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抛物线专题复习讲义及练习(答案)

时间:2018-07-01


抛物线
1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ( p ? 0 ): 2.抛物线的焦半径、焦点弦 ① y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦半径 PF ? x ? P ; x 2 ? 2 py( p ? 0) 的焦半径 PF ? y ? P ; 2 2 ② 过焦点的所有弦中最短的弦,也被称做通径.其长度为 2p. ③ AB 为抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点弦,则 x A xB ? 考点 1 抛物线的定义 题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换 [例 1 ]已知点 P 在抛物线 y = 4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线焦点 距离之和的最小值为 【解题思路】将点 P 到焦点的距离转化为点 P 到准线的距离 [解析]过点 P 作准线的垂线 l 交准线于点 R,由抛物线的定义知, PQ ? PF ? PQ ? PR ,当 P 点为抛物线与垂线 l 的交点时, PQ ? PR 取得最小值,最小值为点 Q 到准线的距离 ,因准 线方程为 x=-1,故最小值为 3 【名师指引】 灵活利用抛物线的定义, 就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离 之间的转换,一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关 【新题导练】 1.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 P ,y1 ),P2 ( x2,y2 ) , P ,y3 ) 在抛 1 ( x1 3 ( x3
2
2

p2 , y A yB ? ? p 2 , | AB | = xA ? xB ? p 4

物线上,且 | P 1F | 、 | P 2F | 、 | P 3 F | 成等差数列, 则有 A. x1 ? x2 ? x3 C. x1 ? x3 ? 2 x2 [解析]C B. y1 ? y2 ? y3 D. y1 ? y3 ? 2 y2





由抛物线定义, 2( x2 ?
2

p p p ) ? ( x1 ? ) ? ( x3 ? ), 即: x1 ? x3 ? 2 x2 . 2 2 2

2. 已知点 A(3,4), F 是抛物线 y ? 8x 的焦点,M 是抛物线上的动点,当 MA ? MF 最小时, M 点坐标是 A. (0, 0) B. (3, 2 6 ) C. ( 2, 4) ( )

D. (3, ? 2 6 )

[解析] 设 M 到准线的距离为 MK ,则 | MA | ?MF |? MA ? MK ,当 MA ? MK 最小时, M 点坐标是 ( 2, 4) ,选 C



考点 2 抛物线的标准方程 题型:求抛物线的标准方程 [例 2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程: (1)过点(-3,2) (2)焦点在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上

【解题思路】以方程的观点看待问题,并注意开口方向的讨论. [解析] (1)设所求的抛物线的方程为 y 2 ? ?2 px 或 x 2 ? 2 py( p ? 0) , ∵过点(-3,2) ∴p? ∴ 4 ? ?2 p(?3)或9 ? 2 p ? 2

2 9 或p ? 3 4
2

∴抛物线方程为 y ? ?

4 9 x 或 x2 ? y , 2 3
1 9 , 后者的准线方程为 y ? ? 3 8

前者的准线方程是 x ?

(2)令 x ? 0 得 y ? ?2 ,令 y ? 0 得 x ? 4 , ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时 ,

p ? 4, 2 p ?2 2

∴ p ? 8 ,此时抛物线方程 y 2 ? 16 x ;焦点为(0,-2)时
2 ∴ p ? 4 ,此时抛物线方程 x ? ?8 y .

∴所求抛物线方程为 y 2 ? 16 x 或 x ? ?8 y ,对应的准线方程分别是 x ? ?4, y ? 2 .
2

【名师指引】对开口方向要特别小心,考虑问题要全面 【新题导练】

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点重合,则 p 的值 3.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与双曲线 3
2

[解析]

p ? 3 ?1 ? p ? 4 2

4. 若抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点,M 为准线与 Y 轴的交点,A 为抛物线上一 点,且 | AM |? 17,| AF |? 3 ,求此抛物线的方程 [解析] 设点 A' 是点 A 在准线上的射影,则 | AA'|? 3 ,由勾股定理知 | MA'|? 2 2 ,点 A 的 横坐标为 ( 2 2 ,3 ?

p ), 代入方程 x 2 ? 2 py 得 p ? 2 或 4, 抛物线的方程 x 2 ? 4 y 或 x 2 ? 8 y 2

考点 3 抛物线的几何性质 题型:有关焦半径和焦点弦的计算与论证



[例 3 ]设 A、B 为抛物线 y 点坐标为__________.

2

? 2 px 上的点,且 ?AOB ? 90? (O 为原点),则直线 AB 必过的定

【解题思路】由特殊入手,先探求定点位置 [解析]设直线 OA 方程为 y ? kx ,由 ?

? y ? kx
2 ? y ? 2 px

解出 A 点坐标为 (

2p 2p , ) k2 k

1 ? k ( x ? 2 pk 2 ) ?y ? ? x 2 y ? 2 pk ? ? 解出 B 点坐标为 ,直线 AB 方程为 ,令 ( 2 pk , ? 2 pk ) k ? 2 1 ? k 2 ? y ? 2 px ?
y ? 0 得 x ? 2 p ,直线 AB 必过的定点 (2 p, 0)
【名师指引】 (1)由于是填空题,可取两特殊直线 AB, 求交点即可; (2)B 点坐标可由 A 点坐标用 ?

1 换 k 而得。 k
2

【新题导练】 6. 若直线 ax ? y ? 1 ? 0 经过抛物线 y ? 4 x 的焦点,则实数 a ? [解析]-1 7.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于两点 A、 B,若 A、 B 在抛物线准线上的射影为 A1 , B1 , 则 ?A1 FB1 ? A. 45 [解析]C 基础巩固训练 1.过抛物线 y ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等于
2
?

( B. 60
?

)

C. 90

?

D.

120?

a2 ? 2a ? 4(a ? R) ,则这样的直线( )
A.有且仅有一条 [解析]C B.有且仅有两条 C.1 条或 2 条 D.不存在

| AB |? xA ? xB ? p ? a2 ? 2a ? 5 ? (a ? 1)2 ? 4 ? 4 ,而通径的长为 4.
2

2.在平面直角坐标系 xOy 中,若抛物线 x ? 4 y 上的点 P 到该抛物线焦点的距离为 5,则点 P 的纵坐标为 ( A. 3 ) B. 4 C. 5 D. 6

[解析] B 利用抛物线的定义,点 P 到准线 y ? ?1 的距离为 5,故点 P 的纵坐标为 4. 3.两个正数 a、b 的等差中项是 的焦点坐标为( )

9 2 ,一个等比中项是 2 5 ,且 a ? b, 则抛物线 y ? (b ? a) x 2



A. (0, ? )

1 4

B. (0, )

1 4

C. ( ? , 0)

1 2

D. ( ? , 0)

1 4

[解析] D. a ? 5, b ? 4, b ? a ? ?1 4. 如果 P1 ,P2 , ?,P8 是抛物线 y 2 ? 4x 上的点,它们的横坐标依次为 x1 , x2 ,?, x8 , F 是抛物线的焦点, 若 x1, x2 ,?, xn (n ? N ? ) 成等差数列且 x1 ? x2 ? ? ? x9 ? 45 , 则| P 5F |= ( ) . A.5 [解析]B B.6 C. 7 D.9

? xi ? 根据抛物线的定义,可知 PF i

p ? xi ? 1 ( i ? 1 ,2,??,n) , 2

? x1, x2 ,?, xn (n ? N ? ) 成等差数列且 x1 ? x2 ? ? ? x9 ? 45 , x5 ? 5 , | P5 F | =6
5、抛物线 y 2 ? 4x的焦点为 F , 准线为 l,l 与 x 轴相交于点 E,过 F 且倾斜角等于 60°的 直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A,AB⊥l,垂足为 B,则四边形 ABEF 的面积等 于( ) A. 3 3 B. 4 3 C. 6 3 D. 8 3

[解析] C. 过 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 H,设 A(m, n) ,则

AF ? AB ? m ? 1, FH ? OH ? OF ? m ? 1 ,?m ? 1 ? 2(m ? 1) ? m ? 3, n ? 2 3
四边形 ABEF 的面积= [ 2 ? (3 ? 1)] ? 2 3 ? 6 3 6、设 O 是坐标原点, F 是抛物线 y ? 4 x 的焦点, A 是抛物线上的一点, FA 与 x 轴正向
2

1 2

的夹角为 60 ,则 OA 为 [解析] 21 .



过 A 作 AD ? x 轴于 D,令 FD ? m ,则 FA ? 2 m 即 2 ? m ? 2m ,解得 m ? 2 .

? A(3,2 3) ? OA ? 32 ? (2 3 ) 2 ? 21
综合提高训练 7.在抛物线 y ? 4 x 2 上求一点,使该点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离为最短,求该点的坐标 [解析]解法 1:设抛物线上的点 P( x,4 x ) ,
2

1 | 4( x ? ) 2 ? 4 | 4 17 | 4x ? 4x ? 5 | 2 ? ? 点 P 到直线的距离 d ? , 17 17 17
2

当且仅当 x ?

1 1 ( , 1) 时取等号,故所求的点为 2 2



解法 2:当平行于直线 y ? 4 x ? 5 且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求,设该直 线方程为 y ? 4 x ? b ,代入抛物线方程得 4 x ? 4 x ? b ? 0 ,
2

由 ? ? 16 ? 16b ? 0 得 b ? ?1, x ?

1 1 ( , 1) ,故所求的点为 2 2

8. 已知抛物线 C : y ? ax2 ( a 为非零常数)的焦点为 F ,点 P 为抛物线 c 上一个动点,过 点 P 且与抛物线 c 相切的直线记为 l . (1)求 F 的坐标; (2)当点 P 在何处时,点 F 到直线 l 的距离最小? 解: (1)抛物线方程为 x ?
2

1 y a

故焦点 F 的坐标为 (0,

1 ) 4a

2 (2)设 P( x0 , y0 ) 则 y0 ? ax0

? y' ? 2ax, ?在P点处抛物线(二次函数 )的切线的斜率k ? 2ax0
2 直线 l 的方程是 y ? ax0 ? 2ax0 ( x ? x0 ) 2 即 2ax0 x -y ? ax0 ?0

0? ?d ?

1 2 ? ax0 4a
2 2

(2ax0 ) ? (?1)

?

1 1 2 4a 2 x0 ? 1 ? . 4a 4a

当且仅当x0 ? 0 时上式取“=”此时P的坐标是 (0,0)

?当P在(0,0) 处时,焦点 F到切线L的距离最小 .
2 9. 设抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点.点

C 在抛物线的准线上,且 BC∥ X 轴.证明直线 AC 经过原点 O.
2 证明:因为抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )的焦点为 F ?

?p ? , 0 ? ,所以经过点 F 的直线 AB 的方程 ?2 ?

可设为

x ? my ?

p ,代人抛物线方程得 2

y 2 ? 2 pmy ? p2 ? 0 .
若记 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 y1 , y2 是该方程的两个根,所以

y1 y2 ? ? p 2 .



因为 BC∥ X 轴,且点 C 在准线 x ? ? 故直线 CO 的斜率为 k ?

p ? p ? 上,所以点 C 的坐标为 ? ? , y2 ? , 2 ? 2 ?

y2 2 p y1 ? ? . p y1 x1 ? 2

即 k 也是直线 OA 的斜率,所以直线 AC 经过原点 O. 10.椭圆

9 x2 y2 ? 2 ? 1 上有一点 M(-4, )在抛物线 y 2 ? 2 px (p>0)的准线 l 上,抛物 2 5 a b

线的焦点也是椭圆焦点. (1)求椭圆方程; (2)若点 N 在抛物线上,过 N 作准线 l 的垂线,垂足为 Q 距离,求|MN|+|NQ|的最小值.

解: (1)∵

x2 y2 ? 2 ? 1 上的点 M 在抛物线 y 2 ? 2 px 2 a b

(p>0)的准线 l 上,抛物线的焦点也是椭圆焦点. ∴c=-4,p=8??① ∵M(-4,

9 )在椭圆上 5



16 81 ? ? 1 ??② 2 a 25b 2
2 2 2

∵ a ? b ? c ??③ ∴由①②③解得:a=5、b=3

∴椭圆为

x2 y2 ? ?1 25 9
2

由 p=8 得抛物线为 y ? 16x 设椭圆焦点为 F(4,0) , 由椭圆定义得|NQ|=|NF| ∴|MN|+|NQ|≥|MN|+|NF|=|MF| = (?4 ? 4) ? ( ? 0) ?
2 2

9 5

41 ,即为所求的最小值. 5



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