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江苏省清江中学高二数学下学期期中试题 文解析

时间:2017-03-30

江苏省清江中学 2015—2016 学年度第二学期期中考试 高二数学(文科)试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.只要求写出结果,不必写出计算和推理过程.请 Y 把答案写在答题卡相应位置上. 1.已知集合 U ? ?1, 2,3, 4} , A ? ?1, 2,3} , B ? ?2,3, 4} ,则 CU ( A ? B) = 2.命题“ ?x ? R , x ? 1 ? 0 ”的否定为 3.复数 z ? (1 ? i)(2 ? i) 的实部为 4.已知 f ( . . . C Y

2 ? 1) ? lg x ,则 f (21) =___________________. x

1 (2 x2 ?3 x ?1) 的增区间是____________. 2 6.定义在区间 (?1 , 1) 内的函数 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f (? x) ? lg( x ? 1) ,则 f ( x) ? _____________;
5.函数 f ( x) ? ( )

? 1? 2 7.设奇函数 y=f(x) (x∈R),满足对任意 t∈R 都有 f(t)=f(1-t),且 x∈?0, ?时,f(x)=-x ,则 ? 2?
f(3)+ f ( ? ) 的值等于________.
2 ? ?3x ? 4 x, x ? 0 8.已知 f ( x) ? ? 2 为偶函数,则 ab ? ? ?ax ? bx, x ? 0
3

3 2



9.函数 f(x)=x +sin x+1(x∈R),若 f(a)=2,则 f(-a)的值为________. 10.设偶函数 f(x)对任意 x∈R,都有 f ( x ? 3) ? ?

1 ,且当 x∈[-3,-2]时,f(x)=2x,则 f(113.5) f ( x)

的值是____________. 11.设 n∈N+,一元二次方程 x -4x+n=0 有整数根的充要条件是 n=__________. 12.已知函数 f ( x) ?
2

x ? 1 ? x ? 2 ? a 的定义域为 R,则 a 的取值范围是_____.
f?x1?-f?x2? >0 恒成 x1-x2

13.设函数 f(x)=x|x-a|,若对任意的 x1,x2∈[2,+∞),x1≠x2,不等式 立,则实数 a 的取值范围是________. 14.函数 f ( x) ?| x2 ? x ? t | 在区间 [?1,2] 上的最大值为 4,则实数 t ? .

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过[来源:学*科网]程 或演算步骤.[来源:学*科网]

1

15.(本题满分 14 分)已知复数 z=1+i,若 16 . ( 本 题 满 分 14

z2+az+b =1-i,求实数 a,b 的值. z2-z+1

分 ) 已 知 集 合

A ? ? |x ( ? x 6 )? x(

? a 2? , ? 5集 ) 合0

2 B ? x|? ?(a ? 2) ? x ? ? ? (2a ? x) ? 0 .

?

?

⑴若 a ? 5 ,求集合 A ? B ; ⑵已知 a ?

1 .且“ x ? A ”是“ x ? B ”的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 2

17. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? a | x ? 1| , a 是实数. (1)若函数 f ( x) =0 有解,求 a 的取值范围; (2)当 a ? ?1 时,求函数 f ( x) 的值域. 18. (本题满分 16 分)f(x)的定义域为(0,+∞),且对一切 x>0,y>0 都有 f? ?=f(x)-f(y),当 x ?y? >1 时,有 f(x)>0. (1)求 f(1)的值;(2)判断 f(x)的单调性并证明; (3)若 f(6)=1,解不等式 f ( x ? 5) ? f ( ) ? 2 . 19. (本题满分 16 分)某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为 40 元,出厂单价为 60 元,该厂为鼓 励销售商订购,决定当一次订购量超过 100 件时,每多订购一件,订购的全部服装的出厂单价就降低 0.02 元,根据市场调查,销售商一次订购量不会超过 500 件. (1)设一次订购量为 x 件,服装的实际出厂单价为 P 元,写出函数 P=f(x)的表达式; (2)当销售商一次订购 450 件服装时,该服装厂获得的利润是多少元? 20.(本题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? x2 ? 1, g ( x) ? a | x ? 1| . (1)若关于 x 的方程 | f ( x) |? g ( x) 只有一个实数解,求实数 a 的取值范围; (2)若当 x ? R 时,不等式 f ( x) ≥ g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)求函数 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) 在区间 [?2, 2] 上的最大值(直接写出结果 ,不需给出演算步骤 ) . ...... ........

?x?

1 x

2

高二数学(文科)试卷答案 1、 ?1,4} 2、“ ?x ? R , x ? 1 ? 0 ” 3、 3 4、-1 5、 ? ??, 6、

? ?

3? ? 4?
11、3 或 4

2 1 lg(1 ? x) ? lg(1 ? x) 3 3
13、a≤2

1 7、- 4

8、 12

9、0

1 10、 5

12、 (??, ?1]

14、2 或

15 4

15、解:∵z=1+i, z2+az+b (1+i)2+a(1+i)+b ∴ 2 = z -z+1 (1+i)2-(1+i)+1 (a+b)+(a+2)i = i =(a+2)-(a+b)i=1-i.??8 分 ?a+2=1, ?a=-1, ? ? 根据复数相等的定义得? 解之得? ??14 分 ?-(a+b)=-1, ?b=2. ? ?

16、解:⑴当 a ? 5 时, A ? x ( x ? 6)( x ? 15) ? 0 = ?x | x ? 15orx ? 6? ???2分

?

?

B ? ? x (27 ? x)(10 ? x) ? 0? ? ? x 10 ? x ? 27? .??4分
∴ A ? B ? x 15 ? x ? 27 .?6分

?

?

1 ,∴ 2a ? 5 ? 6 ,∴ A ? ? x x ? 6或x ? 2a ? 5? .???8分 2 2 又 a ? 2 ? 2a ,∴ B ? x 2a ? x ? a 2 ? 2 .??10 分 ∵“ x ? A ”是“ x ? B ”的必要不充分条件,∴ B ? A , 1 ? 1 ?a ? ∴? ,????12 分 解之得: ? a ? 2 .?????14 分 2 2 ?a 2 ? 2 ? 6 ?
⑵∵ x ?

?

?

17、解: (1)函数 f ( x) 的定义域为 [0, ??) .???????1分 由函数 f ( x) =0 有解,即方程 x ? a | x ? 1|? 0 有非负实数解,???????2分 可得 a ? ?

x 在 x ? [0, ??) 上有解,???????3分 | x ? 1|
x 1 1 ≤ ,所以 a 的取值范围是 [? ,0] . ???8 分 | x ? 1| 2 2

因为 x ? 1≥ 2 x ≥ 0 ,所以 0 ≤ [来源:学科网Z-XK]

(2)当 a ? ?1 时, f ( x) ? x ? | x ? 1|? x ? ( x ? 1) ? ?( x ? )2 ? 函数 f ( x) 的值域为 (??, ? ] . ??????14 分[来源:学*科网] 18、解:(1)f(1)=f? ?=f(x)-f(x)=0,x>0.??4 分 x (2)f(x)在(0,+∞)上是增函数.

1 2

3 , x ? [0, ??) , 4

3 4

?x? ? ?

3

证明:设 0<x1<x2,则由 f? ?=f(x)-f(y),得

?x? ?y?

x2 ?x2? ?x2? f(x2)-f(x1)=f? ?,∵ >1,∴f? ?>0. x1 ?x1? ?x1? ∴f(x2)-f(x1)>0,即 f(x)在(0,+∞)上是增函数.????10 分

?36? (3)∵f(6)=f? ?=f(36)-f(6),又 f(6)=1, ?6? 2 ∴f(36)=2,原不等式化为:f(x +5x)<f(36), 又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, x+5>0,

? ?1 ∴? >0, 解得 0<x<4.????16 分 x ? ?x +5x<36,
2

19、解:(1)当 0<x≤100 时,P=60; 当 100<x≤500 时,P=60-0.02(x-100)=62- . 50 60 , 0< x ≤ 100 , x ∈ N , ? 所以 P=? ????8 分 x 62- ,100<x≤500,x∈N. ? 50 ? (2)设销售商一次订购量为 x 件,工厂获得的利润为 L 元,则有 ?20x,0<x≤100,x∈N, 22x- ,100<x≤500,x∈N. ? 50 ? 当 x=450 时,L=5850. 因此,当销售商一次订购 450 件服装时,该服装厂获得的利润是 5850 元.??16 分 20. (1)方程 | f ( x) |? g ( x) ,即 | x2 ? 1|? a | x ? 1| ,变形得 | x ? 1| (| x ? 1| ?a) ? 0 , 显然, x ? 1 已是该方程的根,从而欲原方程只有一解,即要求方程 | x ? 1|? a , 有且仅有一个等于 1 的解或无解 ,结合图形得 a ? 0 .?????4 分 (2)不等式 f ( x) ≥ g ( x) 对 x ? R 恒成立,即 ( x2 ? 1) ≥ a | x ? 1| (*)对 x ? R 恒成立, ①当 x ? 1 时, (*)显然成立,此时 a ? R ; x2 ? 1 x 2 ? 1 ? x ? 1, ( x ? 1), ②当 x ? 1 时, (*)可变形为 a ? ,令 ? ( x) ? ?? | x ? 1| | x ? 1| ??( x ? 1), ( x ? 1). 因为当 x ? 1 时, ? ( x) ? 2 ,当 x ? 1 时, ? ( x) ? ?2 , 所以 ? ( x) ? ?2 ,故此时 a ≤ ?2 . 综合①②,得所求实数 a 的取值范围是 a ≤ ?2 .????8 分

x

?

L=(P-40)x=?

?

x2

? x 2 ? ax ? a ? 1, ( x ≥1), ? (3)因为 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) ?| x2 ? 1| ?a | x ? 1| = ?? x 2 ? ax ? a ? 1, (?1≤ x ? 1), 10 分 ? x 2 ? ax ? a ? 1, ( x ? ?1). ? a ① 当 ? 1, 即a ? 2 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2,1] 上递减,在 [1, 2] 上递增, 2 且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 ,经比较,此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 . a a ② 当 0 ≤ ≤1, 即0 ≤ a ≤ 2 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2, ?1] , [? ,1] 上递减, 2 2 a a2 a ? a ?1, 在 [?1, ? ] , [1, 2] 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 , h( ? ) ? 2 4 2 经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 . a a ③ 当 ?1≤ ? 0,即- 2 ≤ a ? 0 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2, ?1] , [? ,1] 上递减, 2 2
4

a a2 a ? a ?1, 在 [?1, ? ] , [1, 2] 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 , h( ? ) ? 2 4 2 经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 .

a a a ? ?1, 即- 3 ≤ a ? ?2 时,结合图形可知 h( x) 在 [?2, ] , [1, ? ] 上递减, 2 2 2 a a 在 [ ,1] , [? ,2] 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3 ? 0 , h(2) ? a ? 3 ≥ 0 , 2 2 经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 . a 3 当 ? ? , 即a ? ?3 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2,1] 上递减,在 [1, 2] 上递增, 2 2 故此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 h(1) ? 0 . 综上所述,当 a ≥ 0 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 ; 当 ?3 ≤ a ? 0 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 ; 当 a ? ?3 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 0.?????16
④ 当? ≤

3 2

5


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