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抛物线专题复习讲义及练习(答案)

时间:2019-03-17

抛物线

1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ( p ? 0 ):

2.抛物线的焦半径、焦点弦

① y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦半径 PF ? x ? P ; x 2 ? 2 py( p ? 0) 的焦半径 PF ? y ? P ;

2

2

② 过焦点的所有弦中最短的弦,也被称做通径.其长度为 2p.

③ AB 为抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点弦,则 xAxB ?

p2 4

, yA yB ? ? p2 , | AB | = xA ? xB ? p

考点 1 抛物线的定义 题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换 [例 1 ]已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线焦点 距离之和的最小值为 【解题思路】将点 P 到焦点的距离转化为点 P 到准线的距离
[解析]过点 P 作准线的垂线 l 交准线于点 R,由抛物线的定义知,PQ ? PF ? PQ ? PR ,当

P 点为抛物线与垂线 l 的交点时, PQ ? PR 取得最小值,最小值为点 Q 到准线的距离 ,因准
线方程为 x=-1,故最小值为 3 【名师指引】灵活利用抛物线的定义,就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离 之间的转换,一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关 【新题导练】

1.已知抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 P1(x1,y1),P2 (x2,y2 ) , P3 (x3,y3 ) 在抛

物线上,且| P1F |、| P2F | 、| P3F | 成等差数列, 则有

()

A. x1 ? x2 ? x3

B. y1 ? y2 ? y3

C. x1 ? x3 ? 2x2

D. y1 ? y3 ? 2 y2

[解析]C

由抛物线定义, 2(x2

?

p) 2

?

( x1

?

p) 2

? (x3

?

p ), 2

即:

x1

?

x3

?

2x2



2. 已知点 A(3,4),F 是抛物线 y 2 ? 8x 的焦点,M 是抛物线上的动点,当 MA ? MF 最小时,

M 点坐标是

()

A. (0, 0) B. (3, 2 6)

C. (2, 4) D. (3, ? 2 6)

[解析] 设 M 到准线的距离为 MK ,则| MA| ?MF |? MA ? MK ,当 MA ? MK 最小时,

M 点坐标是 (2, 4) ,选 C



考点 2 抛物线的标准方程 题型:求抛物线的标准方程

[例 2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程:

(1)过点(-3,2)

(2)焦点在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上

【解题思路】以方程的观点看待问题,并注意开口方向的讨论.

[解析] (1)设所求的抛物线的方程为 y2 ? ?2 px 或 x2 ? 2 py( p ? 0) ,

∵过点(-3,2)

∴ 4 ? ?2 p(?3)或9 ? 2 p ? 2

∴ p ? 2 或p ? 9

3

4

∴抛物线方程为 y2 ? ? 4 x 或 x2 ? 9 y ,

3

2

前者的准线方程是 x ? 1 , 后者的准线方程为 y ? ? 9

3

8

(2)令 x ? 0 得 y ? ?2 ,令 y ? 0 得 x ? 4 ,

∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时 , p ? 4 , 2
∴ p ? 8 ,此时抛物线方程 y2 ? 16x ;焦点为(0,-2)时 p ? 2 2
∴ p ? 4 ,此时抛物线方程 x2 ? ?8 y . ∴所求抛物线方程为 y2 ? 16x 或 x2 ? ?8 y ,对应的准线方程分别是 x ? ?4, y ? 2 .
【名师指引】对开口方向要特别小心,考虑问题要全面 【新题导练】
3.若抛物线 y2 ? 2 px 的焦点与双曲线 x2 ? y2 ? 1的右焦点重合,则 p 的值 3
[解析] p ? 3 ? 1 ? p ? 4 2
4. 若抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点,M 为准线与 Y 轴的交点,A 为抛物线上一

点,且| AM |? 17 ,| AF |? 3 ,求此抛物线的方程

[解析] 设点 A' 是点 A 在准线上的射影,则| AA'|? 3 ,由勾股定理知| MA'|? 2 2 ,点 A 的

横坐标为 (2 2,3 ? p ) ,代入方程 x2? 2 py 得 p ? 2 或 4,抛物线的方程 x2? 4 y 或 x2? 8 y 2
考点 3 抛物线的几何性质 题型:有关焦半径和焦点弦的计算与论证



[例 3 ]设 A、B 为抛物线 y 2 ? 2 px 上的点,且 ?AOB ? 90? (O 为原点),则直线 AB 必过的定

点坐标为__________. 【解题思路】由特殊入手,先探求定点位置

[解析]设直线

OA

方程为

y

?

kx

,由

? ? ?

y y

? kx 2 ?2

px

解出

A

点坐标为

(

2 k

p
2

,

2p k

)

? ? ?

y

?

?

1 k

x

??y 2 ? 2 px

解出

B

点坐标为 (2

pk 2,?2

pk)

,直线

AB

方程为

y

?

2 pk

?

?

k(x ? 2 pk2) 1? k2

,令

y ? 0 得 x ? 2 p ,直线 AB 必过的定点 (2 p, 0)

【名师指引】(1)由于是填空题,可取两特殊直线 AB, 求交点即可;(2)B 点坐标可由 A

点坐标用 ? 1 换 k 而得。 k
【新题导练】

6. 若直线 ax ? y ?1 ? 0 经过抛物线 y2 ? 4x 的焦点,则实数 a ?

[解析]-1

7.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于两点 A、B,若 A、B 在抛物线准线上的射影为 A1, B1 ,

则 ?A1FB1 ? A. 45? B. 60?

C. 90?

D. 120?

()

[解析]C

基础巩固训练

1.过抛物线 y2 ? 4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等于

a2 ? 2a ? 4(a ? R) ,则这样的直线( )

A.有且仅有一条 B.有且仅有两条

C.1 条或 2 条

D.不存在

[解析]C

| AB |? xA ? xB ? p ? a2 ? 2a ? 5 ? (a ? 1)2 ? 4 ? 4 ,而通径的长为 4.

2.在平面直角坐标系 xOy 中,若抛物线 x2 ? 4 y 上的点 P 到该抛物线焦点的距离为 5,则点

P 的纵坐标为 ( )

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

[解析] B 利用抛物线的定义,点 P 到准线 y ? ?1的距离为 5,故点 P 的纵坐标为 4.

3.两个正数 a、b 的等差中项是 9 ,一个等比中项是 2 5 ,且 a ? b, 则抛物线 y2 ? (b ? a)x 2
的焦点坐标为( )



A. (0, ? 1) B. (0, 1) C. (? 1 , 0)

4

4

2

[解析] D. a ? 5,b ? 4,b ? a ? ?1

D. (? 1 , 0) 4

4. 如果 P1 ,P2 ,…,P8 是抛物线 y2 ? 4x 上的点,它们的横坐标依次为 x1 ,x2 ,…,x8 ,

F 是抛物线的焦点,若 x1, x2 ,?, xn (n ? N ?) 成等差数列且 x1 ? x2 ? ? ? x9 ? 45 ,则| P5F | =
( ).

A.5

B.6

C. 7

D.9

[解析]B

根据抛物线的定义,可知

Pi F

? xi

?

p 2

? xi

?1 ( i ? 1,2,……,n),

? x1, x2,?, xn (n ? N ?) 成等差数列且 x1 ? x2 ? ? ? x9 ? 45 , x5 ? 5 ,| P5F | =6 5、抛物线 y2 ? 4x的焦点为 F, 准线为 l,l 与 x 轴相交于点 E,过 F 且倾斜角等于 60°的

直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A,AB⊥l,垂足为 B,则四边形 ABEF 的面积等 于( )

A. 3 3

B. 4 3

C. 6 3

D.8 3

[解析] C. 过 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 H,设 A(m, n) ,则

AF ? AB ? m ?1, FH ? OH ? OF ? m ?1,? m ? 1 ? 2(m ?1)? m ? 3, n ? 2 3

四边形 ABEF 的面积= 1 [2 ? (3 ? 1)]? 2 3 ? 6 3 2
6、设 O 是坐标原点, F 是抛物线 y2 ? 4x 的焦点, A 是抛物线上的一点, FA 与 x 轴正向

的夹角为 60 ,则 OA 为



[解析] 21 . 过 A 作 AD ? x 轴于 D,令 FD ? m ,则 FA ? 2m 即 2 ? m ? 2m ,解得 m ? 2 .

? A(3,2 3) ?OA ? 32 ? (2 3)2 ? 21

综合提高训练 7.在抛物线 y ? 4x2 上求一点,使该点到直线 y ? 4x ? 5 的距离为最短,求该点的坐标

[解析]解法 1:设抛物线上的点 P(x,4x2 ) ,



P

到直线的距离

d

?

|

4x2

?

4x

?

5

|

?

|

4(x

?

1)2 2

?

4

|

?

4

17 ,

17

17

17

当且仅当 x ? 1 时取等号,故所求的点为(1 ,1)

2

2



解法 2:当平行于直线 y ? 4x ? 5 且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求,设该直

线方程为 y ? 4x ? b ,代入抛物线方程得 4x2 ? 4x ? b ? 0 ,

由 ? ?16 ?16b ? 0 得 b ? ?1, x ? 1 ,故所求的点为(1 ,1)

2

2

8. 已知抛物线 C : y ? ax2 ( a 为非零常数)的焦点为 F ,点 P 为抛物线 c 上一个动点,过

点 P 且与抛物线 c 相切的直线记为 l . (1)求 F 的坐标; (2)当点 P 在何处时,点 F 到直线 l 的距离最小?
解:(1)抛物线方程为 x 2 ? 1 y a
故焦点 F 的坐标为 (0, 1 ) 4a
(2)设 P(x0 , y0 ) 则 y0 ? ax02 ? y'? 2ax, ?在P点处抛物线(二次函数 )的切线的斜率 k ? 2ax0 直线 l 的方程是 y ? ax02 ? 2ax0 (x ? x0 ) 即 2ax0x -y ? ax02 ? 0

?d ?

0

?

1 4a

?

ax02

?1

(2ax0 )2 ? (?1)2 4 a

4a2 x02

?1

?

1 4a

.

当且仅当 x0 ? 0 时上式取“=” 此时P的坐标是 (0,0) ?当P在(0,0) 处时,焦点 F到切线L的距离最小.

9. 设抛物线 y2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点.点

C 在抛物线的准线上,且 BC∥X 轴.证明直线 AC 经过原点 O.

证明:因为抛物线

y2

?

2 px (

p

?

0 )的焦点为

F

? ??

p 2

,

0

? ??

,所以经过点

F

的直线

AB

的方程

可设为

x ? my ? p ,代人抛物线方程得 2
y2 ? 2 pmy ? p2 ? 0 .

若记 A? x1, y1 ? , B? x2, y2 ? ,则 y1, y2 是该方程的两个根,所以
y1 y2 ? ? p2 .



因为

BC∥X

轴,且点

C

在准线

x

?

?

p 2

上,所以点

C

的坐标为

? ??

?

p 2

,

y2

? ??



故直线

CO 的斜率为 k

?

y2 ?p

?

2p y1

?

y1 . x1

2

即 k 也是直线 OA 的斜率,所以直线 AC 经过原点 O.

10.椭圆

x a

2 2

?

y2 b2

? 1上有一点 M(-4, 9 )在抛物线 y 2 5

? 2 px (p>0)的准线 l 上,抛物

线的焦点也是椭圆焦点.

(1)求椭圆方程;

(2)若点 N 在抛物线上,过 N 作准线 l 的垂线,垂足为 Q 距离,求|MN|+|NQ|的最小值.

解:(1)∵

x a

2 2

?

y2 b2

? 1上的点 M 在抛物线 y 2

? 2 px

(p>0)的准线 l 上,抛物线的焦点也是椭圆焦点.

∴c=-4,p=8……①

∵M(-4, 9 )在椭圆上 5

∴ 16 a2

?

81 25b 2

? 1 ……②

∵ a2 ? b2 ? c2 ……③

∴由①②③解得:a=5、b=3

∴椭圆为 x 2 ? y 2 ? 1 25 9

由 p=8 得抛物线为 y 2 ? 16 x

设椭圆焦点为 F(4,0),

由椭圆定义得|NQ|=|NF|

∴|MN|+|NQ|≥|MN|+|NF|=|MF|

= (?4 ? 4)2 ? (9 ? 0)2 ? 41 ,即为所求的最小值.

5

5






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