nbhkdz.com冰点文库

幂函数与二次函数 知识点与题型归纳

时间:2015-07-23


●高考明方向 1.了解幂函数的概念. 1 2.结合函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x,y=x 1 2 的图象,

了解它们的变化情况. 3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质. 4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. ★备考知考情 1.幂函数、二次函数的图象与性质的应用是高考命题的 热点. 2.常与一元二次不等式、一元二次方程等知识交汇命题, 考查数形结合思想. 3.题型主要以选择题、填空题为主,另外在解答题中 常与导数的应用综合,属中高档题. 一、知识梳理《名师一号》P21 注意: 知识点一 幂函数 1.定义:形如 y=xα(α∈R)的函数叫幂函数, 其中 x 是自变量,α 是常数.
1

注意:关注定义! 2.幂函数的性质

注意:抓住其在第一象限的图像特征, 结合定义域及奇偶性分析 《名师一号》P22 问题探究 问题 1 幂函数图象有什么特点? (1)幂函数的图象一定会经过第一象限,
2

一定不会经过第四象限, 是否经过第二、三象限,要看函数的奇偶性; (2)幂函数的图象最多只能经过两个象限; (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交, 那么交点一定是原点. 特例:

? ? 1,2,3, , ?1的幂函数的图象和性质
y ? x3
y ? x2 y ? x
y ? x2
1

1 2

图象:

y ? x ?1

性质: 一般地,对于幂函数 y (1) 当 ①

? ? 0 时, 图象都通过点 (0,0),(1,1) ;

? x? ,有如下性质:

3



? ? 1时曲线下凹; 0 ? ? ? 1时曲线上凸. (2) 当? ? 0 时, ① 图象都通过点 (1,1) ; ② 在 (0, ??) 上是减函数;
向右与 x 轴无限接近.

在[0, ??) 上是增函数,

③ 在第一象限内,图象向上与 y 轴无限接近,

注意: 幂函数在其他象限的图象可由幂函数的性质 及奇偶性作出。 作出下列函数的图象 ( 1) y ? x ( 4) y ? x
4 ?1

(2) y ? x

5
? 2 3

(3) y ? x

1 4

(5) y ? x

练习: 作出下列函数的图象 ( 1) y ? x
1 3

(2) y ? x

2 3

4

( 3) y ? x

?

1 2

(4) y ? x

3 2

知识点二 二次函数 1.二次函数的三种形式 一般式:f(x)=ax2+bx+c (a≠0); 顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),顶点坐标为(h,k); 零点式(即两根式) :f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0), x1,x2 为 f(x)的零点. 2.二次函数的性质 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)

R ?4ac-b ? ? ,+∞? ? 4a ? b? ? 在?-∞,-2a?减 ? ? ? b ? 在?-2a,+∞?增 ? ?
2

4ac-b ? ? ?-∞, ? 4a ? ? b? ? 在?-∞,-2a?增 ? ? ? b ? 在?-2a,+∞?减 ? ?
5

2

函数的图象关于 x=-

b 对称 2a

注意: 抓住开口方向、对称轴、顶点及与坐标轴的交点等分析 《名师一号》P22 问题探究 问题 2 如何解决与二次函数有关的不等式恒成立问题? (1)ax2+bx+c>0,a≠0 恒成立的充要条件是 ?a>0, ? 2 ?b -4ac<0. (2)ax2+bx+c<0,a≠0 恒成立的充要条件是 ?a<0, ? 2 ?b -4ac<0. 注意 当题目条件中未说明 a≠0 时, 就要讨论 a=0 和 a≠0 两种情况. 《名师一号》P22 问题探究 问题 3 如何确定二次函数的对称轴? (1)对于二次函数 y=f(x),如果定义域内有不同两点 x1,x2 且 f(x1)=f(x2),那么函数 y=f(x)的图象 x1+x2 关于 x= 对称. 2 (2)二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x,
6

都有 f(a+x)=f(a-x)成立的充要条件是 函数 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称(a 为常数). 二、例题分析: (一)幂函数的图像与性质 例 1.(1) 《名师一号》P22 高频考点 例 1(1) 幂函数 y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数 y=f(x)的 图象是( )

A

B

C

D

令 f(x)=xα,则 4α=2, 1 2 1 ∴α= ,∴f(x)=x .故图象为 C 的图象. 2 答案:C 例 1.(2) (补充)函数 f ( x) ? (m2 ? m ?1) xm ?2m?3 是幂函数, 且当 x ? (0,??) 时是减函数,求实数 m
7
2

[解析] 由题意知 m2-m-1=1, 得 m=-1 或 m=2, 又由题意知 m2-2m-3<0,得 m=2.
注意: 1、立足定义: y
?

? x? 叫幂函数,其中 x 是自变量, ? 是常数.

(1) x 的系数为 1 (2) ? ? 0 时, y ? 1( x ? 0) 2、 《名师一号》P22 高频考点 例 1【规律方法】 (1)幂函数 y=xα 的图象与性质由于 α 的值不同而比较复杂, 一般从两个方面考查: ①α 的正负: α>0 时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升; α<0 时,图象不过原点,在第一象限的图象下降. ②曲线的第一象限的凹凸性: α>1 时,曲线下凸; 0<α<1 时,曲线上凸; α<0 时,曲线下凸. 练习:温故知新 P28 第 4 题
8

例 2. (补充) 幂函数 y=xα (α≠0), 当 α 取不同的正数时, 在区间[0,1] 上它们的图象是一族美丽的曲线 ( 如图 ) .设点 A(1,0) , B(0,1), 连结 AB, 线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y=xα, y=xβ 的图象三等分, 即有 BM=MN=NA.那么, αβ=( )

A.1

B. 2

C.3

D.无法确定

[答案]

A

?1 2? ?2 1? [解析] 由条件知,M?3,3?、N?3,3?, ? ? ? ? 2 1 1 1 1 ? ? 2 ? ? ? ? ?? ? ? ?2? 1 ∴ =?3?α, =?3?β,∴?3?αβ=??3?β?α=?3?α= , 3 ? ? 3 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 3 ∴αβ=1.故选 A.

例 3.(1) 《名师一号》P22

高频考点 例 1(2)

9

2 3 2 ?3?5 ?2?5 ?2?5 设 a=?5? ,b=?5? ,c=?5? , ? ? ? ? ? ? 则 a,b,c 的大小关系是________.

2 5 解析:∵y=x (x>0)为增函数,∴a>c. ?2? ∵y=?5?x(x∈R)为减函数,∴c>b,∴a>c>b. ? ? 答案:a>c>b 注意: 《名师一号》P22 高频考点 例 1【规律方法】 在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的 函数.借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图 象和性质是解题的关键. 例 3.(2)(补充) (1) 温故知新 P28 第 10 题 已知(0.71.3)m<(1.30.7)m,求 m 的范围. (2)比较大小:0.80.7 与 0.70.8.

10

解析:(1)∵0<0.71.3<1,1.30.7>1,∴0.71.3<1.30.7 考察幂函数 y=xm 由(0.71.3)m<(1.30.7)m 知 y=xm 为(0,+∞)上的增函数,∴m>0. (2)指数函数 y=0.8x 是减函数,∴0.80.7>0.80.8 又幂函数 y=x0.8 在第一象限为增函数 ∴0.80.8>0.70.8,∴0.80.7>0.70.8.

(二)二次函数的解析式 例 1.《名师一号》P22 高频考点 例 2 已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x) 的最大值是 8,试确定此二次函数的解析式.

方法一:(利用一般式): 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 4a+2b+c=-1, ? ?a-b+c=-1, 由题意得? 4ac-b2 ? ? 4a =8,

?a=-4, 解得?b=4, ?c=7.

∴所求二次函数为 f(x)=-4x2+4x+7. 方法二:(利用顶点式): 设 f(x)=a(x-m)2+n.
11

∵f(2)=f(-1), ∴抛物线的对称轴为 x= 2+?-1? 1 = . 2 2

1 ∴m= .又根据题意函数有最大值 8,∴n=8. 2 ? 1? ∴y=f(x)=a?x-2?2+8. ? ? ? 1? ∵f(2)=-1,∴a?2-2?2+8=-1,解得 a=-4, ? ? 1 ? ? ∴f(x)=-4?x-2?2+8=-4x2+4x+7. ? ? 方法三:(利用零点式即两根式): 由已知 f(x)+1=0 的两根为 x1=2,x2=-1, 故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即 f(x)=ax2-ax-2a-1. 4a?-2a-1?-a2 又函数有最大值 ymax=8,即 =8. 4a 解得 a=-4 或 a=0(舍). ∴所求函数的解析式为 f(x)=-4x2+4x+7. 注意: 《名师一号》P22 高频考点 例 2【规律方法】 求二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法, 规律如下:

12

(三)二次函数的图象及性质的应用 例 1.(1) 《名师一号》P22 高频考点 例 3(1) 已知 a,b,c∈R,函数 f(x)=ax2+bx+c.若 f(0)=f(4)>f(1), 则( ) A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0

解析:因为 f(0)=f(4)>f(1),所以函数图象应开口向上, b 即 a>0,且其对称轴为 x=2,即- =2,所以 4a+b=0. 2a

13

例 1.(2) 《名师一号》P22 高频考点 例 3(2) 如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分, 图象过点 A(-3,0),对称轴为 x=-1.给出下 面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1; ③a-b+c=0;④5a<b.其中正确的是( ) A.②④ B.①④ C.②③ D.①③

解析:因为图象与 x 轴交于两点,所以 b2-4ac>0, 即 b2>4ac,①正确; b 对称轴为 x=-1,即- =-1,2a-b=0,②错误; 2a 结合图象, 当 x=-1 时, y>0, 即 a-b+c>0,③错误; 由对称轴为 x=-1 知,b=2a.又函数图象开口向下, 所以 a<0,所以 5a<2a,即 5a<b,④正确.

注意: 《名师一号》P23 高频考点 例 3 【规律方法】 分析二次函数的图象,有两个要点: 一是看二次项系数的符号,它决定二次函数图象的开口方 向;
14

二是看对称轴和顶点,它决定二次函数图象的具体位置. 补充:有时还应关注图像与坐标轴的交点. 如:
周练 11—21(2) 21.已知函数 f ( x) ? ln x ?

a ( x ? 1) ( a?R ,a ? 0 ) , x ?1

g ( x) ? x2 ? x .
(2)若 f ( x) 在其定义域内单调递增,求 a 的取值范围; (2) f ?( x) ?

1 a[ x ? 1 ? ( x ? 1)] ? x ( x ? 1)2

1 2a x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? ? ( x ? 0) ………6 分 x ( x ? 1) 2 x( x ? 1)2 f ?( x) ? 0 恒成立. 则 x2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? 0 ?x ? (0, ??) 恒成立.……7 分 (法一)由二次函数的图象(开口向上,过定点 (0,1) ) ?a ? 1 ? 0 可得 a ? 1 ? 0 或 ? ?? ? 0 ?a ? 1 ? 0 则 a ?1或 ? 得 a ? 2. 2 ?(2 ? 2a) ? 4 ? 0 (可验证 a ? 2 时 f ( x ) 在其定义域 (0, ??) 内单调递增) 1 (法二)分离变量 2a ? x ? ? 2 ( x ? 0) x ?
15

1 ?2? 2?2 ? 4 x 所以 2a ? 4 , 则 a ? 2 (可验证 当 a ? 2 时 f ( x ) 在其定义域 (0, ??) 内单调递增)…9 分
又x?

基础测试 5—5
5.已知函数 f ( x) ? ax2 ? (3 ? a) x ? 1, g ( x) ? x ,若对于任一实数 x , f ( x) 与 g ( x) 至少有一个为正数,则实数 a 的取值范围是 ( ) A. [0,3) B.[3,9) C.[1,9) D.[0,9) 问题等价于 ?x ? 0, f ( x) ? ax ? (3 ? a) x ? 1 恒成立
2

(1) a ? 0 a ? 0, (2) 则a ? 0 (注意: 此时函数图象开口向上, 过定点 (0,1) )

(四)二次函数的最值

课后作业 一、 计时双基练 P221 基础 1-9 培优 1 课本 P22 变式思考 1; 二、 计时双基练 P221 基础 10、11;培优 2-4 课本 P22-23 变式思考 2、3 对应训练 1、2 三、 补充详见二次函数专题 预习 第二章 第八节 函数的图像 试卷更正
16

补充 练习 1:已知函数 y ? 4 x ? 3 ? 2 x ? 3 的值域 为 ?1,7? ,则 x 的范围是( ) A. ?2,4? B. (??,0) C. (0,1) ? ?2,4? D. ?? ?,0? ? ?1,2?

答案:D 练习 2: 已知方程 9x-2·3x+3k-1=0 有两个实数解,试求实 数 k 的取值范围.

[解析]
2

令 t=3x,则 t>0.原方程有两个实数解,即方

程 t -2t+3k-1=0 有两个正实数解,则

?Δ=(-2) +4(3k-1)≥0 ?t +t =2>0 ?t t =3k-1>0
1 2 1 2

2



17

1 2 解得 <k≤ . 3 3 练习 3:
2 2 2 1 1 对任意的 x ? R, ( )(4 m?5) x ? 4 x ?3 ? ( ) 4 mx ? m x 恒成立,求 m 的范 3 3 围.



1 ?1 由 题 意 即 对 3 x ? R,(4m ? 5) x2 ? 4x ? 3 ? 4mx ? m2 x2 恒成立 即对任意的 x ? R,



0?







(m2 ? 4m ? 5) x2 ? (4 ? 4m) x ? 3 ? 0 恒成立

? ? m 2 ? 4m ? 5 ? 0 m 2 ? 4m ? 5 ? 0 ?? 或 ? 2 2 ?? ? (4 ? 4m) ? 12(m ? 4m ? 5) ? 0 ? 4 ? 4m ? 0
?m ? 1或m ? ?5 ?m ? 1或m ? ?5 ? ?? 或? m ?1 ? 1 ? m ? 19 ? ? ?1 ? m ? 19

练习 4:已知函数 y ?

1? x ? lg(3 ? 4 x ? x 2 ) 的定义域为 M , 1? x
18

(1)求 M (2)当 x ? M 时,求 f ( x) ? a ? 2 x?2 ? 3 ? 4 x (a ? ?3) 的最小 值.
?1 ? x ? 0且x ? 1 ? 解 (1) 由题可得 ?1 ? x ?3 ? 4 x ? x 2 ? 0 ?
可解得M ? [ ?1,1)
x?2 x (2)? f ( x) ? a ? 2 ? 3? 4 2a 4 = 3(2 x ? ) 2 ? a 2 3 3 1 x ?[?1,1) , ? 2 x ? 2 ,, 2 2a a ? ?3 ,? ? ?2 3 2a 1 3 3 ? ,即 a ? ? 时, f ( x)min = f (?1) = 2a ? , ①若 ? 3 2 4 4 1 2a 3 ? 2 ,即 ?3 ? a ? ? 时, ②若 ? ? 2 3 4 2 2 a 4 所以当 2 x ? ? a, 即 x ? log 2 (? ) 时, f ( x)min = ? a 2 3 3 3

19

? f ( x) min

3 3 ? 2a ? (a ? ? ) ? ? 4 4 ?? ?? 4 a 2 (?3 ? a ? ? 3 ) ? 4 ? 3

20


幂函数与二次函数 知识点与题型归纳.doc

幂函数与二次函数 知识点与题型归纳 - ●高考明方向 1.了解幂函数的概念. 1

...复习(知识点归纳与总结):二次函数与幂函数.doc

2016届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结):二次函数与幂函数_数学_高中教育_...2?抛物线的开口,对称轴位置定义区间三者相互制约,常见的题型中这三者有两定一 ...

二次函数与幂函数知识梳理.doc

二次函数与幂函数知识梳理_数学_高中教育_教育专区。二次函数与幂函数 【考纲...总结升华】可以依据函数系的性质图象变化解答,但作为选择题更多地利用特殊点...

幂函数题型归纳.doc

幂函数知识点归纳及题型总结一、 幂函数定义:对于形如: f? x ? 定义说明: ...,f(x)是: (1)正比例函数; (2)反比例函数; (3)二次函数; (4)幂函数?...

初升高衔接8幂函数,二次函数题型归纳.pdf

初升高衔接8幂函数,二次函数题型归纳 - 初升高第8讲幂函数,二次函数 姓名___ 题型一 幂函数 例1. 已知幂函数f(x)=xα的图象经过点,则f...

2016届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结):二次函数与幂函数_....doc

2016届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结):二次函数与幂函数 - 语文数学英

二次函数和幂函数知识点.doc

二次函数和幂函数知识点 - 教 学 内 容 二次函数与幂函数 1. 二次函数的定义与解析式 (1)二次函数的定义 形如:f(x)=ax2+bx+c_(a≠0)的函数叫作...

二次函数与幂函数典型例题(含答案).doc

“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性 质, 重点解决二次函数在闭区间上的最值问题,此类问题经常与其它知识结合命 题,应注重分类讨论思想与数形结合...

二次函数与幂函数典型例题(含答案).doc

“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性 质, 重点解决二次函数在闭区间上的最值问题,此类问题经常与其它知识结合命 题,应注重分类讨论思想与数形结合...

2.3(2015文)二次函数与幂函数(知识点).doc

2.3(2015文)二次函数与幂函数(知识点) - 2.3 二次函数与幂函数 一、二次函数 1. 二次函数的定义 形如 2. 二次函数的三种表示形式 (1)一般式: (2)...

专题06 二次函数与幂函数知识点.doc

专题06 二次函数与幂函数知识点 - 考点 06 二次函数与幂函数 一、二次函数 1.二次函数的概念 形如 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的函数叫做...

幂函数知识点总结及练习题.doc

幂函数知识点总结及练习题_数学_高中教育_教育专区。幂函数 (1)幂函数的定义:...A.?1,?? ? 1 的定义域是( x ?1 B.?1,?? ? 2 4.二次函数 y ?...

高考文数题型秘籍【07】二次函数与幂函数(解析版).doc

高考文数题型秘籍【07】二次函数与幂函数(解析版)_高考_高中教育_教育专区。...两个要点:一个是看二次项系数的符号,它确定二次函数 图象的开口方向;二是看...

2015高考数学第一轮复习幂函数与二次函数.ppt

4a 2 2a (2)错误.当b=0时,二次函数y=ax2+bx+c是偶函数. (3)错误.幂函数y=x-1不经过点(0,0). (4)错误.幂函数y=x2在定义域上不单调. 答案:(...

...题型解法归纳反馈训练第09讲函数(一次函数、二次函数和幂函数)....doc

18年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第09讲函数(一次函数、二次函数和幂函数)...第09 讲 函数(一次函数、二次函数和幂函数)模型及其应用 【知识要点】 一、...

高考知识点幂函数与二次函数.doc

高考知识点幂函数与二次函数_数学_初中教育_教育专区。高考知识点,例题,真题,专题讲解 第4节 幂函数与二次函数 1 1 最新考纲 1.了解幂函数的概念;结合函数 y...

高考文数热点题型和提分秘籍 专题07 二次函数与幂函数(....doc

高考文数热点题型和提分秘籍 专题07 二次函数与幂函数(含答案解析) - 【高频考点解读】 1.会用二次函数的图象理解、分析、研究二次函数的性质. 2.了解幂函数...

二次函数与幂函数_图文.ppt

填空题T17 [归纳 知识整合] 1.二次函数的...(教材习题改编)如图中曲线是幂函数 y= 1 x 在第...常见的 题型中这三者有两定一不定对称轴的位置,要...

第二章二次函数与幂函数.ppt_图文.ppt

数学R A(理) §2.4 二次函数与幂函数第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 基础...+∞) 基础知识 题型分类 思想方法 练出高分 基础知识自主学习要点梳理知识...

2019年高三理科数学一轮复习:幂函数与二次函数(知识总....doc

2019年高三理科数学一轮复习:幂函数与二次函数(知识总结与习题演练)_数学_高中教育_教育专区。2019年高三理科数学一轮复习:幂函数与二次函数(知识总结与习题演练)...