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2018-2019学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.1 平均变化率作业 苏教版选修1-1

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3.1.1 平均变化率
[基础达标] 1. 如图,函数 y=f(x)在 A,B 两点间的平均变化率为________.

解析:∵A(1,3),B(3,1),

∴Δ

x=3-1=2,Δ

y=1-3=-2.∴平均变化率Δ Δ

xy=-22=-1.

答案:-1

2.一质点的运动方程是 s=4-2t2,则在时间段[1,1+Δ t]内相应的平均速度为

________;当 Δ t=0.1 时,相应的平均速度为________.

解析:∵Δ s=4-2(1+Δ t)2-(4-2×12)

=-2[2Δ t+(Δ t)2],

∴平均速度为Δ Δ

st=-2(2+Δ

t)=-4-2Δ

t.

当 Δ t=0.1 时,ΔΔ ts=-4-2×0.1=-4.2.

答案:-4-2Δ t -4.2 3.函数 f(x)=5x+4,①在区间[0,1]上的平均变化率是________;②在任一区间[a,

b](a<b)上的平均变化率是________.

解析:①Δ x=1-0=1,Δ y=f(1)-f(0)=9-4=5.

∴ΔΔ

y x=5.

②Δ x=b-a,Δ y=f(b)-f(a)=(5b+4)-(5a+4)=5(b-a),

∴ΔΔ

y x=

b-a b-a

=5.

答案:5 5

4.在 x=1 附近,取 Δ x=0.3,在四个函数①y=x,②y=x2,③y=x3,④y=1x中,平

均变化率最大的是________.

解析:①的平均变化率为 1,②的平均变化率为 2.3,③的平均变化率为 3.99,④的平

均变化率约为-0.77.故③的平均变化率最大.

答案:③ 5.函数 f(x)=x2-x 在区间[-2,t]上的平均变化率是 2,则 t=________.

解析:ΔΔ

yf x=

t -f - t- -

=2,

解得 t=5 或 t=-2(舍去).

答案:5

6.甲、乙二人跑步路程与时间关系如图所示,________跑得快.

1

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解析:乙跑得快.因为在相同的时间内,甲跑的路程小于乙跑的路程,即甲的平均速度

比乙的平均速度小.

答案:乙

7.一正方形铁板在 0 ℃时,边长为 10 cm,加热后会膨胀,当温度为 t ℃时,边长变

为 10(1+at) cm,a 为常数.试求在这一过程中铁板面积对温度的平均膨胀率.

解:铁板面积对温度的平均膨胀率即为铁板面积对温度的平均变化率.

铁板面积 s 的增量 Δ s=[10(1+at)]2-102=100(a2t2+2at).

则当温度从

0

℃变化到

t

℃这一过程中,铁板面积对温度的平均膨胀率为Δ Δ

st=

a2t2+2at t-0

=100a2t+200a.

8.将半径为 R 的球加热,若半径从 R=1 到 R=m 时球的体积膨胀率为283π ,求 m 的值.

解:Δ V=43π m3-43π ×13=43π (m3-1),



∴Δ Δ

VR=

3

m3- m-1

=283π .∴m2+m+1=7.

∴m=2 或 m=-3(舍).

[能力提升]

1.函数 y=3x2-2x-8 在 x1=3 处有增量 Δ x=0.5,则 f(x)在 x1 到 x1+Δ x 上的平均 变化率是________.

解析:Δ y=3×(3+0.5)2-2(3+0.5)-8-(3×32-2×3-8)=8.75.∴平均变化率为

Δ Δ

y 8.75 x= 0.5 =17.5.

答案:17.5

2.甲、乙两厂污水的排放量 W 与时间 t 的关系如图所示,治污效果较好的是________.

解析:由图象可知 W1(0)<W2(0),W1(t0)=W2(t0),

∴0>W1

t0

-W1 t0

>W2

t0

-W2 t0



从而|W2

t0

-W2 t0

|>|W1

t0

-W1 t0

|.

∴乙在[0,t0]上的平均变化率绝对值较大.

因此乙厂治污效果较好.

答案:乙

3.求函数 y=sin x 在 0 到π6 之间和π3 到π2 之间的平均变化率,并比较它们的大小.

解:在

0

到π6

sinπ6 -sin

之间的平均变化率为

π 6

-0

0 =

3



π

在π3 到π2 之间的平均变化率为

2

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sinπ2 -sin

π 3

π 2

-π3



-3

π

.

∵2- 3<1,∴ 3 > π

-3 . π

∴函数 y=sin x 在 0 到π6 之间的平均变化率为π3 ,在π3 到π2 之间的平均变化率为

- π

3

,且在 0 到π6 之间的平均变化率较大.

4.(创新拓展)假设在生产 8 到 30 台机器的情况下,生产 x 台机器的成本是 c(x)=x3

-6x2+15x(元),而售出 x 台的收入是 r(x)=x3-3x2+12x(元),则生产并售出 10 台至 20

台的过程中平均利润是多少元?

解:由题意,生产并售出 x 台机器所获得的利润是: L(x)=r(x)-c(x)=(x3-3x2+12x)-(x3-6x2+15x)=3x2-3x,故所求的平均利润为:

L

L =

-L 20-10

870 = 10 =87(元).

3


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