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中考数学专题复习一 化归思想问题

时间:2012-05-15


浅议数学思想方法在一次函数中的应用
所谓数学思想方法是对数学知识的本质认识,是从某些具体的数学内容和 对数学的认识过程中提炼上升的数学观点,他在认识活动中被反复运用,带有普 遍的指导意义,是建立数学和用数学解决问题的指导思想;是在数学教学中提出 问题、解决问题过程中,所采用的各种方式、手段、途径等.掌握数学思想方法, 就是掌握数学的精髓,因此要使学生领悟、掌握和熟练地使用数学思想方法,不 是机械的传授.函数是中学数学的重要内容,学生普遍认为函数难学,在教学中 怎样才能取得好的教学效果呢?我们教学中要提升对函数教学整体性和连贯性 的认识,尽量避免走入各种“误区”.下面我就在一次函数教学中用到哪些数学思 想方法谈谈个人的一些做法: 一、待定系数法 先设出式子中的未知系数,再根据条件求出未知系数,从而写出这个式子 的方法,叫做待定系数法.用待定系数法求函数解析式的一般步骤:(1)写出函 数解析式的一般形式; (2)把已知条件代入函数解析式中,得到关于待定系数的方程(组); (3)解方程(组)求出待定系数的值,从而写出函数的解析式. 例:已知一次函数的图象经过点(2,5)和点(-3,-1),求一次函数解析式. 解析: 解析:根据题意设出一次函数解析式为 y=kx+b,然后把两点坐标代入函数 解析式,通过解方程组就可求得待定系数 k 和 b 的值.另外说明一点,遇到实际 问题求解函数解析式时一点要注意自变量的取值范围. 二、数形结合思想方法 “数无形,少直观,形无数,难入微”. “数形结合”是数学中最重要的,也是 最基本的思想方法之一,是解决许多数学问题的有效思想.利用“数形结合”可使 所要研究的问题化难为易,化繁为简,使抽象变得直观. 例:一次函数 y=-x+5的图象不经过哪个象限? 解法一:根据图象性质,y=-x+5 ,过第一、二、四象限,即不过第三象限. 解法二:若忘了一次函数图象性质,可做出此函数的图象,根据函数图象 就可以直观的观察到函数图像不过第三象限. 解法二就利用了数形结合思想方法.在用数形结合思想时注意“数”到“形”的 转化, “形”到“数”的转化.在教材中用函数观点解一元一次方程、 一元一次不等式、 二元一次方程(组)时就用到了数形结合思想方法. 三、方程思想 方程思想就是指对所求数学问题通过解方程(组)使问题得以解决的方法. 在函数及其图象中,方程思想的应用主要体现在运用待定系数法确定函数解析 式. 例:当 m= 时,函数 y=(m-5)xm2-7m+11是正比例函数.

解析: 解析:由正比例函数定义知,x 的系数不等于0,所以 m-5不等于0;x 的次 数是一次, 所以 m2 -7m+11=0.因此通过解方程组就可求出的值.本题利用了方程 思想来求解的. 四、分类讨论思想方法 分类讨论思想是对数学对象进行分类的过程中寻求答案的一种思想方法. 当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时, 需要对这个 量的各种情况进行分类讨论.分类的关键是根据分类的目的,找出分类的对象.分 类既不能重复,也不能遗漏,最后要全面总结. 例如一次函数 y=kx+b 的图象经过哪几个象限,这时就要分四类讨论: (1)当 k>0,b>0时,图象经过一、二、三象限; (2)当 k>0,b<0时,图象经过一、三、四象限; (3)当 k<0,b>0时,图象经过一、二、四象限; (4)当 k<0,b<0时,图象经过二、三、四象限. 五、整体思想方法 整体思想是从问题的整体性质出发, 突出对问题的整体结构的分析和改造, 发现问题的整体结构特征,善于用“集成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整 体,把握它们之间的关联,进行有目的的、有意识的整体处理.整体思想方法在 代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面都有广泛的应用,整体代 入、整体运算、整体设元、整体处理等都是整体思想方法在解数学问题中的具体 运用. 例:已知 y+b 与 x+a(a,b 是常数)成正比例,(1)试说明 y 是 x 的一次 函数;(2)如是 x=3时 y=5;x=2时,y=2,求 y 与 x 的函数关系式. 解决这个问题 (1) 我们就要把 y+b 与 x+a 都看成一个整体, y+b=k(x+a) 时, 设 得出 y=kx+ak-b,从而说明 y 是 x 的一次函数,解决问题(2)时,当我们把握 两组数值代入解析式中后得到一个三元二次方程组, 显然不能求出每个未知数的 值,但我们可以把 ak-b 看作一个整体,就可以 k=3,ak-b=4求出,从而求出与的 函数的关系式是 y=3x-4,在这个问题中两次运用到整体思想方法. 六、模型思想方法 当一个问题可能与某个方程建立关联时,可以构造方程并对方程的性质进行 研究以解决这个问题.如若想找出一次函数 y=kx+b 与 x 轴、y 轴交点,可根据点 在坐标轴上的特征,x 轴上的点纵坐标为0,即当 y=0时,x=-b/k,即与 x 轴交点 (-b/k,0),y.轴上的点横坐标为0,即当 x=0时,y=b,因此与轴交点为(0,b) .这就用 到了方程这一模型思想方法. 七、类比思想方法 当我们要探究一次函数的图象及其变化规律时,由于一次函数的图象可以看 作是由正比例函数的图象平移个单位长度而得到的, 因而可以利用之前已经学习

正比例函数的图象及其变化规律类比得出一次函数的图象及其变化规律. 八、特殊与一般思想方法 要研究正比例函数 y=kx 的图象及其性质时,先让学生画出正比例函数 y=2x 与 y=-2x 的图象, 比较这两个函数的相同点与不同点, 考虑两个函数的变化规律, 由此而得出正比例函数 y=kx(k>0) (或 k<0)的图象及其性质.这就用到了特殊与一 般思想方法. 总之,数学思想方法在教学中是无处不在,我们要善于引导学生掌握并运用 这些思想方法,授人以鱼不如授人以渔,让他们学会举一反三,从而更好地去学 习数学.


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