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2014届浙江数学(文)高考模拟卷四

时间:2014-01-24


2014 届浙江高三数学(文)高考模拟卷四
命题学校:慈溪中学、衢州一中、长兴中学 2014.1.30 考生须知: 1、全卷分试卷 I、II,试卷共 4 页,有五大题,满分 150 分。考试时间 120 分钟。 2、本卷答案必须做在答卷 I、II 的相应位置上,做在试卷上无效。 3、请用蓝、黑墨水笔或圆珠笔将姓名、准考证号分别填写在答卷 I、II 的相应位置上,用 2B 铅笔将答卷 I 的准考证号和学科名称所对应的方框内涂黑。 参考公式: 如果事件 A, B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 球的表面积公式: S ? 4? R2 (其中 R 表示球的半径)

4 3 ? R (其中 R 表示球的半径) 3 1 锥体的体积公式: V ? Sh (其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高) 3 柱体的体积公式 V ? Sh (其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高)
球的体积公式: V ?

选择题部分(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知全集 U=R,集合 A ? {x | x ? 0} , B ? {x | 0 ? x ? 1} ,则 (CU A) ? B =(▲) A. {x | 0 ? x ? 1} 2.设 ? ? ?? 1,1, A. 1 , 3 B. {x | x ? 0} C. {x | x ? 1} D.R

? ?

1 ? ,3? ,则使函数 y ? x ? 的定义域为 R 且为奇函数的所有 ? 的值(▲) 2 ?
B. ? 1 , 1 C. ? 1 , 3 D. ? 1 , 1 , 3 (▲)

3.函数 f ( x ) ? cos( x ? A.

π ) ? cos x 的最小正周期是 2

π B. π C. 2π D. 4 π 2 4.设 a ?R,则“ a ? 4 ”是“直线 l1 : ax ? 2 y ? 3 ? 0 与直线 l2 : 2 x ? y ? a ? 0 平行”的( ▲ )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

5.已知 ? , ? 是空间中两个不同平面, m , n 是空间中两条不同直线,则下列命题中错误 .. 的是 A.若 m // n , m ? ? ,则 n ? ? C.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? // ? (▲) B.若 m // ? , ? ? ? ? n ,则 m // n D.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ?

6. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体 积是 ( ▲ ) A.

8 3

B.

4 3

C. 2

D.4

7.在正项等比数列 ?a n ? 中, a1 ? 1 , a2 a4 ? 16 , 则 a1 ? 12 ? a 2 ? 12 ? ? ? a 8 ? 12 ? ( ▲ ) A.224 B.225 C.226 D.256 (▲) B. 若 f ( x) 在 R 上单调递减, 则 ?1 ? a ? 1 D. 若 f ( x) 在 R 上只有 1 个零点, 则 a ?1

8.已知函数 f ( x) ? a sin x ? x (a ? R),则下列错误 的是 .. A. 若 ?1 ? a ? 1 , 则 f ( x) 在 R 上单调递减。 C. 若 a ? 1, 则 f ( x) 在 R 上只有 1 个零点 9.已知椭圆 C1 :

x2 y 2 y2 2 ( > >0 )与双曲线 ? ? 1 C : x ? ? 1 有公共的焦点, C2 的 b a 2 a 2 b2 4

一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点,若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则 椭圆 C 1 的离心率为 A (▲)

e2 ?

10 11

B

e2 ?

1 2

C e ?
2

9 10

D e ?
2

8 9

10.定义 f ( x ) ? g( x ) ? h( x ) 对任意 x ? D 恒成立,称 g ( x ) 在区间 D 上被 f ( x), h( x) 所夹, 若 y ? ln x 在 (0,??) 被 y ? ?
2 A (0, ) e
a 和 y ? (1 ? a ) x 所夹,则实数 a 的取值范围 x e ?1 2 , ) e e 1 e ?1 C ( , ) e e

(▲)
2 D ( ,1) e

B (

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分。 11.已知函数 f ( x ) ?
开始

x ? 1 ,若 f (a ) ? 3 ,则实数 a ?

▲. ▲.

y?4

12.已知复数 z 满足 z ? (1 ? i) ? 2 ? i (i 为虚数单位) ,则复数 z= 13.执行如右图所示的程序框图,其输出的结果是 ▲.

x? y
1 x ?1 2


?3 x ? y ? 6 ? 0, ? 14. 设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 则目标函数 z ? y ? 2 x ? y ? 3 ? 0, ?

y?

| y ? x |? 1
是 输出

的最小值为



.

15.连掷骰子两次 (骰子六个面上分别标以数字 1,2,3,4,5,6 )得到的

y

结束

点数分别记为 a 和 b ,则使直线 3x ? 4 y ? 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? 4 相切的概率为
2 2



. ▲ .

16.已知 a ? 2, b ? 1 ,且满足 ab ? a ? 2b ? 1 ,则 2a ? b 的最小值为

17 . Rt △ ABC 中 , C ? 90? , AC ? 4, BC ? 3 , G 为 △ ABC 的 重 心 , 点 P , Q 满 足
BP ? t BC , CQ ? t CA ,则 GP ? GQ 的最小值为



.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本题 14 分) 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 已知 (Ⅰ)求角 A, B 的大小; (Ⅱ)设函数 f ( x) ? sin( x ? A) ? cos x ,求 f ( x) 在 [?
cos A b 2? 且 ?C ? . ? , cos B a 3

? ?

, ] 上的值域. 6 3

19.(本小题满分 14 分)已知三个正整数 2a,1, a ? 3 按某种顺序排列成等差数列。 (1)求 a 的值; (2)若等差数列 ?a n ?的首项、公差都为 a ,等比数列 ?bn ?的首项、公比也都为 a ,前 n
2

项和分别为 S n , Tn ,且

Tn ? 2 ? S n ?108 ,求满足条件的正整数 n 的最大值。 2n

20. (本题 14 分)如图,在四棱锥 E ? ABCD 中, 底 面 ABCD 为 正 方 形 ,

AE ? 平 面 C DE ,

4 ?ADE 的余弦值为 , AE ? 3 . 5
(Ⅰ)若 F 为 DE 的中点,求证: BE // 平面

ACF ;
(Ⅱ) 求直线 BE 与平面 ABCD 所成角的正弦值.

21. (本小题满分 15 分)已知直线 l 与函数 函数 g ( x) ?

f ( x) ? ln x 的图象相切于点(1,0) ,且 l 与

1 2 7 x ? mx ? (m ? 0) 的图象也相切。 2 2

(1)求直线 l 的方程及 m 的值; (2)若 h( x)

? f ( x ? 1) ? g ?( x) ,求函数 h( x ) 的最大值.

22. (本题 15 分) 已知抛物线 C 的顶点为 O(0,0) ,焦点为 F ( 0, ) . (Ⅰ)求抛物线 C 的标准方程; ( Ⅱ ) 过 抛 物 线 C 上 的 任 意 一 点 A ( 异 于 原 点 ) 向 圆 I : x ? ( y ? 2) ? r
2 2 2

1 4

(0 ? r ? 1.2) 引两条切线 AB 、 AC ,交抛物线于点 B 、 C 两点,若恒有直线 BC 与圆 I
相切,求圆 I 的半径 r 的值。

2014 届浙江高三数学(文)高考模拟卷四参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.C 2.A 3.B 4.C 5.B 6.D 7.B 8.D 9.A 10.C

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.10 ; 12.

3? i 5 1 4 ; 13. ? ; 14.-7 ; 15. ; 16. 2 6 ? 5 ; 17. 5 2 4 18

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本题 14 分) (Ⅰ)∵
cos A b cos A sin B ,即 sin 2 A ? sin 2B ? ,由正弦定理得 ? cos B a cos B sin A

(3 分) (6 分)

2 (Ⅱ) f ( x) ? sin( x ? A) ? cos x ? 3 sin( x ? ) 3

∴ A ? B或 A ? B ?

?

(舍去) , ?C ?

2? ? ,则 A ? B ? 3 6

?

(10 分) (12 分)

∵ x ? [?

? ?

? ? 2? , ] ,则 ? x ? ? 6 3 6 3 3

? ? ? 2? 而正弦函数 y ? sin x 在 [ , ] 上单调递增,在 [ , ] 上单调递减 2 3 6 2
∴函数 f ( x) 的最小值为
3 ,最大值为 3 , 2

3 ? ? 即函数 f ( x) 在 [ , ] 上的值域为 [ , 3] . 2 6 2

(14 分)

19. (1)? 2a, a

2

? 3 是正整数,?a 是正整数,? a 2 ? 3 ? 2a ? 1 ,————4 分

? 4a ? a 2 ? 3 ? 1, ? a ? 2 ———————————————————————6 分
(2) S n

? 2n ?

n(n ? 1) ? 2 ? n 2 ? n ,—————————————————9 分 2

T ?2 2(1 ? 2 n ) Tn ? ? 2 n ?1 ? 2 , ? n n ? 2 ,——————————————12 分 1? 2 2
? S n ? 110 ,即 n 2 ? n ? 110 ? 0,? ?11 ? n ? 10 ————————————13 分

? n 是正整数,?n 的最大值是 9。————————————————————14 分
20. (本题 14 分) 证明: (1)连结 AC, BD 交于 O , 连 OF ? F 为 DE 中点,O 为 BD 中点, ? OF // BE ,

OF ? 平面 ACF , BE ? 平面 ACF , ? BE // 平面 ACF .??????(5 分)
(2)可求得正方形 ABCD 的边长为 5,过 E 作 EH ? AD 于 H ,连结 BH ,

? AE ? 平面 CDE , CD ? 平面 CDE , ? AE ? CD , ? CD ? AD , AE ? AD ? A, AD, AE ? 平面 DAE ,Ks*5u

? CD ? 平面 DAE , EH ? 平面 DAE ,? CD ? EH , CD ? AD ? D, CD, AD ? 平面 ABCD , EH ? 平面 ABCD , BH 为 BE 在平面 ABCD 内的射影, ? ?EBH 为 BE 与平面 ABCD 的所成角的平面角,又? CD // AB, ? AB ? 平面 DAE , ? ?ABE 为直角三角形,? BE ? 34 ,且 HE ?
21.(1)? f ?( x) ?

6 34 12 , sin ?EBH ? .?(14 分) 85 5

1 , 直线l是函数f ( x) ? ln x 的图象在点(1,0)处的切线。 x ? 其斜率为k ? f ?(1) ? 1, ? 直线l的方程为y ? x ? 1

又因为直线 l与g ( x) 的图象相切,

1 2 7 x ? 2x ? , 2 2 ? h( x) ? f ( x ? 1) ? g ?( x) ? ln( x ? 1) ? x ? 2( x ? ?1), 1 ?x ? h?( x) ? ?1 ? ( x ? ?1). x ?1 x ?1 当 ? 1 ? x ? 0时, h?( x) ? 0;当x ? 0时, h?( x) ? 0. 于是, h( x)在(?1,0)上单调递增, 在(0,??) 上单调递减。 所以,当 x ? 0时, h( x)取得最大值h(0) ? 2.
(2)由(1)知 g ( x) ?

22. (本题 15 分) (Ⅰ) x ? y
2
2

(4 分)
2

(Ⅱ) 设 A( x 1 , x 1 ) ,B( x 2 , x 2 ) ,C ( x 3 , x 3 ) , 其中 x i ? 0,? r ,i ? 1,2,3 , 当 i ? j 时,

2

x i ? x j 。则 k AB
2

x ? x2 ? 1 ? x 1 ? x 2 ,所以直线 AB 的方程为: x1 ? x 2

2

2

y ? x1 ? ( x1 ? x 2 )( x ? x1 ) 化简得 ( x1 ? x 2 ) x ? y ? x1 x 2 ? 0
同理直线 AC 的方程为 ( x1 ? x 3 ) x ? y ? x1 x 3 ? 0 。

直线 BC 的方程为 ( x 2 ? x 3 ) x ? y ? x 2 x 3 ? 0 。 由直线 AB 与圆 I 相切得

(7 分)

| 2 ? x1 x 2 | ( x1 ? x 2 ) 2 ? 1

? r ,化简得
2

( x 1 ? r 2 ) x 2 ? ( 4 ? 2r 2 ) x 1 x 2 ? 4 ? r 2 ? r 2 x 1 ? 0
同理得 ( x1 ? r ) x 3 ? (4 ? 2r ) x1 x 3 ? 4 ? r ? r x1 ? 0
2 2 2 2 2 2 2

2

2

所以 x 2 , x 3 是二次方程 ( x1 ? r ) x ? (4 ? 2r ) x1 x ? 4 ? r ? r x1 ? 0 的两个根。
2 2 2 2 2

2

2

所以 x 2 ? x 3 ?

( 2r 2 ? 4) x 1 x1 ? r 2
2

, x2 x3 ?

? r 2 ? 4 ? r 2 x1 x1 ? r 2
2

2

(10 分)

由直线 BC 与圆 I 相切得

| 2 ? x3 x2 | ( x3 ? x2 )2 ? 1
2

? r ,代入上式化简得
4 2

r 2 x1 ? r 2 (4r 4 ? 18r 2 ? 16) x1 ? r 6 ? ( 2 ? r 2 ) 2 x1 ? 2(4 ? 3r 2 )( 2 ? r 2 ) x1 ? (4 ? 3r 2 ) 2
由 x 1 的任意性知,若上式恒成立,必须有

4

?r 2 ? (2 ? r 2 ) 2 ? 2 4 2 2 2 ? r (4r ? 18r ? 16) ? 2(4 ? 3r )( 2 ? r ) ? 6 2 2 ? r ? ( 4 ? 3r ) ?0 ? r ? 1.2 ?
计算得 r ? 1 。

(13 分)

(15 分)


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