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【全国卷】2018高三理科数学总复习第七节 数学归纳法(001)

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第七节

数学归纳法

【最新考纲】 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明 一些简单的数学命题.

1.数学归纳法 证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立; (2)(归纳递推)假设 n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当 n= k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整 数 n 都成立. 2.数学归纳法的框图表示

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1.(质疑夯基)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的 打“×”) (1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当 n=1 时结论成 立.( ) )

(2)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.(

(3)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由 n=k 到 n =k+1 时,项数都增加了一项.( )

(4)用数学归纳法证明等式“1+2+22+?+2n+2=2n+3-1”, 验 证 n=1 时,左边式子应为 1+2+22+23.( 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ )

2.(2016· 银川九中月考)在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角 1 线为 n(n-3)条时,第一步检验 n 等于( 2 A.1 B.2 C.3 ) D.0

解析:因为凸 n 边形最小为三角形,所以第一步检验 n 等于 3, 故选 C. 答案:C 1 1 1 1 3.已知 n 为正偶数,用数学归纳法证明 1- + - +?- = 2 3 4 n
? 1 1 1? 2?n+2+n+4+?+2n?时,若已假设 n=k(k≥2 且 k 为偶数)时命题 ? ?

为真,则还需要用归纳假设再证(
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)

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A.n=k+1 时等式成立 B.n=k+2 时等式成立 C.n=2k+2 时等式成立 D.n=2(k+2)时等式成立 解析:k 为偶数,则 k+2 为偶数. 答案:B 4.利用数学归纳法证明不等式 1 1 1 1 + +?+ > (n>1, n+1 n+2 n+n 2

n∈N*)的过程中,用 n=k+1 时左边的代数式减去 n=k 时左边的代 数式的差为________. 1 1 1 解析:当 n=k 时,左边= + +?+ ,① k+1 k+2 k+k 当 n=k+1 时, 左边= ② ②-①得, 答案: 1 1 1 1 1 + - = - . 2k+1 2k+2 k+1 2k+1 2k+2 1 1 1 1 1 + +?+ + + , k+2 k+3 k+k 2k+1 2k+2

1 1 - 2k+1 2k+2

1 1 1 5.用数学归纳法证明:“1+ + +?+ n <n(n>1)”由 n= 2 3 2 -1 k(k>1) 不等式成立,推证 n = k+ 1 时,左边应增加的项的项数是 ________. 1 1 1 解析:当 n=k 时,不等式为 1+ + +?+ k <k. 2 3 2 -1 则 n=k+1 时,左边应为:
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1 1 1 1 1 1 1+ + + ?+ k + k+ k +?+ k+1 则增加的项数为 2 3 2 -1 2 2 +1 2 -1 2k+1-1-2k+1=2k. 答案:2k

?一种方法 数学归纳法是一种重要的数学思想方法, 主要用于解决与正整数 有关的数学命题.证明时步骤(1)和(2)缺一不可,步骤(1)是步骤(2)的 基础,步骤(2)是递推的依据. ?两点注意 运用数学归纳法应注意 1.第一步验证当 n=n0 时,n0 不一定为 1,要根据题目要求选 择合适的起始值. 2.由 n=k 时命题成立,证明 n=k+1 时命题成立的过程中, 一定要用到归纳假设,否则就不是数学归纳法.

一、选择题

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2. 如果命题 p(n)对 n=k(k∈N*)成立, 则它对 n=k+2 也成立. 若 p(n)对 n=2 也成立,则下列结论正确的是( A.p(n)对所有正整数 n 都成立 B.p(n)对所有正偶数 n 都成立 C.p(n)对所有正奇数 n 都成立 D.p(n)对所有自然数 n 都成立 解析:由题意知 n=k 时成立,则 n=k+2 时也成立,又 n=2 时成立,则 p(n)对所有正偶数都成立. 答案:B 3.用数学归纳法证明“2n>2n+1 对于 n≥n0 的正整数 n 都成 立”时,第一步证明中的起始值 n0 应取 ( A.2 B.3 C.5 ) D.6 )

解析:∵n=1 时,21=2,2×1+1=3,2n>2n+1 不成立; n=2 时,22=4,2×2+1=5,2n>2n+1 不成立; n=3 时,23=8,2×3+1=7,2n>2n+1 成立. ∴n 的第一个取值 n0=3.
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答案:B 4.凸 n 多边形有 f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线的条 数 f(n+1)为( )

A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2 解析:边数增加 1,顶点也相应增加 1 个,它与和它不相邻的 n -2 个顶点连接成对角线,原来的一条边也成为对角线,因此,对角 线增加 n-1 条. 答案:C 5.用数学归纳法证明 3(2+7k)能被 9 整除,证明 n=k+1 时, 应将 3(2+7k+1)配凑成( )

A.6+21· 7k B.3(2+7k)+21 C.3(2+7k) D.21(2+7k)-36

解析:要配凑出归纳假设,故 3(2+7k+1)=3(2+7· 7k)=6+21· 7k =21(2+7k)-36. 答案:D 二、填空题 1 6.已知数列{an}满足 a1=1,an+1= an+1(n∈N*),通过计算 a1, 2 a2,a3,a4,可猜想 an=________. 1 3 解析:a1=1,a2= a1+1= , 2 2 1 7 1 15 a3= a2+1= ,a4= a3+1= . 2 4 2 8
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2n-1 所以猜想 an= n-1 . 2 2n-1 答案: n-1 2

三、解答题 9.设 a>0,f(x)= ax ,令 a1=1,an+1=f(an),n∈N*. a+x

(1)写出 a2,a3,a4 的值,并猜想数列{an}的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的结论.
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a (1)解:因为 a1=1,所以 a2=f(a1)=f(1)= ; 1+a a3=f(a2)= 猜想 an= a a ;a4=f(a3)= . 2+a 3+a

a (n∈N*). (n-1)+a

(2)证明:①当 n=1 时,a1=1 猜想正确. ②假设 n=k(k≥1,k∈N*)时猜想正确, 则 ak= a , (k-1)+a a·

a (k-1)+a a·ak 则 ak+1=f(ak)= = a a+ak a+ (k-1)+a a a = = . (k-1)+a+1 [(k+1)-1]+a 这说明,n=k+1 时猜想正确. 由①②知,对于任何 n∈N*,都有 an= a . (n-1)+a

10.(2014· 安徽卷节选)设实数 c>0,整数 p>1,p∈N*. 证明:当 x>-1 且 x≠0 时,(1+x)p>1+px. 证明:用数学归纳法证明. ①当 p=2 时,(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立. ②假设 p=k(k≥2,k∈N*)时,不等式(1+x)k>1+kx 成立. 当 p=k+1 时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+(k +1)x+kx2>1+(k+1)x.
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所以当 p=k+1 时,原不等式也成立. 综合①②可得,当 x>-1,x≠0 时,对一切整数 p>1,不等式(1 +x)p>1+px 均成立.

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