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第八章 学案43 空间的平行关系

时间:2014-03-26


学案 43

空间的平行关系

导学目标: 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的 有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系.

自主梳理 1.直线 a 和平面 α 的位置关系有________、________、__________,其中________与 ________统称直线在平面外. 2.直线和平面平行的判定: (1)定义:直线和平面没有____________,则称直线和平面平行. (2)判定定理:a?α,b?α,且 a∥b?________; (3)其他判定方法:α∥β,a?α?________. 3.直线和平面平行的性质定理:a∥α,a?β,α∩β=l?________. 4.两个平面的位置关系有________、________. 5.两个平面平行的判定: (1)定义:两个平面没有________,称这两个平面平行; (2)判定定理:a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥α?β∥α; (3)推论:a∩b=P,a,b?α,a′∩b′=P′,a′,b′?β,a∥a′,b∥b′?________. 6.两个平面平行的性质定理: α∥β,a?α?________; α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b?________. 7.与垂直相关的平行的判定: (1)a⊥α,b⊥α?________;(2)a⊥α,a⊥β?________. 自我检测 1.(2011· 湖南四县调研)平面 α∥平面 β 的一个充分条件是( ) A.存在一条直线 a,a∥α,a∥β B.存在一条直线 a,a?α,a∥β C.存在两条平行直线 a,b,a?α,a∥β,b?β,b∥α D.存在两条异面直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α 2.(2011· 烟台模拟)一条直线 l 上有相异三个点 A、B、C 到平面 α 的距离相等,那么直 线 l 与平面 α 的位置关系是( ) A.l∥α B.l⊥α C.l 与 α 相交但不垂直 D.l∥α 或 l?α 3.下列各命题中: ①平行于同一直线的两个平面平行; ②平行于同一平面的两个平面平行; ③一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么这条直线必和另一个相交; ④垂直于同一直线的两个平面平行. 不正确的命题个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.经过平面外的两点作该平面的平行平面,可以作( ) A.0 个 B.1 个 C.0 个或 1 个 D.1 个或 2 个 5.(2011· 南京模拟)在四面体 ABCD 中,M、N 分别是△ACD、△BCD 的重心,则四面 体的四个面中与 MN 平行的是________________.

探究点一 线面平行的判定 例 1 已知有公共边 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不在同一平面内,P、Q 分 别是对角线 AE、BD 上的点,且 AP=DQ.求证:PQ∥平面 CBE.

变式迁移 1 (2011· 长沙调研)在四棱锥 P—ABCD 中,四边形 ABCD 是平行四边形,M、 N 分别是 AB、PC 的中点,求证:MN∥平面 PAD.

探究点二 面面平行的判定 例 2 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N、P 分别是 C1C、B1C1、C1D1 的中点,求 证:平面 MNP∥平面 A1BD.

变式迁移 2 已知 P 为△ABC 所在平面外一点, G1、 G2、 G3 分别是△PAB、 △PCB、 △PAC 的重心. (1)求证:平面 G1G2G3∥平面 ABC; (2)求 S△G1G2G3∶S△ABC.

探究点三 平行中的探索性问题 例 3 (2011· 惠州月考)如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,CD∥AB,AD⊥AB,

1 AD=DC= AB,BC⊥PC. 2 (1)求证:PA⊥BC; (2)试在线段 PB 上找一点 M,使 CM∥平面 PAD,并说明理由.

变式迁移 3

如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,P 是 DD1 的中点, 设 Q 是 CC1 上的点,问:当点 Q 在什么位置时,平面 D1BQ∥平面 PAO?

转化与化归思想综合应用 例 (12 分)一个多面体的三视图和直观图如图所示,其中 M、N 分别是 AB、SC 的中 点,P 是 SD 上的一动点.

(1)求证:BP⊥AC; (2)当点 P 落在什么位置时,AP∥平面 SMC? (3)求三棱锥 B—NMC 的体积.

多角度审题 第(1)问的关键是根据三视图得到 SD⊥平面 ABCD, 第(2)问是一个开放型 问题,可有两种思维方式:一是猜想 P 是 SD 的中点,二是从结论“AP 平行于平面 SMC” 出发找 P 满足的条件. 【答题模板】 (1)证明 连接 BD,∵ABCD 为正方形, ∴BD⊥AC,又 SD⊥底面 ABCD, ∴SD⊥AC,∵BD∩SD=D,∴AC⊥平面 SDB,∵BP?平面 SDB, ∴AC⊥BP,即 BP⊥AC.[4 分] (2)解 取 SD 的中点 P,连接 PN,AP,MN. 1 则 PN∥DC 且 PN= DC.[6 分] 2 1 ∵底面 ABCD 为正方形,∴AM∥DC 且 AM= DC, 2 ∴四边形 AMNP 为平行四边形,∴AP∥MN. 又 AP?平面 SMC,MN?平面 SMC,∴AP∥平面 SMC.[8 分] 1 1 11 1 1 1 1 1 (3)解 VB—NMC=VN—MBC= S△MBC·SD= ·· BC· MB·SD= ×1× × ×2= .[12 分] 3 2 32 2 6 2 2 12 【突破思维障碍】 1.本题综合考查三视图、体积计算及线面平行、垂直等位置关系,首先要根据三视图想 象直观图,尤其是其中的平行、垂直及长度关系,第(1)问的关键是根据三视图得到 SD⊥平 面 ABCD,第(2)问是一个开放型问题,开放型问题能充分考查学生的思维能力和创新精神, 近年来在高考试题中频繁出现这类题目.结合空间平行关系,利用平行的性质,设计开放型 试题是新课标高考命题的一个动向. 2.线线平行与线面平行之间的转化体现了化归的思想方法.

1.直线与平面平行的重要判定方法: (1)定义法; (2)判定定理; (3)面与面平行的性质定理. 2.平面与平面平行的重要判定方法:(1)定义法;(2)判定定理;(3)利用结论:a⊥α,a⊥β ?α∥β. 3.线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化:

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2011· 开封月考)下列命题中真命题的个数为( ) ①直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线,则 l∥α; ②若直线 a 在平面 α 外,则 a∥α;

③若直线 a∥b,直线 b?α,则 a∥α; ④若直线 a∥b,b?α,那么直线 a 就平行于平面 α 内的无数条直线. A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知直线 a、b、c 和平面 m,则直线 a∥直线 b 的一个必要不充分的条件是( ) A.a⊥m 且 b⊥m B.a∥m 且 b∥m C.a∥c 且 b∥c D.a,b 与 m 所成的角相等 3.在空间中,下列命题正确的是( ) A.若 a∥α,b∥a,则 b∥α B.若 a∥α,b∥α,a?β,b?β,则 β∥α C.若 α∥β,b∥α,则 b∥β D.若 α∥β,a?α,则 a∥β 4.设 l1、l2 是两条直线,α、β 是两个平面,A 为一点,有下列四个命题,其中正确命题 的个数是( ) ①若 l1?α,l2∩α=A,则 l1 与 l2 必为异面直线; ②若 l1∥α,l2∥l1,则 l2∥α; ③若 l1?α,l2?β,l1∥β,l2∥α,则 α∥β; ④若 α⊥β,l1?α,则 l1⊥β. A.0 B.1 C.2 D.3 5.若直线 a,b 为异面直线,则分别经过直线 a,b 的平面中,相互平行的有( ) A.1 对 B.2 对 C.无数对 D.1 或 2 对 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2011· 秦皇岛月考)下列四个正方体图形中,A、B 为正方体的两个顶点,M、N、P 分 别为其所在棱的中点,能得出 AB∥面 MNP 的图形的序号是________(写出所有符合要求的 图形序号).

, 7.(2011· 大连模拟 ) 过三棱柱 ABC—A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面 ABB1A1 平行的有______条. 8.

如图所示, ABCD—A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体, M, N 分别是下底面的棱 A1B1, B1C1 a 的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP= ,过 P,M,N 的平面交上底面于 PQ,Q 在 3 CD 上,则 PQ=________. 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)

如图所示,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,M、N 分别是 BC 和 A1B1 的中点. 求证:MN∥平面 AA1C1C.

10.(12 分)(2010· 湖南改编)

如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中点. 在棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F∥平面 A1BE?证明你的结论.

11.(14 分)

(2011· 济宁模拟)如图,四边形 ABCD 为矩形,DA⊥平面 ABE,AE=EB=BC=2,BF⊥ 平面 ACE,且点 F 在 CE 上. (1)求证:AE⊥BE; (2)求三棱锥 D—AEC 的体积; (3)设点 M 在线段 AB 上,且满足 AM=2MB,试在线段 CE 上确定一点 N,使得 MN∥ 平面 DAE.

学案 43

空间的平行关系

自主梳理 1.平行 相交 在平面内 平行 相交 2.(1)公共点 (2)a∥α (3)a∥β 3.a∥l 4.平 行 相交 5.(1)公共点 (3)α∥β 6.a∥β a∥b 7.(1)a∥b (2)α∥β 自我检测 1.D 2.D 3.A 4.C 5.面 ABC 和面 ABD 课堂活动区 例 1 解题导引 证明线面平行问题一般可考虑证线线平行或证面面平行, 要充分利用 线线平行、线面平行、面面平行的相互转化. 证明

如图所示,作 PM∥AB 交 BE 于 M,作 QN∥AB 交 BC 于 N,连接 MN. ∵矩形 ABCD 和矩形 ABEF 全等且有公共边 AB,∴AE=BD. 又∵AP=DQ,∴PE=QB, 又∵PM∥AB∥QN, PM EP QN BQ PM QN ∴ = , = ,∴ = . AB EA DC BD AB DC ∴PM 綊 QN,∴四边形 PQNM 为平行四边形, ∴PQ∥MN 又 MN?平面 BCE,PQ?平面 BCE, ∴PQ∥平面 BCE. 变式迁移 1 证明 取 PD 中点 F,连接 AF、NF、NM. ∵M、N 分别为 AB、PC 的中点, 1 1 ∴NF 綊 CD,AM 綊 CD,∴AM 綊 NF. 2 2 ∴四边形 AMNF 为平行四边形,∴MN∥AF. 又 AF?平面 PAD,MN?平面 PAD, ∴MN∥平面 PAD. 例 2 解题导引 面面平行的常用判断方法有: (1)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这 两个平面平行; (2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行;关键是利用“线线平行”、“线面平行”、 “面面平行”的相互转化. 证明 方法一

如图所示,连接 B1D1、B1C. ∵P、N 分别是 D1C1、B1C1 的中点, ∴PN∥B1D1.

又 B1D1∥BD, ∴PN∥BD. 又 PN?面 A1BD, ∴PN∥平面 A1BD. 同理 MN∥平面 A1BD.又 PN∩MN=N, ∴平面 MNP∥平面 A1BD. 方法二

如图所示,连接 AC1、AC. ∵ABCD—A1B1C1D1 为正方体, ∴AC⊥BD. 又 CC1⊥面 ABCD, BD?面 ABCD, ∴CC1⊥BD,∴BD⊥面 ACC1, 又∵AC1?面 ACC1,∴AC1⊥BD. 同理可证 AC1⊥A1B, ∴AC1⊥平面 A1BD. 同理可证 AC1⊥平面 PMN, ∴平面 PMN∥平面 A1BD. 变式迁移 2

(1)证明 如图所示,连接 PG1、PG2、PG3 并延长分别与边 AB、BC、AC 交于点 D、E、 F,连接 DE、EF、FD,则有 PG1∶PD=2∶3, PG2∶PE=2∶3,∴G1G2∥DE. 又 G1G2 不在平面 ABC 内,DE 在平面 ABC 内, ∴G1G2∥平面 ABC. 同理 G2G3∥平面 ABC. 又因为 G1G2∩G2G3=G2, ∴平面 G1G2G3∥平面 ABC. PG1 PG2 2 2 (2)解 由(1)知 = = ,∴G1G2= DE. PD PE 3 3 1 1 又 DE= AC,∴G1G2= AC. 2 3 1 1 同理 G2G3= AB,G1G3= BC. 3 3 ∴△G1G2G3∽△CAB,其相似比为 1∶3, ∴S△G1G2G3∶S△ABC=1∶9. 例 3 解题导引 近几年探索性问题在高考中时有出现,解答此类问题时先以特殊位置 尝试探究,找到符合要求的点后再给出严格证明.

(1)证明 连接 AC,过点 C 作 CE⊥AB,垂足为 E. 在四边形 ABCD 中,AD⊥AB,CD∥AB,AD=DC, ∴四边形 ADCE 为正方形. ∴∠ACD=∠ACE=45° . 1 ∵AE=CD= AB,∴BE=AE=CE.∴∠BCE=45° . 2 ∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=45° +45° =90° . ∴AC⊥BC. 又∵BC⊥PC,AC?平面 PAC,PC?平面 PAC,AC∩PC=C, ∴BC⊥平面 PAC.∵PA?平面 PAC,∴PA⊥BC. (2)解 当 M 为 PB 的中点时,CM∥平面 PAD.

取 AP 的中点 F,连接 CM,FM,DF. 1 则 FM 綊 AB. 2 1 ∵CD∥AB,CD= AB, 2 ∴FM 綊 CD. ∴四边形 CDFM 为平行四边形.∴CM∥DF. ∵DF?平面 PAD,CM?平面 PAD, ∴CM∥平面 PAD. 变式迁移 3 解 当 Q 为 CC1 的中点时,平面 D1BQ∥平面 PAO. ∵Q 为 CC1 的中点,P 为 DD1 的中点,∴QB∥PA. ∵P、O 为 DD1、DB 的中点, ∴D1B∥PO. 又 PO∩PA=P,D1B∩QB=B,D1B∥平面 PAO,QB∥平面 PAO, ∴平面 D1BQ∥平面 PAO. 课后练习区 1.A [①、②、③错,④对.] 2.D [注意命题之间的相互推出关系;易知选项 D 中,若两直线平行,则其与 m 所成 的角相等, 反之却不一定成立, 故 a、 b 与 m 所成的角相等是两直线平行的必要不充分条件. ] 3.D [A 不正确,由直线与平面平行的判定定理的条件知缺少条件 b?α;B 不正确,由 两个平面平行的判定定理的条件,因 a、b 未必相交,而可能为两条平行直线,则 α、β 未必 平行;C 不正确,因有可能 b?β;D 正确,由两个平面平行的定义及直线与平面平行的定义 知正确.] 4.A [①错,l1?α,l2∩α=A,l1 与 l2 可能相交. ②错,l2 有可能在平面 α 内. ③错,α 有可能与 β 相交. ④错,l1 有可能与平面 β 相交或平行或在平面内.] 5.A

[如图,a,b 为异面直线,过 b 上一点作 a′∥a,直线 a′,b 确定一个平面 β,过 a 上 一点作 b′∥b,b 与 b′确定一个平面 α,则 α∥β.因为 α,β 是惟一的,所以相互平行的平面仅 有一对.] 6.①③ 解析 ①∵面 AB∥面 MNP,∴AB∥面 MNP,

②过 N 作 AB 的平行线交于底面正方形的中心 O, NO?面 MNP, ∴AB 与面 MNP 不平行. ③易知 AB∥MP, ∴AB∥面 MNP; ④过点 P 作 PC∥AB, ∵PC?面 MNP, ∴AB 与面 MNP 不平行. 7.

6 解析 如图,EF∥E1F1∥AB, EE1∥FF1∥BB1,F1E∥A1D, E1F∥B1D, ∴EF、E1F1、EE1、FF1、F1E、E1F 都平行于平面 ABB1A1,共 6 条. 2 2 8. a 3 解析

如图所示,连接 AC, 易知 MN∥平面 ABCD, 又∵PQ 为平面 ABCD 与平面 MNQP 的交线, ∴MN∥PQ. 又∵MN∥AC,∴PQ∥AC, a 又∵AP= , 3 DP DQ PQ 2 2 2 2 ∴ = = = ,∴PQ= AC= a. AD CD AC 3 3 3 9.证明 设 A1C1 中点为 F,连接 NF,FC, ∵N 为 A1B1 中点, 1 ∴NF∥B1C1,且 NF= B1C1, 2

又由棱柱性质知 B1C1 綊 BC,(4 分) 又 M 是 BC 的中点, ∴NF 綊 MC, ∴四边形 NFCM 为平行四边形.

∴MN∥CF,(8 分) 又 CF?平面 AA1C1C, MN?平面 AA1C1C, ∴MN∥平面 AA1C1C.(12 分) 10.解 在棱 C1D1 上存在点 F,使 B1F∥平面 A1BE.证明如下: 如图所示,分别取 C1D1 和 CD 的中点 F,G,连接 B1F,EG,BG,CD1,FG.因为 A1D1 ∥B1C1∥BC,且 A1D1=BC,所以四边形 A1BCD1 是平行四

边形, 因此 D1C∥A1B.又 E,G 分别为 D1D, CD 的中点,所以 EG∥D1C,从而 EG∥A1B. 这说明 A1,B,G,E 四点共面,所以 BG?平面 A1BE.(6 分) 因为四边形 C1CDD1 与 B1BCC1 都是正方形,F,G 分别为 C1D1 和 CD 的中点,所以 FG ∥C1C∥B1B,且 FG=C1C=B1B,因此四边形 B1BGF 是平行四边形,所以 B1F∥BG.而 B1F? 平面 A1BE,BG?平面 A1BE,故 B1F∥平面 A1BE.(12 分) 11.(1)证明 由 AD⊥平面 ABE 及 AD∥BC, 得 BC⊥平面 ABE,BC⊥AE,(1 分) 而 BF⊥平面 ACE,所以 BF⊥AE,(2 分) 又 BC∩BF=B,所以 AE⊥平面 BCE, 又 BE?平面 BCE,故 AE⊥BE.(4 分) (2)解 在△ABE 中,过点 E 作 EH⊥AB 于点 H, 则 EH⊥平面 ACD. 1 由已知及(1)得 EH= AB= 2,S△ADC=2 2. 2 (6 分) 1 4 故 VD—AEC=VE—ADC= ×2 2× 2= .(8 分) 3 3

(3)解 在△ABE 中,过点 M 作 MG∥AE 交 BE 于点 G,在△BEC 中过点 G 作 GN∥BC 交 EC 于点 N, CN BG MB 1 1 连接 MN,则由 = = = ,得 CN= CE. CE BE AB 3 3 由 MG∥AE,AE?平面 ADE, MG?平面 ADE,则 MG∥平面 ADE.(10 分) 再由 GN∥BC,BC∥AD,AD?平面 ADE,GN?平面 ADE, 得 GN∥平面 ADE,所以平面 MGN∥平面 ADE. 又 MN?平面 MGN,则 MN∥平面 ADE.(12 分) 故当点 N 为线段 CE 上靠近点 C 的一个三等分点时, MN∥平面 ADE.(14 分)


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