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步步高高中数学2011版理科第一轮复习资料第十二编 概率与统计

时间:2012-06-13


第十二编
§12.1

概率与统计

随机事件的概率

一、选择题(每小题 7 分,共 42 分) 1.(2010· 揭阳模拟)把红、黑、蓝、白 4 张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁四个人,每人 分得 1 张, 事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 ( ) A.对立事件 B.不可能事件 C.互斥事件但不是对立事件 D.以上答案都不对 解析 由互斥事件和对立事件的概念可判断. 答案 C 2.(2010· 长沙模拟)已知某厂的产品合格率为 90%,抽出 10 件产品检查,则下列说法正 确的是 ( ) A.合格产品少于 9 件 B.合格产品多于 9 件 C.合格产品正好是 9 件 D.合格产品可能是 9 件 解析 因为产品的合格率为 90%,抽出 10 件产品,则合格产品可能是 10×90%=9 件,这是随机的. 答案 D 3.(2010· 济宁月考)现有语文、数学、英语、物理和化学共 5 本书,从中任取 1 本,取出 的是理科书的概率为 ( ) 1 2 3 4 A. B. C. D. 5 5 5 5 解析 记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件 A、B、C、D、E,则 A、 B、C、D、E 互斥,取到理科书的概率为事件 B、D、E 概率的并. 1 1 1 3 ∴P(B∪D∪E)=P(B)+P(D)+P(E)= + + = . 5 5 5 5 答案 C 4.(2010· 益阳调研)福娃是北京 2008 年第 29 届奥运会吉祥物,每组福娃都由“贝贝”、 “晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成.甲、乙两位好友分别从 同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念,按先甲选再乙选的顺序不放回地选择, 则在这两位好友所选择的福娃中,“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率为 ( ) 1 1 3 4 A. B. C. D. 10 5 5 5 解析 本题分甲选中吉祥物和乙选中吉祥物两种情况, 先甲选后乙选的方法有 5×4=20 种, 6 3 甲选中乙没有选中的方法有 2×3=6 种,概率为 = , 20 10 6 3 乙选中甲没有选中的方法有 2×3=6 种,概率为 = , 20 10 3 3 3 ∴恰有一个被选中的概率为 + = . 10 10 5 答案 C

5.(2009· 临沂联考)一块各面均涂有油漆的正方体被锯成 1 000 个大小相同的小正方体, 若将这些小正方体均匀地搅混在一起,则任意取出一个,其两面涂有油漆的概率是 ( ) 1 1 3 12 A. B. C. D. 12 10 25 125 解析 每条棱上有 8 块,共 8×12=96 块. 96 12 ∴概率为 = . 1 000 125 答案 D 6.(2009· 宁波十校联考)将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为 b,c,则方程 2 x +bx+c=0 有实根的概率为 ( ) 19 1 5 17 A. B. C. D. 36 2 9 36 解析 一枚骰子掷两次,其基本事件总数为 36,方程有实根的充要条件为 b2≥4c. B 1 2 3 4 5 6 0 1 2 4 6 6 使 b2≥4c 的基本事件个数 由此可见,使方程有实根的基本事件个数为 1+2+4+6+6=19,于是方程有实根的 19 概率为 P= . 36 答案 A 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.(2010· 莱芜模拟)某射手的一次射击中,射中 10 环、9 环、8 环的概率分别为 0.2、0.3、 0.1,则此射手在一次射击中不超过 8 环的概率为________. 解析 依题意知,此射手在一次射击中不超过 8 环的概率为 1-(0.2+0.3)=0.5. 答案 0.5 8.(2009· 安徽文,13)从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条,则以这三 条线段为边可以构成三角形的概率是________. 解析 从长度为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条共有 4 种不同的取法,其中可 3 以构成三角形的有(2,3,4)、(2,4,5)、(3,4,5)三种,故所求概率为 P= . 4 3 答案 4 9.(2010· 广州调研)甲、乙两颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙两颗卫星准确预 报台风的概率分别为 0.8 和 0.75,则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为 ____. 解析 由对立事件的性质知在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为 1-(1-0.8)(1-0.75)=0.95. 答案 0.95 三、解答题(共 40 分) 10.(13 分)(2010·杭州调研)某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队 的某些队员不止参加了一支球队,具体情况如图所示,现从中随 机抽取一名队员,求: (1)该队员只属于一支球队的概率; (2)该队员最多属于两支球队的概率. (1)设“该队员只属于一支球队”为事件 A,则事件 A 的概率 12 3 P(A)= = . 20 5 解 (2)设“该队员最多属于两支球队”为事件 B, 2 9 则事件 B 的概率 P(B)=1- = . 20 10 11.(13 分)(2010· 温州五校联考)某商场举行抽奖活动,从装有编号 0,1,2,3 四个小球的抽

奖箱中,每次取出后放回,连续取两次,取出的两个小球号码相加之和等于 5 中一等 奖,等于 4 中二等奖,等于 3 中三等奖. (1)求中三等奖的概率; (2)求中奖的概率. 解 设“中三等奖”的事件为 A,“中奖”的事件为 B,从四个小球中有放回的取两 个共有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3), (3,0),(3,1),(3,2),(3,3)共 16 种不同的方法. (1)两个小球号码相加之和等于 3 的取法有 4 种: (0,3),(1,2),(2,1),(3,0). 4 1 故 P(A)= = . 16 4 (2)两个小球号码相加之和等于 3 的取法有 4 种. 两个小球号码相加之和等于 4 的取法有 3 种: (1,3),(2,2),(3,1), 两个小球号码相加之和等于 5 的取法有 2 种:(2,3),(3,2), 4 3 2 9 故 P(B)= + + = . 16 16 16 16 12.(14 分)(2009· 佛山模拟)袋中有 12 个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任 1 5 取一球,得到红球的概率为 ,得到黑球或黄球的概率是 ,得到黄球或绿球的概率是 4 12 1 ,试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少? 2 解 分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件 A、B、C、D.由于 A、B、C、D 为互 斥事件,根据已知得到

? ? 5 ?P(B)+P(C)=12, ?P(C)+P(D)=1, ? 2

1 +P(B)+P(C)+P(D)=1, 4

? ? 1 解得?P(C)=6, ?P(D)=1. ? 3
1 P(B)= , 4

1 1 1 ∴得到黑球、黄球、绿球的概率各是 , , . 4 6 3

§12.2

古典概型

一、选择题(每小题 7 分,共 42 分) 1. (2010· 金华模拟)同时抛掷三枚均匀的硬币, 出现一枚正面, 二枚反面的概率等于( ) 1 1 3 1 A. B. C. D. 4 3 8 2 3 解析 共 2 =8 种情况,符合要求的有(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正)3 3 种.∴P= . 8 答案 C

2.(2010· 滨州模拟)若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的横、纵坐标, 则点 P 在直线 x+y=5 下方的概率为 ( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 6 4 12 9 解析 试验是连续掷两次骰子,故共包含 6×6=36 个基本事件.事件点 P 在 x+y=5 6 1 下方,共包含(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)6 个基本事件,故 P= = . 36 6 答案 A 3.(2010· 马鞍山联考)连掷两次骰子分别得到点数 m、n,则向量(m,n)与向量(-1,1)的 夹角 θ>90° 的概率是 ( ) 5 7 1 1 A. B. C. D. 12 12 3 2 解析 即(m,n)· (-1,1)=-m+n<0. ∴m>n,基本事件总共有 6×6=36 个,符合要求的有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2), (4,3),(5,1),?,(5,4),(6,1),?,(6,5), 15 5 共 1+2+3+4+5=15 个.∴P= = . 36 12 答案 A 4.(2009· 福建理,8)已知某运动员每次投篮命中的概率低于 40%.现采用随机模拟的方法 估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的 随机数,指定 1,2,3,4 表示命中,5,6,7,8,9,0 表示不命中;再以每三个随机数为一组, 代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下 20 组随机数: 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ( ) A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15 解析 由题意知在 20 组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有:191、271、932、 5 1 812、393,共 5 组随机数,故所求概率为 = =0.25. 20 4 答案 B 5.(2009· 黄山月考)从 4 名男同学,3 名女同学中任选 3 名参加体能测试,则选到的 3 名 同学中既有男同学又有女同学的概率为 ( ) 12 18 6 7 A. B. C. D. 35 35 7 8 3 1 1 解析 7 名同学任选 3 名,共 C7种选法,既有男生又有女生的选法有:C4C2+C2C3= 3 4 30 种, 30 6 由古典概型概率公式得 P= 3= . C7 7 答案 C 6.(2009· 安徽文,10)考察正方体 6 个面的中心,从中任意选 3 个点连成三角形,再把剩 下的 3 个点也连成三角形, 则所得的两个三角形全等的概率等于 ( ) 1 1 A.1 B. C. D.0 2 3 解析 由正方体的对称性知其六个面的中心构成同底的两个四棱锥,且四棱锥的各个 侧面是全等的三角形,底面四个顶点构成一个正方形,从这 6 个点中任选 3 个点构成 的三角形可分为以下两类:第一类是选中相对面中心两点及被这两个平面所夹的四个 面中的任意一个面的中心,构成的是等腰直角三角形,此时剩下的三个点也连成一个 与其全等的三角形.第二类是所选三个点均为多面体的侧面三角形的三个点(即所选 3 个点所在的平面彼此相邻)此时构成的是正三角形, 同时剩下的三个点也构成与其全等 的三角形,故所求概率为 1. 答案 A

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.(2010· 六安第一次调研)若集合 A={a|a≤100,a=3k,k∈N*},集合 B={b|b≤100,b =2k,k∈N*},在 A∪B 中随机地选取一个元素,则所选取的元素恰好在 A∩B 中的概 率为________. 解析 A={3,6,9,?,99},B={2,4,6,?,100}, A∩B={6,12,18,?,96}. A∩B 中有元素 16 个. 16 A∪B 中元素共有 33+50-16=67 个,∴概率为 . 67 16 答案 67 8. (2010· 杭州段考)有一质地均匀的正四面体, 它的四个面上分别标有 1,2,3,4 四个数字. 现 将它连续抛掷 3 次,其底面落于桌面,记三次在正四面体底面的数字和为 S,则“S 恰好为 4”的概率为________. 解析 本题是一道古典概型问题.用有序实数对(a,b,c)来记连续抛掷 3 次所得的 3 个数字,总事件中含 4×4×4=64 个基本事件,取 S=a+b+c,事件“S 恰好为 4” P(A) 3 中包含了(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1)三个基本事件,则 P(S 恰好为 4)= = . P(Ω) 64 3 答案 64 9. (2009· 洛阳调研)在一次招聘口试中, 每位考生都要在 5 道备选试题中随机抽出 3 道题 回答,答对其中 2 道题即为及格,若一位考生只会答 5 道题中的 3 道题,则这位考生 能够及格的概率为________. 解析 要及格必须答对 2 道或 3 道题, 7 7 共 C2C1+C3=7 种情形,故 P= 3= . 3 2 3 C5 10 7 答案 10 三、解答题(共 40 分) 10.(13 分)(2010· 许昌模拟)将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,求: (1)两数之和为 5 的概率; (2)两数中至少有一个奇数的概率; (3)以第一次向上点数为横坐标 x,第二次向上的点数为纵坐标 y 的点(x,y)在圆 x2+y2 =15 内部的概率. 解 将一颗骰子先后抛掷 2 次,此问题中含有 36 个等可能基本事件. 4 1 (1)记“两数之和为 5”为事件 A,则事件 A 中含有 4 个基本事件,所以 P(A)= = . 36 9 1 答 两数之和为 5 的概率为 . 9 (2)记“两数中至少有一个奇数”为事件 B, 则事件 B 与“两数均为偶数”为对立事件, 9 3 所以 P(B)=1- = . 36 4 3 答 两数中至少有一个奇数的概率为 . 4 (3)基本事件总数为 36,点(x,y)在圆 x2+y2=15 的内部记为事件 C,则 C 包含 8 个事 件, 8 2 所以 P(C)= = . 36 9 2 答 点(x,y)在圆 x2+y2=15 内部的概率为 . 9 11.(13 分)(2010· 日照一模)班级联欢时,主持人拟出了如下一些节目:跳双人舞、独唱、 朗诵等,指定 3 个男生和 2 个女生来参与,把 5 个人分别编号为 1,2,3,4,5,其中 1,2,3 号是男生,4,5 号是女生,将每个人的号分别写在 5 张相同的卡片上,并放入一个箱子

中充分混合,每次从中随机地取出一张卡片,取出谁的编号谁就参与表演节目. (1)为了选出 2 人来表演双人舞, 连续抽取 2 张卡片, 求取出的 2 人不全是男生的概率; (2)为了选出 2 人分别表演独唱和朗诵,抽取并观察第一张卡片后,又放回箱子中,充 分混合后再从中抽取第二张卡片,求:独唱和朗诵由同一个人表演的概率. 解 (1)利用树形图我们可以列出连续抽取 2 张卡片的所有可能结果(如下图所示).

由上图可以看出,试验的所有可能结果数为 20,因为每次都随机抽取,所以这 20 种 结果出现的可能性是相同的,试验属于古典概型. 用 A1 表示事件“连续抽取 2 人一男一女”,A2 表示事件“连续抽取 2 人都是女生”, 则 A1 与 A2 互斥, 并且 A1∪A2 表示事件“连续抽取 2 张卡片, 取出的 2 人不全是男生”, 由列出的所有可能结果可以看出,A1 的结果有 12 种,A2 的结果有 2 种,由互斥事件 12 2 7 的概率加法公式,可得 P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)= + = =0.7,即连续抽取 2 张 20 20 10 卡片,取出的 2 人不全是男生的概率为 0.7. (2)有放回地连续抽取 2 张卡片,需注意同一张卡片可再次被取出,并且它被取出的可 能性和其他卡片相等,我们用一个有序实数对表示抽取的结果,例如“第一次取出 2 号,第二次取出 4 号”就用(2,4)来表示,所有的可能结果可以用下表列出. 第二次抽取 1 2 3 4 5 第一次抽取 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) 试验的所有可能结果数为 25,并且这 25 种结果出现的可能性是相同的,试验属于古 典概型. 用 A 表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”, 由上表可以看出, 的结果共有 5 种, A 5 1 因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率 P(A)= = =0.2. 25 5 12.(14 分)(2009· 温州部分重点中学模拟)现有 8 名数理化成绩优秀者,其中 A1,A2,A3 数学成绩优秀,B1,B2,B3 物理成绩优秀,C1,C2 化学成绩优秀.从中选出数学、物 理、化学成绩优秀者各 1 名,组成一个小组代表学校参加竞赛. (1)求 C1 被选中的概率; (2)求 A1 和 B1 不全被选中的概率. 解 (1)从 8 人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名,其一切可能的结果组成的 基本事件空间 Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1, B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1), (A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3, C1),(A3,B3,C2)}. 由 18 个基本事件组成. 由于每一个基本事件被抽取的机会均等, 因此这些基本事件的发生是等可能的. 用 M 表示“C1 恰被选中”这一事件,则 M={(A1,B1,C1),(A1,B2,C1),(A1,B3,C1),(A2,B1,C1),(A2,B2,C1),(A2, B3,C1),(A3,B1,C1),(A3,B2,C1),(A3,B3,C1)}. 事件 M 由 9 个基本事件组成, 9 1 因而 P(M)= = . 18 2

(2)用 N 表示“A1,B1 不全被选中”这一事件, 则其对立事件 N 表示“A1,B1 全被选中”这一事件,由于 N ={(A1,B1,C1),(A1, 2 1 B1,C2)},事件 N 由 2 个基本事件组成,所以 P( N )= = . 18 9 由对立事件的概率公式得 1 8 P(N)=1-P( N )=1- = . 9 9

§12.3

几何概型

一、选择题(每小题 7 分,共 42 分) 1. (2010· 淄博模拟)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M, 并以线段 AM 为边作正方形, 则这个正方形的面积介于 36 cm2 与 81 cm2 之间的概率为 ( ) 1 1 4 4 A. B. C. D. 4 3 27 15 解析 面积为 36 cm2 时,边长 AM=6, 9-6 3 1 面积为 81 cm2 时,边长 AM=9,∴P= = = . 12 12 4 答案 A

?x+y- 2.(2010· 滨州一模)在区域?x-y+ ?y≥0,

2≤0, 2≥0, 内任取一点 P,则点 P 落在单位圆 x2+y2

=1 内的概率为 ( ) π π π π A. B. C. D. 2 8 6 4 解析 区域为△ABC 内部(含边界),则概率为 π S半圆 2 π P= = = . 1 4 S△ABC ×2 2 × 2 2 答案 D 3.(2010· 马鞍山模拟)在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P,则△PBC 的面积大于 S 的概率是 ( ) 4 1 1 3 2 A. B. C. D. 4 2 4 3 解析 由△ABC, △PBC 有公共底边 BC, 所以只需 P 位于线段 BA 靠近 B 的四分之一 AE 3 分点 E 与 A 之间,这是一个几何概型,∴P= = . AB 4 答案 C 4.(2009· 临沂一中期末)已知正三棱锥 S—ABC 的底面边长为 4,高为 3,在正三棱锥内 1 任取一点 P, 使得 VP—ABC< VS—ABC 的概率是 ( ) 2 7 3 1 1 A. B. C. D. 8 4 2 4 解析 当 P 在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合要求, 由几何概型知, 1 7 P=1- = . 8 8

答案 A 5.(2009· 辽宁文,9)ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机取一点,取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为( ) π π π π A. B.1- C. D.1- 4 4 8 8 解析 如图,要使图中点到 O 的距离大于 1,则该点需取在图中阴 π 22 π 影部分,故概率为 P= 2 =1- . 4 答案 B π π 1 6.(2009· 山东文,11)在区间?-2,2?上随机取一个数 x,cos x 的值介于 0 到 之间的概 ? ? 2 率为 ( ) 1 2 1 2 A. B. C. D. 3 π 2 3 π π? ?π π? π π 1 π 解析 x∈[- , ],0<cos x< ?x∈?-2,-3?∪?3,2?,其区间长度为 ,又已知区 ? 2 2 2 3 π 3 1 π π 间?-2,2?的长度为 π,由几何概型知 P= = . ? ? π 3 答案 A 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.(2008· 江苏,6)在平面直角坐标系 xOy 中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域,E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域,向 D 中随机投一点, 则落入 E 中的概率为________. 解析 如图所示, 区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部(含边界), 区域 E 表示单位圆及其内部, π×12 π 因此 P= = . 4×4 16 π 答案 16 8.(2010· 杭州模拟)已知函数 f(x)=2ax2-bx+1,若 a 是从区间[0,2]上 任取的一个数,b 是从区间[0,2]上任取的一个数,则此函数在[1, +∞)递增的概率为________. 解析 令 t=ax2-bx+1,函数 f(x)在[1,+∞)上递增,根据复合函 数单调性的判断方法,则 t=ax2-bx+1 须在[1,+∞)上递增, -b ∴- ≤1,即 2a≥b. 2a

?0≤a≤2 ? 由题意得?0≤b≤2 ?2a≥b ?

,画出图示得阴影部分面积.

1 2×2- ×2×1 2 3 ∴概率为 P= = . 4 2×2 3 答案 4

9.(2009· 福建文,14)点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点.若在该圆周上随机取一 点 B,则劣弧 AB 的长度小于 1 的概率为________. 解析 圆周上使弧 AM 的长度为 1 的点 M 有两个, 设为 M1, 2, M 则过 A 的圆弧 M1M2 的长度为 2, 点落在优弧 M1M2 上就能使劣弧 AB 的长度小于 1, B 所以劣弧 AB 的长 2 度小于 1 的概率为 . 3 2 答案 3 三、解答题(共 40 分) 10.(13 分)(2010· 宁波调研)如图所示,在单位圆 O 的某一直径上随 机的取一点 Q, 求过点 Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过 1 的 概率. 解 弦长不超过 1,即|OQ|≥ 事件 A={弦长超过 1}. 3 ×2 2 3 由几何概型的概率公式得 P(A)= = . 2 2 3 ∴弦长不超过 1 的概率为 1-P(A)=1- . 2 3 答 所求弦长不超过 1 的概率为 1- . 2 11.(13 分)(2010· 铜陵月考)投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具, 它的六个面中,有两个面标的数字是 0,两个面标的数字是 2,两个面标的数字是 4, 将此玩具连续抛掷两次,以两次朝上一面的数字分别作为点 P 的横坐标和纵坐标. (1)求点 P 落在区域 C:x2+y2≤10 内的概率; (2)若以落在区域 C 上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域 M,在区域 C 上随机 撒一粒豆子,求豆子落在区域 M 上的概率. 解 (1)以 0、2、4 为横、纵坐标的点 P 共有(0,0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、 (2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)共 9 个,而这些点中,落在区域 C 4 内的点有:(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共 4 个, ∴所求概率为 P= . 9 (2)∵区域 M 的面积为 4,而区域 C 的面积为 10π, 4 2 ∴所求概率为 P= = . 10π 5π 12.(14 分)(2009· 临沂高新区期末)甲、乙两艘轮船驶向一个不能 同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内任何时刻到达是等 可能的. (1)如果甲船和乙船的停泊时间都是 4 小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空 出的概率; (2)如果甲船的停泊时间为 4 小时,乙船的停泊时间为 2 小时,求它们中的任何一条船 不需要等待码头空出的概率. 解 (1)设甲、乙两船到达时间分别为 x、y, 则 0≤x<24,0≤y<24 且 y-x≥4 或 y-x≤-4. 3 ,而 Q 点在直径 AB 上是随机的, 2

?0≤x<24, ? 作出区域?0≤y<24, ?y-x>4或y-x<-4 ?

设“两船无需等待码头空出”为事件 A, 1 2× ×20×20 2 25 则 P(A)= = . 36 24×24 (2)当甲船的停泊时间为 4 小时,乙船的停泊时间为 2 小时,两船 不需等待码头空出,则满足 x-y≥2 或 y-x≥4, 设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件 B,画出区域

?0≤x<24, ? ?0≤y<24, ?y-x>4或x-y>2 ?
1 1 ×20×20+ ×22×22 2 2 442 221 P(B)= = = . 576 288 24×24

§12.4

离散型随机变量及其分布列

一、选择题(每小题 7 分,共 42 分) 1. (2010· 郴州模拟)将一颗骰子均匀掷两次, 随机变量为 ( ) A.第一次出现的点数 B.第二次出现的点数 C.两次出现点数之和 D.两次出现相同点的种数 解析 A、B 中出现的点数虽然是随机的,但他们取值所反映的结果,都不是本题涉 及试验的结果.D 中出现相同点数的种数就是 6 种,不是变量.C 整体反映两次投掷 的结果,可以预见两次出现数字的和是 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,共 11 种结果,但每掷 一次前,无法预见是 11 种中的哪一个,故是随机变量,选 C. 答案 C a 2.(2010· 丽水调研)随机变量 X 的概率分布列规律为 P(X=n)= (n=1,2,3,4),其 n(n+1) 1 5 中 a 是常数, P?2<X<2?的值为 则 ? ( ) ? 2 3 4 5 A. B. C. D. 3 4 5 6 a 解析 ∵P(X=n)= (n=1,2,3,4), n(n+1)

a a a a 5 ∴ + + + =1,∴a= , 2 6 12 20 4 1 5? 5 1 5 1 5 ∴P?2<X<2?=P(X=1)+P(X=2)= × + × = . ? 4 2 4 6 6 答案 D 3.(2010· 泰安模拟)若 P(ξ≤x2)=1-β,P(ξ≥x1)=1-α,其中 x1<x2,则 P(x1≤ξ≤x2)等 于 ( ) A.(1-α)(1-β) B.1-(α+β) C.1-α(1-β) D.1-β(1-α) 解析 由分布列性质可有: P(x1≤ξ≤x2)=P(ξ≤x2)+P(ξ≥x1)-1 =(1-β)+(1-α)-1=1-(α+β). 答案 B 4.(2010· 安庆月考)从一批含有 13 只正品,2 只次品的产品中,不放回地任取 3 件,则 取得次品数为 1 的概率是 ( ) 32 12 3 2 A. B. C. D. 35 35 35 35 解析 设随机变量 X 表示取出次品的个数, X 服从超几何分布, 则 其中 N=15, M=2, C1C2 12 2 13 n=3,它的可能的取值为 0,1,2,相应的概率为 P(X=1)= 3 = . C15 35 答案 B 5.(2009· 滁州模拟)设 ξ 是一个离散型随机变量,其分布列为 ξ 0 1 -1 1 P q2 1-2q 2 则 q 的值为 ( ) 2 2 2 A.1 B.1± C.1+ D.1- 2 2 2 解析 由分布列的性质,有

?1-2q≥0, ?q ≥0, ?1 ?2+1-2q+q =1, ?
2 2

解得 q=1-

2 . 2

1 或由 1-2q≥0?q≤ ,可排除 A、B、C. 2 答案 D 6.(2010· 长沙联考)一只袋内装有 m 个白球,n-m 个黑球,连续不放回地从袋中取球, (n-m)A2 m 直到取出黑球为止, 设此时取出了 ξ 个白球, 下列概率等于 的是 ( ) A3 n A.P(ξ=3) B.P(ξ≥2) C.P(ξ≤3) D.P(ξ=2) A2 C1-m (n-m)A2 m n m 解析 P(ξ=2)= = . A3 A3 n n 答案 D 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.(2010·郑州五校联考)如图所示,A、B 两点 5 条连线并联,它们在 单位时间内能通过的最大信息量依次为 2,3,4,3,2.现记从中任取三 条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ , 则 P(ξ ≥8)= . 解析 方法一 由已知,ξ 的取值为 7,8,9,10,

C2C1 1 2 2 ∵P(ξ=7)= 3 = , C5 5 1 2 C2C1+C2C1 3 2 2 P(ξ=8)= = , 3 C5 10 1 1 1 C2C2C1 2 P(ξ=9)= = , C3 5 5 2 1 C2C1 1 P(ξ=10)= 3 = , C5 10 ∴ξ 的概率分布列为 ξ 7 8 9 10 1 3 2 1 P 5 10 5 10 ∴P(ξ≥8)=P(ξ=8)+P(ξ=9)+P(ξ=10) 3 2 1 4 = + + = . 10 5 10 5 C2C1 4 2 2 方法二 P(ξ≥8)=1-P(ξ=7)=1- 3 = . C5 5 4 答案 5 8.(2009· 济宁模拟)随机变量 ξ 的分布列如下: ξ 0 1 -1 P a b c 若 a、b、c 成等差数列,则 P(|ξ|=1)=________. 解析 ∵a、b、c 成等差数列, ∴2b=a+c,又 a+b+c=1, 1 2 ∴b= ,∴P(|ξ|=1)=a+c= . 3 3 2 答案 3 9.(2010· 青岛模拟)连续向一目标射击,直至击中为止,已知一次射击命中目标的概率为 3 ,则射击次数为 3 的概率为________. 4 1 1 3 解析 “ξ=3”表示“前两次未击中, 且第三次击中”这一事件, P(ξ=3)= × × 则 4 4 4 3 = . 64 3 答案 64 三、解答题(共 40 分) 10.(13 分)(2010· 新乡联考)一个袋中有 1 个白球和 4 个黑球,每次从中任取一个球,每 次取出的黑球不再放回去,直到取得白球为止,求取球次数的分布列. 解 设取球次数为 ξ,则 ξ 的可能取值为 1,2,3,4,5, 1 1 A1 1 4 P(ξ=1)= 1= ,P(ξ=2)= 2= , A5 5 A5 5 A2 1 A3 1 4 4 P(ξ=3)= 3= ,P(ξ=4)= 4= , A5 5 A5 5 A4 1 4 P(ξ=5)= 5= , A5 5 ∴随机变量 ξ 的分布列为: ξ 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 P 5 5 5 5 5 11.(13 分)(2010· 河源月考)某校组织一次冬令营活动,有 8 名同学参加,其中有 5 名男同

学,3 名女同学,为了活动的需要,要从这 8 名同学中随机抽取 3 名同学去执行一项 特殊任务,记其中有 X 名男同学. (1)求 X 的分布列; (2)求去执行任务的同学中有男有女的概率. 解 (1)X 的可能取值为 0,1,2,3. - Cm Cn -m M N M 根据公式 P(X=m)= 算出其相应的概率,即 X 的分布列为 n CM X P 0 1 56 1 15 56 2 15 28 3 5 28

(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为 15 15 45 P(X=1)+P(X=2)= + = . 56 28 56 12.(14 分)(2008· 北京理,17)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A、B、C、D 四个 不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者. (1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (3)设随机变量 ξ 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数,求 ξ 的分布列. 解 (1)记甲、乙两人同时参加 A 岗位服务为事件 EA, A3 1 3 那么 P(EA)= 2 4= . C5A4 40 1 即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是 . 40 (2)记甲、乙两人同时参加同一个岗位服务为事件 E, A4 1 4 那么 P(E)= 2 4= . C5A4 10 所以甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率是 9 P( E )=1-P(E)= . 10 (3)随机变量 ξ 可能取的值为 1,2,事件“ξ=2”是指有两人同时参加 A 岗位服务,则 C2A3 1 5 3 P(ξ=2)= 2 4= . C5A4 4 3 所以 P(ξ=1)=1-P(ξ=2)= ,ξ 的分布列是 4 ξ 1 2 3 1 P 4 4

§12.5

二项分布及其应用

一、选择题(每小题 7 分,共 42 分) 1.(2010· 广州模拟)甲、乙两人同时报考某一所大学,甲被录取的概率为 0.6,乙被录取 的概率为 0.7,两人是否被录取互不影响,则其中至少有一人被录取的概率为( ) A.0.12 B.0.42 C.0.46 D.0.88 解析 由题意知,甲、乙都不被录取的概率为

(1-0.6)(1-0.7)=0.12. ∴至少有一人被录取的概率为 1-0.12=0.88. 答案 D 2.(2010· 济宁联考)在 4 次独立重复试验中事件 A 出现的概率相同.若事件 A 至少发生 65 一次的概率为 ,则事件 A 在一次试验中出现的概率为 ( ) 81 1 2 5 A. B. C. D.以上都不对 3 5 6 解析 设一次试验出现的概率为 p, 65 1 0 则 1-C4p0(1-p)4= .∴p= . 81 3 答案 A 3.(2010· 六安模拟)如图所示,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均 等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 ( )

2 1 C. D. 3 3 1 1 C4 C4 4 解析 由独立事件发生的概率得 P= 1· 1= . C6 C6 9 答案 A 4.(2010· 金华调研)某人射击一次击中目标的概率为 0.6,经过 3 次射击,此人至少有两 次击中目标的概率为 ( ) 81 54 36 27 A. B. C. D. 125 125 125 125 54 解析 两次击中的概率 P1=C20.62(1-0.6)= , 3 125 27 3 三次击中的概率 P2=0.6 = , 125 81 ∴至少两次击中目标的概率 P=P1+P2= . 125 答案 A 5.(2009· 合肥模拟)位于坐标原点的一个质点 P 按下列规则移动:质点每次移动一个单 1 位;移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是 .质点 P 移动五次后 2 位于点(2,3)的概率是 ( ) 1?5 2?1?5 2?1?3 2 3?1?5 A.?2? B.C5?2? C.C5?2? D.C5C5?2? ? 解析 质点在移动过程中向右移动 2 次,向上移动 3 次,因此质点 P 移动 5 次后位于 点(2,3)的概率为 1 1 C2?2?2?1-2?3. 5 ? ?? ? 答案 B 6.(2009· 杭州段考)袋中有红、黄、绿色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取三次, 球的颜色全相同的概率是 ( ) 2 1 2 1 A. B. C. D. 27 9 9 27 1 1 1 1 解析 三次均为红球的概率为 × × = , 3 3 3 27 1 三次均为黄、绿球的概率也为 , 27

4 A. 9

2 B. 9

1 1 1 1 ∴抽取 3 次颜色相同的概率为 + + = . 27 27 27 9 答案 B 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.(2008· 湖北文,14)明天上午李明要参加奥运志愿者活动,为了准时起床,他用甲、乙 两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率是 0.80,乙闹钟准时响的概率是 0.90, 则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________. 解析 设 A=“两个闹钟至少有一个准时响”. ∴P(A)=1-P( A )=1-(1-0.80)(1-0.90) =1-0.2×0.1=0.98. 答案 0.98 1 8.(2010· 长沙模拟)高二某班共有 60 名学生,其中女生有 20 名,三好学生占 ,而且三 6 好学生中女生占一半.现在从该班同学中任选一名参加某一座谈会.则在已知没有选 上女生的条件下,选上的是三好学生的概率为________. 解析 设事件 A 表示“任选一名同学是男生”;事件 B 为“任取一名同学为三好学 生”,则所求概率为 P(B|A). 40 2 5 1 依题意得 P(A)= = ,P(AB)= = . 60 3 60 12 1 P(AB) 12 1 故 P(B|A)= = = . P(A) 2 8 3 1 答案 8 9.(2010· 济宁联考)有一批书共 100 本,其中文科书 40 本,理科书 60 本,按装潢可分精 装、平装两种,精装书 70 本,某人从这 100 本书中任取一书,恰是文科书,放回后再 任取 1 本,恰是精装书,这一事件的概率是________. 解析 设“任取一书是文科书”的事件为 A, “任取一书是精装书”的事件为 B, A、 则 B 是相互独立的事件,所求概率为 P(A· B). 40 2 70 7 据题意可知 P(A)= = ,P(B)= = , 100 5 100 10 2 7 7 ∴P(A· B)=P(A)· P(B)= × = . 5 10 25 7 答案 25 三、解答题(共 40 分) 10.(13 分)(2008· 重庆文,18)在每道单项选择题给出的 4 个备选答案中,只有一个是正 确的.若对 4 道选择题中的每一道都任意选定一个答案,求这 4 道题中: (1)恰有两道题答对的概率; (2)至少答对一道题的概率. 解 视“选择每道题的答案”为一次试验,则这是 4 次独立重复试验,且每次试验中 1 “选择正确”这一事件发生的概率为 . 4 由独立重复试验的概率计算公式得: 恰有两道题答对的概率为 1 3 27 P4(2)=C2( )2( )2= . 4 4 4 128 (2)方法一 至少有一道题答对的概率为 1 3 81 175 1-P4(0)=1-C0( )0( )4=1- = . 4 4 4 256 256 方法二 至少有一道题答对的概率为

1 3 1 3 1 3 1 3 108 54 12 1 175 C1( )( )3+C2( )2( )2+C3( )3( )+C4( )4( )0= + + + = . 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 256 256 256 256 256 11.(13 分)(2009· 北京文,17)某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇 1 到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是 ,遇到红灯时停留的时间都是 2 min. 3 (1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4 min 的概率. 解 (1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A,因为事件 A 等 价于事件“这名学生在第一个路口和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红 灯”,所以事件 A 的概率为 1 1 1 4 P(A)=?1-3?×?1-3?× = . ? ? ? ? 3 27 (2)设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4 min 为事件 B,这名学生 在上学路上遇到 k 次红灯为事件 Bk(k=0,1,2). 2 16 由题意得 P(B0)=?3?4= , ? ? 81 1 2 32 P(B1)=C1?3?1?3?3= , 4 ? ? ? ? 81 1 2 24 P(B2)=C2?3?2?3?2= . 4 ? ? ? ? 81 由于事件 B 等价于事件“这名学生在上学路上至多遇到 2 次红灯”, 所以事件 B 的概 率为 8 P(B)=P(B0)+P(B1)+P(B2)= . 9 12.(14 分)(2010· 汕头模拟)某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗 人员的再就业能力.每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培 训.已知参加过财会培训的有 60%,参加过计算机培训的有 75%,假设每个人对培训 项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响. (1)任选 1 名下岗人员,求该人参加过培训的概率; (2)任选 3 名下岗人员,记 ξ 为 3 人中参加过培训的人数,求 ξ 的分布列. 解 (1)任选 1 名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件 A,“该人参加过计算 机培训”为事件 B,由题意知,A 与 B 相互独立,且 P(A)=0.6,P(B)=0.75. 所以,该下岗人员没有参加过培训的概率为 P( A B )=P( A )· B )=(1-0.6)(1-0.75)=0.1. P( ∴该人参加过培训的概率为 1-0.1=0.9. (2)因为每个人的选择是相互独立的,所以 3 人中参加过培训的人数 ξ 服从二项分布, 即 ξ~B(3,0.9), - P(ξ=k)=Ck 0.9k×0.13 k,k=0,1,2,3, 3 ∴ξ 的分布列是 ξ 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729

§12.6

离散型随机变量的均值与方差

一、选择题(每小题 7 分,共 42 分)

1.(2010· 湘潭模拟)设一随机试验的结果只有 A 和 A ,且 P(A)=p,令随机变量 X= ,则 X 的方差 D(X)等于 ( ) (A不出现) A.p B.2p(1-p) C.-p(1-p) D.p(1-p) 解析 X 服从两点分布,故 D(X)=p(1-p). 答案 D 2.(2010· 池州联考)若 X~B(n,p),且 E(X)=6,D(X)=3,则 P(X=1)的值为 ( ) -2 -4 -10 -8 A.3· 2 B.2 C.3· 2 D.2 解析 E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=3, 1 - 1 1 ?1 ∴p= ,n=12,则 P(X=1)=C12··2?11=3· 10. 2 2 2? ? 答案 C 3.(2010· 马鞍山模拟)设随机变量的分布列如表所示且 E(ξ)=1.6,则 a-b 等于( ) ξ 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A.0.2 B.0.1 C.-0.2 D.-0.4 解析 由 0.1+a+b+0.1=1, a+b=0.8 得 ① 又由 E(ξ)=0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.6, 得 a+2b=1.3 ② 由①②,解得 a=0.3,b=0.5,∴a-b=-0.2. 答案 C 4.(2010· 衢州模拟)已知随机变量 ξ+η=8,若 ξ~B(10,0.6),则 E(η),D(η)分别是( ) A.6 和 2.4 B.2 和 2.4 C.2 和 5.6 D.6 和 5.6 解析 若两个随机变量 η,ξ 满足一次关系式 η=aξ+b(a,b 为常数),当已知 E(ξ)、 D(ξ)时,则有 E(η)=aE(ξ)+b,D(η)=a2D(ξ). 由已知随机变量 ξ+η=8,所以有 η=8-ξ. 因此,求得 E(η)=8-E(ξ)=8-10×0.6=2, D(η)=(-1)2D(ξ)=10×0.6×0.4=2.4. 答案 B 5.(2010· 中山调研)某街头小摊,在不下雨的日子一天可赚到 100 元,在下雨的日子每天 要损失 10 元, 若该地区每年下雨的日子约为 130 天, 则此小摊每天获利的期望值是(一 年按 365 天计算) ( ) A.60.82 元 B.68.02 元 C.58.82 元 D.60.28 元 235 130 解析 E(ξ)=100× +(-10)× ≈60.82 365 365 ∴选 A. 答案 A 6.(2010· 岳阳联考)一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不 得分的概率为 c(a、b、c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的数学期望为 2(不计其他得分 情况),则 ab 的最大值为 ( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 48 24 12 6 解析 设投篮得分为随机变量 X,则 X 的分布列为 X 3 2 0 P a b c 1 E(X)=3a+2b=2≥2 3a×2b,所以 ab≤ , 6 当且仅当 3a=2b 时,等号成立. 答案 D 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分)
?1 ? ? ? ?0

(A出现)

7.(2010· 云浮模拟)有一批产品,其中有 12 件正品和 4 件次品,从中任取 3 件,若 ξ 表 示取到次品的个数,则 E(ξ)=________. 解析 ξ 的取值为 0,1,2,3,则 C3 11 C2 C1 33 12 12 4 P(ξ=0)= 3 = ;P(ξ=1)= 3 = ; C16 28 C16 70 C1 C2 9 C3 1 12 4 4 P(ξ=2)= 3 = ;P(ξ=3)= 3 = . C16 70 C16 140 11 33 9 1 21 3 ∴E(ξ)=0× +1× +2× +3× = = . 28 70 70 140 28 4 3 答案 4 8. (2009· 上海理, 7)某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志愿者, 若用随机变量 ξ 表示选出的志愿者中女生的人数, 则数学期望 E(ξ)=__________(结果 用最简分数表示). 解析 ξ 的可能取值为 0,1,2, C2 10 C1C1 10 C2 1 5 5 2 2 P(ξ=0)= 2= ,P(ξ=1)= 2 = ,P(ξ=2)= 2= , C7 21 C7 21 C7 21 10 10 1 4 ∴E(ξ)= ×0+ ×1+ ×2= . 21 21 21 7 4 答案 7 9.(2009· 广东理,12)已知离散型随机变量 X 的分布列如右表,若 E(X)=0,D(X)=1,则 a= ,b= .

解析

? ? 1 由题意知?-a+c+6=0 ?a+c+1=1, ? 3
5 a= , 12

11 a+b+c= , 12 ,

? ? 1 解得?b=4, ?c=1. ? 4
答案

5 1 12 4 三、解答题(共 40 分) 10.(13 分)(2010· 阳江调研)袋中有相同的 5 个球,其中 3 个红球,2 个黄球,现从中随 机且不放回地摸球,每次摸 1 个,当两种颜色的球都被摸到时,即停止摸球,记随机 变量 ξ 为此时已摸球的次数,求: (1)随机变量 ξ 的概率分布列; (2)随机变量 ξ 的数学期望与方差. 解 (1)随机变量 ξ 可取的值为 2,3,4, 1 C1C3C1 3 2 2 P(ξ=2)= 1 1 = ; C5C4 5 2 1 2 1 A2C3+A3C2 3 P(ξ=3)= = ; 1 C1C4C1 10 5 3 3 1 A3C2 1 P(ξ=4)= 1 1 1 1= ; C5C4C3C2 10

所以随机变量 ξ 的概率分布列为: ξ 2 3 4 3 3 1 P 5 10 10 (2)随机变量 ξ 的数学期望 3 3 1 5 E(ξ)=2·+3· +4· = ; 5 10 10 2 随机变量 ξ 的方差 5 3 5 3 5 1 9 D(ξ)=(2- )2·+(3- )2· +(4- )2· = . 2 5 2 10 2 10 20 11.(13 分)(2010· 邵阳模拟)某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行 5 次统一测试, 学生如果通过其中 2 次测试即可获得足够学分升上大学继续学习,不用参加其余的测 1 试,而每个学生最多也只能参加 5 次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是 ,每 3 次测试时间间隔恰当,每次测试通过与否互相独立. (1)求该学生考上大学的概率; (2)如果考上大学或参加完 5 次测试就结束,记该生参加测试的次数为 X,求 X 的分布 列及 X 的数学期望. (1)记“该学生考上大学”为事件 A,其对立事件为 A , 1 2 2 则 P( A )=C1?3??3?4+?3?5, 5 ? ?? ? ? ? 2 131 ?1 2 ∴P(A)=1-?C1·3??3?4+?3?5?= . 5 ? ? ?? ? ? ? ? 243 (2)参加测试次数 X 的可能取值为 2,3,4,5. 1 1 P(X=2)=?3?2= ; ? ? 9 121 4 P(X=3)=C1···= ; 2 3 3 3 27 4 1 1 ?2?2 1 P(X=4)=C3··3? ·= ; 3? 3 27 2 1 ?2 16 P(X=5)=C1··3?3+?3?4= . 4 3 ? ? ? ? 27 故 X 的分布列为: X 2 3 4 5 1 4 4 16 P 9 27 27 27 1 4 4 16 38 E(X)=2× +3× +4× +5× = . 9 27 27 27 9 131 38 答 该生考上大学的概率为 ,所求数学期望是 . 243 9 12.(14 分)(2009· 陕西理,19)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 ξ 表示,据统 计,随机变量 ξ 的概率分布列如下表: ξ 0 1 2 3 P 0.1 0.3 2a a (1)求 a 的值和 ξ 的数学期望; (2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消 费者投诉 2 次的概率. 解 (1)由概率分布列的性质有 0.1+0.3+2a+a=1, 解得 a=0.2. ∴ξ 的概率分布列为 ξ 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.4 0.2 解

∴E(ξ)=0×0.1+1×0.3+2×0.4+3×0.2=1.7. (2)设事件 A 表示“两个月内共被投诉 2 次”;事件 A1 表示“两个月内有一个月被投 诉 2 次,另一个月被投诉 0 次”;事件 A2 表示“两个月均被投诉 1 次”. 则由事件的独立性得 P(A1)=C1P(ξ=2)P(ξ=0)=2×0.4×0.1=0.08, 2 P(A2)=[P(ξ=1)]2=0.32=0.09. ∴P(A)=P(A1)+P(A2)=0.08+0.09=0.17. 故该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率为 0.17.

§12.7

正态分布

一、选择题(每小题 7 分,共 42 分) 1. (2008· 重庆理, 5)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,2), P(ξ<3)等于 σ 则 ( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 5 4 3 2 解析 由正态分布图象知,μ=3 为该图象的对称轴, 1 P(ξ<3)=P(ξ>3)= . 2 答案 D 2.(2008· 安徽理,10)设两个正态分布 N(μ1,σ2) (σ1>0)和 N(μ2,σ2) (σ2>0)的密度函数图 1 2 象如图所示,则有 ( )

A.μ1<μ2,σ1<σ2 B.μ1<μ2,σ1>σ2 C.μ1>μ2,σ1<σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2 解析 由正态分布 N(μ,σ2)性质知,x=μ 为正态密度函数图象的对称轴,故 μ1<μ2.又 σ 越小,图象越高瘦,故 σ1<σ2. 答案 A 3.(2010· 烟台调研)某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布, (x-80)2 1 其密度函数为 φμ,σ(x)= e- (x∈R), 则下列命题不正确的是 ( ) 200 2π· 10 A.该市这次考试的数学平均成绩为 80 分 B.分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同 C.分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同 D.该市这次考试的数学成绩标准差为 10 解析 由密度函数知,均值(期望)μ=80,标准差 σ=10,又曲线关于直线 x=80 对称, 故分数在 100 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同,所以 B 是错误的. 答案 B 4.(2010· 温州十校联考)已知随机变量 ξ~N(3,22),若 ξ=2η+3,则 D(η)等于( ) A.0 B.1 C.2 D.4 解析 由 ξ=2η+3,得 D(ξ)=4D(η),而 D(ξ)=σ2=4, ∴D(η)=1. 答案 B

5.(2009· 湖南师大附中第五次月考)标准正态总体在区间(-3,3)内取值的概率为( ) A.0.998 7 B.0.997 4 C.0.944 D.0.841 3 解析 标准正态分布 N(0,1),σ=1,区间(-3,3), 即(-3σ,3σ),概率 P=0.997 4. 答案 B 6.(2010· 绍兴一模)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,则 P(ξ<0) 等于 ( ) A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84 解析 P(ξ<0)=P(ξ>4)=1-P(ξ≤4)=1-0.84=0.16. 答案 A 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.(2009· 安徽理,11)若随机变量 X~N(μ,σ2),则 P(X≤μ)=________. 1 解析 由于随机变量 X~N(μ,σ2),其概率密度曲线关于 x=μ 对称,故 P(X≤μ)= . 2 1 答案 2 8.(2010· 枣庄一模)已知正态分布总体落在区间(0.2,+∞)的概率为 0.5,那么相应的正 态曲线 φμ,σ(x)在 x=________时达到最高点. 解析 ∵P(X>0.2)=0.5,∴P(X≤0.2)=0.5, 即 x=0.2 是正态曲线的对称轴. ∴当 x=0.2 时,φμ,σ(x)达到最高点. 答案 0.2 9.(2009· 济宁五校联考)在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态分布 N(1,σ2)(σ>0).若 ξ 在(0,1)内取值的概率为 0.4,则 ξ 在(0,2)内取值的概率为________. 解析 ∵ξ 服从正态分布(1,σ2), ∴ξ 在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为 0.4. ∴ξ 在(0,2)内取值概率为 0.4+0.4=0.8. 答案 0.8 三、解答题(共 40 分) 10.(13 分)(2010· 杭州段考)设 X~N(10,1). (1)证明:P(1<X<2)=P(18<X<19); (2)设 P(X≤2)=a,求 P(10<X<18). (1)证明 因为 X~N(10,1),所以正态曲线 φμ,σ(x)关于直线 x=10 对称,而区间[1,2]和 2 [18,19]关于直线 x=10 对称,所以?1φμ,σ(x)dx=?19φμ,σ(x)dx, 18 即 P(1<X<2)=P(18<X<19).

(2)解 P(10<X<18)=P(2<X<10) 1 =P(X<10)-P(X≤2)= -a. 2 1 11.(13 分)(2010· 揭阳模拟)工厂制造的某机械零件尺寸 X 服从正态分布 N?4,9?,问在 ? ? 一次正常的试验中,取 1 000 个零件时,不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有 多少个? 1 1 解 ∵X~N?4,9?,∴μ=4,σ= . ? ? 3 ∴不属于区间(3,5)的概率为 P(X≤3)+P(X≥5)=1-P(3<X<5) =1-P(4-1<X<4+1)

=1-P(μ-3σ<X<μ+3σ) =1-0.997 4=0.002 6≈0.003, ∴1 000×0.003=3(个), 即不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有 3 个. 12. 分)(2010· (14 马鞍山调研)某人乘车从 A 地到 B 地, 所需时间(分钟)服从正态分布 N(30, 100),求此人在 40 分钟至 50 分钟到达目的地的概率. 解 由 μ=30,σ=10,P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6 知此人在 20 分钟至 40 分钟到达目 的地的概率为 0.682 6,又由于 P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4 ,所以此人在 10 分钟至 20 分钟和 40 分钟至 50 分钟到达目的地的概率为 0.954 4-0.682 6=0.271 8, 由正态曲 线关于直线 x=30 对称得此人在 40 分钟至 50 分钟到达目的地的概率为 0.135 9.


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