3? ?4? ? n ?1? ?n

∴ S ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 4 ? 24 ? (n ?1) ? 2n?1 ? n ①

2S ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ? 4 ? 25 ? (n ?1) ? 2n ? 2n ②
①-②得

? S ? 2 ? 22 ? 23 ? 24 ? ... ? 2n?1 ? (n ? 1)2n ? n ? 2(1 ? 2n ?1 ) ? (n ? 1)2n ? n ? (2 ? n)2n ? n ? 2 1? 2

? S ? (n ? 2)2n ? n ? 2
即 b1 ? b2 ? b3 ?

b2n ? (n ? 2)2n ? n ? 2 .
AD 2 AB 2 ? , tan ?AB1B ? , ? AB 2 BB1 2

19、解:(1)由题意 tan ?ABD ? 又 0 ? ?ABD , ?AB1 B ?

?
2

,??ABD ? ?AB1B ,??AB1 B ? ?BAB1 ? ?ABD ? ?BAB1 ?

?
2



?AOB ?

?
2

,? AB1 ? BD .又 CO ? 平面ABB1 A 1 ? CO , 1 ,? AB

BD 与 CO 交于点 O ,? AB1 ? 平面CBD ,又 BC ? 平面CBD ,? AB1 ? BC .?6 分
(2)如图,分别以 OD, OB1 , OC 所在直线为 x, y , z 轴,以 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐 标系 O ? xyz ,则 A(0, ?

2 3 2 6 2 3 6 , 0), B(? , 0, 0) , C (0,0, ), D( ,0,0) , 3 3 3 3

-7-

AB ? (?

2 6 2 3 2 3 2 3 6 2 3 , , 0), AC ? (0, , ), CD ? ( , 0, ? ), 3 3 3 3 3 3

设平面 ABC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

? 2 6 2 3 x? y?0 ?? ? n ? AB ? 0 ? ? 3 3 则? ,即 ? , ? ?2 3 y ? 2 3 x ? 0 ?n ? AC ? 0 ? 3 ? 3
令 y ? 1 ,则 z ? ?1 , x ?

2 2 ,所以 n ? ( ,1, ?1) . 2 2

设直线 CD 与平面 ABC 所成角为 ? ,则

CD ? n sin ? ? cos CD, n ? ? | CD | ? | n |

(

6 2 3 2 , 0, ? )?( ,1, ?1) 3 3 2 10 2? 2

6 2 2 3 ? ? 0 ? (? ) ? (?1) 15 2 3 ? 3 ? 5 5
20.解: (Ⅰ)椭圆 W 的右焦点为 M (1,0) , 所以点 B 的横坐标为 ?1 , 因为线段 MB 的中点在 y 轴上, 因为点 B 在椭圆 W 上,

将 x ? ?1 代入椭圆 W 的方程,得点 B 的坐标为 ( ?1, ? ) . 所以直线 AB (即 MB )的方程为 3x ? 4 y ? 3 ? 0 或 3x ? 4 y ? 3 ? 0 . (Ⅱ)证明: 由题意,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 B1 ( x2 , ? y2 ) .

3 2

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12, 由 ? 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 , y ? kx ? m , ?
所以 ? ? (8km) ? 4(3 ? 4k )(4m ?12) ? 0 ,
2 2 2

8km 4m 2 ? 12 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
在 y ? kx ? m 中,令 y ? 0 ,得点 M 的坐标为 ( ?

m , 0) , k

-8-

由 OM ? ON ? 4 ,得点 N 的坐标为 ( ?

4k , 0) , m

设直线 NA , NB1 的斜率分别为 k NA , k NB1 ,

4k 4k x2 y1 ? y1 ? ? x1 y2 ? y2 ? y1 ? y2 m m , 则 k NA ? k NB1 ? ? ? 4k 4k 4k 4k x1 ? x2 ? ( x1 ? )( x2 ? ) m m m m 4k 4k ? x y1 ?2 y ? 2 因为 x2 y 1? y ? 1 m m 4k 4k ? x2 (kx1 ? m) ? (kx1 ? m) ? ? x1 (kx2 ? m) ? (kx2 ? m) ? m m
4k 2 ? 2k x x ? ( m ? ) ( 1x ? 2 x)? 8 k 1 2 m ? 2k ? ( 4m2 ? 12 4k 2 8km ) ? ( m ? )(? ) ? 8k 2 3 ? 4k m 3 ? 4k 2

?

8m2 k ? 24k ? 8m2 k ? 32k 3 ? 24k ? 32k 3 3 ? 4k 2

? 0,
所以 kNA ? kNB1 ? 0 , 所以点 A , N , B1 三点共线,即点 B 与点 C 关于 x 轴对称.

1 ? ln( x ? 1)] x ? 1 ? 21. 解: (Ⅰ)由题 x ? 0, f ( x) ? ? ? 0, x2 [
故 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上是减函数;

k x ?1 [1 ? ln( x ? 1)] 在 (0, ??) 上 恒 成 立 , 取 恒成立,即 k ? x ?1 x x ?1 x ? 1 ? ln( x ? 1) h( x ) ? [1 ? ln( x ? 1)] ,则 h( x) ? , x x2 1 x ? ? 0, 再取 g ( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 1), 则 g ?( x) ? 1 ? x ?1 x ?1
( Ⅱ ) 当 x ? 0 时 , f ( x) ? 故 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,新|课 |标|第 |一| 网 而 g (1) ? ? ln 2 ? 0, g (2) ? 1 ? ln 3 ? 0, g (3) ? 2 ? 2ln 2 ? 0 , 故 g ( x) ? 0 在 (0, ??) 上存在唯一实数根 a ? (2,3), a ? 1 ? ln(a ? 1) ? 0 , 故 x ? (0, a) 时, g ( x) ? 0; x ? (a, ??) 时, g ( x) ? 0,

-9-

故 h( x) min ?

a ?1 ?1 ? ln(a ? 1)? ? a ? 1? (3, 4), k ? 3, 故 kmax ? 3 a 1 ? ln( x ? 1) 3 3x 3 3 ? ( x ? 0) ? ln( x ? 1) ? ?1 ? 2 ? ? 2? x x ?1 x ?1 x ?1 x

(3)由(2)知:

令 x ? n(n ? 1), ln[1 ? n(n ? 1)] ? 2 ? 又 ln[(1 ? 1? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ? (1 ? 3 ? 4) ?

3 1 1 ? 2 ? 3( ? ), n(n ? 1) n n ?1
? (1 ? n(n ? 1))]

? ln(1 ? 1? 2) ? ln(1 ? 2 ? 3) ?

? ln(1 ? n ? (n ? 1))

1 1 1 1 1 ? 2n ? 3[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? )] 2 2 3 n n ?1 1 3 ? 2n ? 3(1 ? ) ? 2n ? 3 ? ? 2n ? 3 n ?1 n ?1
即: (1 ? 1? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ? (1 ? 3 ? 4) ?

? (1 ? n(n ?1)) ? e2n?3

- 10 -


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