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最新-高中数学 24二项分布(二)教案 北师大选修2-3 精品

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2.4 二项分布(第一课时)
教学目标: 理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布 教学重点: 理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布 教学过程 一、复习引入: 1. 已知事件 B 发生条件下事件 A 发生的概率称为事件 A 关于事件 B 的条件概率,记作

P( A | B) .
2. 对任意事件 A 和 B ,若 P( B) ?0 ,则“在事件 B 发生的条件下 A 的条件概率”,记作 P(A

P ( A | B )=
| B),定义为

P (AB) P (B)

3. 事件 B 发生与否对事件 A 发生的概率没有影响,即 P( A | B) ? P( A) . 称 A 与 B 独立 二、讲解新课: 1 独立重复试验的定义: 指在同样条件下进行的,各次之间相互独立的一种试验 2.独立重复试验的概率公式: 一般地,如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 P ,那么在 n 次独立重复试验中这个事
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k k 件恰好发生 k 次的概率 Pn (k ) ? Cn P (1 ? P) n?k .

它是 ? (1 ? P) ? P ? 展开式的第 k ? 1 项
n

例 1.某气象站天气预报的准确率为 80% ,计算(结果保留两个有效数字) : (1)5 次预报中恰有 4 次准确的概率; (2)5 次预报中至少有 4 次准确的概率 解: (1)记“预报 1 次,结果准确”为事件 A .预报 5 次相当于 5 次独立重复试验,根据 n 次 独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率计算公式, 5 次预报中恰有 4 次准确的概率
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4 4 5?4 P ? 0.84 ? 0.41 5 (4) ? C5 ? 0.8 ? (1 ? 0.8)

答:5 次预报中恰有 4 次准确的概率约为 0.41. (2)5 次预报中至少有 4 次准确的概率,就是 5 次预报中恰有 4 次准确的概率与 5 次预报都 准确的概率的和,即
4 4 5?4 5 P?P ? C5 ? 0.85 ? (1 ? 0.8)5?5 5 (4) ? P 5 (5) ? P 5 (4) ? C5 ? 0.8 ? (1 ? 0.8)

? 0.84 ? 0.85 ? 0.410 ? 0.328 ? 0.74

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答:5 次预报中至少有 4 次准确的概率约为 0.74.

例 2. 某车间的 5 台机床在 1 小时内需要工人照管的概率都是

1 , 求 1 小时内 5 台机床中至少 4

2 台需要工人照管的概率是多少?(结果保留两个有效数字) 解:记事件 A =“1 小时内,1 台机器需要人照管” ,1 小时内 5 台机器需要照管相当于 5 次独 立重复试验
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1 5 3 5 4 4 1 1 1 ? (1 ? ) 4 , 1 小时内 5 台机床中恰有 1 台需要工人照管的概率 P 5 (1) ? C5 ? 4 4
1 小时内 5 台机床中没有 1 台需要工人照管的概率 P 5 (0) ? (1 ? ) ? ( ) , 所以 1 小时内 5 台机床中至少 2 台需要工人照管的概率为

P ? 1? ? P 5 (0) ? P 5 (1)? ? 0.37

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答:1 小时内 5 台机床中至少 2 台需要工人照管的概率约为 0.37 . 点评: “至多” , “至少”问题往往考虑逆向思维法 例 3.某人对一目标进行射击,每次命中率都是 0.25,若使至少命中 1 次的概率不小于 0.75, 至少应射击几次? 解:设要使至少命中 1 次的概率不小于 0.75,应射击 n 次
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记事件 A =“射击一次,击中目标” ,则 P( A) ? 0.25 . ∵射击 n 次相当于 n 次独立重复试验,
n ∴事件 A 至少发生 1 次的概率为 P ? 1 ? P n (0) ? 1 ? 0.75 .

3 n 1 n 由题意,令 1 ? 0.75 ? 0.75 ,∴ ( ) ? ,∴ n ? 4 4

1 4 ? 4.82 , 3 lg 4 lg
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∴ n 至少取 5. 答:要使至少命中 1 次的概率不小于 0.75,至少应射击 5 次 课堂小节:本节课学习了 n 次独立重复试验的模型及二项分布 课堂练习: 课后作业: 2.4 二项分布 (第二课时) 教学目标: 了解 n 次独立重复试验的模型及二项分布的简单应用 教学重点: 了解 n 次独立重复试验的模型及二项分布的简单应用 教学过程 一、复习引入: 1. 已知事件 B 发生条件下事件 A 发生的概率称为事件 A 关于事件 B 的条件概率,记作

P( A | B) .

2. 对任意事件 A 和 B ,若 P( B) ?0 ,则“在事件 B 发生的条件下 A 的条件概率”,记作 P(A

| B),定义为

P ( A | B )=

P (AB) P (B)
P( A | B) ? P( A) . 称 A 与 B 独立

3. 事件 B 发生与否对事件 A 发生的概率没有影响,即
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4 独立重复试验的定义: 指在同样条件下进行的,各次之间相互独立的一种试验 5.独立重复试验的概率公式: 一般地,如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 P ,那么在 n 次独立重复试验中这个事
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k k 件恰好发生 k 次的概率 Pn (k ) ? Cn P (1 ? P) n?k .

它是 ? (1 ? P) ? P ? 展开式的第 k ? 1 项
n

二、讲解新课: 例 1.十层电梯从低层到顶层停不少于 3 次的概率是多少?停几次概率最大? 解:依题意,从低层到顶层停不少于 3 次,应包括停 3 次,停 4 次,停 5 次,……,直到停 9 次 ∴从低层到顶层停不少于 3 次的概率
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1 1 3 1 3 1 6 5 1 5 1 4 9 1 9 P ? C9 ( ) ( ) ? C94 ( ) 4 ( )5 ? C9 ( ) ( ) ? ? C9 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 233 3 5 9 0 1 ? (C9 ? C94 ? C9 ? ? C9 )( )9 ? ? 29 ? (C9 ? C9 ? C92 ) ? ( )9 ? (29 ? 46)( )9 ? ? ? 2 2 2 256 k 1 k 1 9?k k 1 9 设从低层到顶层停 k 次,则其概率为 C9 ( ) ( ) ? C9 ( ) , 2 2 2 k 1 9 k ∴当 k ? 4 或 k ? 5 时, C9 最大,即 C9 ( ) 最大, 2 233 答:从低层到顶层停不少于 3 次的概率为 ,停 4 次或 5 次概率最大. 256
例 2.实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,规定 5 局 3 胜制(即 5 局内谁先赢 3 局就 算胜出并停止比赛) . (1)试分别求甲打完 3 局、4 局、5 局才能取胜的概率. (2)按比赛规则甲获胜的概率. 解:甲、乙两队实力相等,所以每局比赛甲获胜的概率为

1 1 ,乙获胜的概率为 . 2 2

记事件 A =“甲打完 3 局才能取胜” ,记事件 B =“甲打完 4 局才能取胜” , 记事件 C =“甲打完 5 局才能取胜” . ①甲打完 3 局取胜,相当于进行 3 次独立重复试验,且每局比赛甲均取胜
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∴甲打完 3 局取胜的概率为 P ( A) ? C3 ( ) ?
3 3

1 2

1 . 8

②甲打完 4 局才能取胜,相当于进行 4 次独立重复试验,且甲第 4 局比赛取胜,前 3 局为 2 胜1负
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∴甲打完 4 局才能取胜的概率为 P( B) ? C3 ? ( ) ?
2 2

1 2

1 1 3 ? ? . 2 2 16

③甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验,且甲第 5 局比赛取胜,前 4 局恰好 2 胜2负
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1 2 1 2 1 3 ? . 2 2 2 16 (2)事件 D =“按比赛规则甲获胜”,则 D ? A ? B ? C , 又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥, 1 3 3 1 ? ? . 故 P( D) ? P( A ? B ? C ) ? P ( A) ? P ( B ) ? P (C ) ? ? 8 16 16 2 1 答:按比赛规则甲获胜的概率为 . 2
∴甲打完 5 局才能取胜的概率为 P(C ) ? C4 ? ( ) ? ( ) ?
2

例 3.一批玉米种子,其发芽率是 0.8.(1)问每穴至少种几粒,才能保证每穴至少有一粒发 芽的概率大于 98% ?(2)若每穴种 3 粒,求恰好两粒发芽的概率. ( lg 2 ? 0.3010 ) 解:记事件 A =“种一粒种子,发芽” ,则 P( A) ? 0.8 , P( A) ? 1 ? 0.8 ? 0.2 , (1)设每穴至少种 n 粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于 98% . ∵每穴种 n 粒相当于 n 次独立重复试验,记事件 B =“每穴至少有一粒发芽” ,则
0 0 n n P(B) ? P n (0) ? Cn 0.8 (1 ? 0.8) ? 0.2 .

∴ P( B) ? 1 ? P( B) ? 1 ? 0.2n . 由题意,令 P( B) ? 98% ,所以 0.2 ? 0.02 ,两边取常用对数得,
n

n lg 0.2 ? lg 0.02 .即 n(lg 2 ? 1) ? lg 2 ? 2 ,
∴n ?

lg 2 ? 2 1.6990 ? ? 2.43 ,且 n ? N ,所以取 n ? 3 . lg 2 ? 1 0.6990

答:每穴至少种 3 粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于 98% . (2)∵每穴种 3 粒相当于 3 次独立重复试验,
2 ∴每穴种 3 粒,恰好两粒发芽的概率为 P ? C3 ? 0.82 ? 0.2 ?? 0.384 ,

答:每穴种 3 粒,恰好两粒发芽的概率为 0.384 课堂小节:本节课学习了 n 次独立重复试验的模型及二项分布的简单应用 课堂练习: 课后作业:
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