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高一数学必修3知识点总结及典型例题解析

时间:2013-04-19


必修 3 概率部分知识点总结

新课标必修 3 概率部分知识点总结及典型例题解析 ? ?
事件:随机事件( random event ) ,确定性事件: 必然事件( certain event )和不 可能事件( impossible event ) 随机事件的概率(统计定义):一般的,如果随机事件 A 在 n 次实验中发生了 m 次,

当实验的次数 n 很大时,我们称事件 A 发生的概率为 P ? A? ?

m n

说明:① 一个随机事件发生于具有随机性,但又存在统计的规律性,在进行大量的重 复事件时某个事件是否发生,具有频率的稳定性 ,而频率的稳定性又是必然的,因此偶然 性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事 件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值,它具有一定的稳定性,总在某个常 数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这个摆动的幅度越来越小,而这个接近的某个 常数,我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果,讲的是 一种大的整体的趋势,而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值,频率是概率 的近似值

?

概率必须满足三个基本要求:① 对任意的一个随机事件 A ,有 0 ? P? A? ? 1

② 用?和?分别表示必然事件和不 可能事件, 则有P??? ? 1, P??? ? 0 ③如果事件

A和B互斥,则有 : P? A ? B? ? P? A? ? P?B?

?

古典概率 (Classical probability model) ① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件 : 发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个 n , 则每一个基本事件发生的概率都是

1 ,如果某个事件 A 包含了其中的 m 个等可能的基本事件,则事件 A 发生的概率为 n m P ? A? ? n

?

几何概型 (geomegtric probability model) 一般地, : 一个几何区域 D 中随机地取一点, 记事件“改点落在其内部的一个区域 d 内”为事件 A ,则事件 A 发生的概率为

P ? A? ?

d的 侧 度 D的 侧 度

( 这里要求 D 的侧度不为 0, 其中侧度的意义由 D 确定, 一般地,

线段的侧度为该线段的长度; 平面多变形的侧度为该图形的面积; 立体图像的侧度为其 体积 ) 几何概型的基本特点:① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多 颜老师说明:为了便于研究互斥事件,我们所研究的区域都是指的开区域,即不含边界, 在区域 D 内随机地取点,指的是该点落在区域 D 内任何一处都是等可能的,落在任何 部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比,而与其形状无关。

?互斥事件(exclusive events):不能同时发生的两个事件称为互斥事件

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对立事件(complementary events) :两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事 件 ,事件 A 的对立事件 记为: A

?独立事件的概率: 若A , B 为相互独立的事件事件则 P?AB? ? P?A?P?B? , ,
若 A1 , A2 , ..., An 为两两独立的事件则 P?A1A 2 ...An ? ? P?A1 ?P?A 2 ?...P?A n ? , 颜老师说明: ① 若 A , B 为互斥事件 则 A , B 中最多有一个发生 可能都不发生, , , 但不可能同时发生 ,从集合的关来看两个事件互斥,即指两个事件的集合的交集是空 集 ② 对立事件是指的两个事件, 而且必须有一个发生, 而互斥事件可能指的很多事 件, 但最多只有一个发生, 可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件 ④ 从集合论来 看: 表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集, 但两个对立事件的并集是全集 , 而两个互斥事件的并集不一定是全集 ⑤ 两个对立事件的概率之和一定是 1 ,而两个 互斥事件的概率之和小于或者等于 1 ⑥ 若 事 件 A, B 是 互 斥 事 件 , 则 有

P? A ? B? ? P? A? ? P?B? ⑦

一般地,如果

A1 , A2 ,..., An 两 两 互 斥 , 则 有


P? A1 ? A2 ? ... ? An ? ? P? A1 ? ? P? A2 ? ? ... ? P? An ?

P? A? ? 1 ? P A ⑨ 在

??

本教材中 A1 ? A2 ? ... ? An 指的是 A1 , A2 ,...,An 中至少发生一个 ⑩ ★ 在具体做题 中,希望大家一定要注意书写过程,设处事件来,利用哪种概型解题,就按照那种概型 的书写格式,最重要的是要设出所求的事件来 ,具体的格式请参照我们课本上(新课 标试验教科书-苏教版)的例题

?例题选讲:
例 1. 在大小相同的 6 个球中,4 个是红球,若从中任意选 2 个,求所选的 2 个球至少有 一个是红球的概率? 【分析】题目所给的 6 个球中有 4 个红球,2 个其它颜色的球,我们可以根据不同的思路 有不同的解法 解法 1: (互斥事件)设事件 A 为“选取 2 个球至少有 1 个是红球” ,则其互斥事件为 A 意义为“选取 2 个球都是其它颜色球”

?PA ?

? ?

1 (6 ? 5) 2

?

1 1 14 ? P?A ? ? 1 - P A ? 1 - ? 15 15 15

? ?

14 . 15 6?5 ? 15 种情况,设事件 A 为“选 解法 2: (古典概型)由题意知,所有的基本事件有 2 4?3 ? 14 取 2 个球至少有 1 个是红球”, 而事件 A 所含有的基本事件数有 4 ? 2 ? 2
答:所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为

必修 3 概率部分知识点总结

所以 P ? A ? ?

14 15 14 . 15

答:所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为

解法 3: (独立事件概率)不妨把其它颜色的球设为白色求,设事件 A 为“选取 2 个球至 少有 1 个是红球” ,事件 A 有三种可能的情况:1 红 1 白;1 白 1 红;2 红,对应的概率分 别为:

4 2 2 4 4 3 14 ? ? ? ? ? ? 6 5 6 5 6 5 15 14 答:所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为 . 15

4 2 2 4 4 3 ? , ? , ? , 则有 6 5 6 5 6 5

P ? A? ?

评价:本题重点考察我们对于概率基本知识的理解,综合所学的方法,根据自己的理解用 不同的方法,但是基本的解题步骤不能少! 变式训练 1: 在大小相同的 6 个球中,2 个是红球,4 个是白球,若从中任意选取 3 个,求 至少有 1 个是红球的概率? 解法 1: (互斥事件)设事件 A 为“选取 3 个球至少有 1 个是红球” ,则其互斥事件为 A , 意义为“选取 3 个球都是白球”

4 ? 3? 2 3 C4 3 ? 2 ? 1 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? P?A ? ? 1 - P A ? 1 - 1 ? 4 ?PA ? 3 ? 6 5 4 5 5 5 C 6 (6 ? 5 ? 4) 3 ? 2 ?1

? ?

? ?

答:所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为

6?5? 4 ? 20 种情况,设事件 A 3 ? 2 ?1 为“选取 3 个球至少有 1 个是红球” ,而事件 A 所含有的基本事件数有 4?3 16 4 2 2 ? C4 ? 1? 4 ? 2 ? ? 16 , 所以 P? A? ? ? 2 20 5 4 答:所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为 . 5 解法 3: (独立事件概率)设事件 A 为“选取 3 个球至少有 1 个是红球” ,则事件 A 的情
解法 2: (古典概型)由题意知,所有的基本事件有 C 6 ?
3

4 . 5

况如下: 红 白 白 1红2白 白 白 红 白 红 白 红 红 白 2红1白 红 白 红 白 红 红

2 4 3 1 ? ? ? 6 5 4 5 4 3 2 1 ? ? ? 6 5 4 5 4 2 3 1 ? ? ? 6 5 4 5 2 1 4 1 ? ? ? 6 5 4 15 2 4 1 1 ? ? ? 6 5 4 15 4 2 1 1 ? ? ? 6 5 4 15

必修 3 概率部分知识点总结

所以

1 1 4 P ? A? ? 3 ? ? 3 ? ? 5 15 5 4 . 5

答:所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为

变式训练 2:盒中有 6 只灯泡,其中 2 只次品,4 只正品,有放回的从中任抽 2 次,每次 抽取 1 只,试求下列事件的概率: (1)第 1 次抽到的是次品 (2)抽到的 2 次中,正品、次品各一次 解:设事件 A 为“第 1 次抽到的是次品” 事件 B 为“抽到的 2 次中,正品、次品各一次” ,

4? 2 ? 2? 4 4 2 4 4 2 4 ? (或者 P?B ? ? ? ? ? ? ) 6?6 9 6 6 6 6 9 1 4 答:第 1 次抽到的是次品的概率为 ,抽到的 2 次中,正品、次品各一次的概率为 3 9
则 P ? A? ?

2 1 ? 6 3

, P ?B ? ?

变式训练 3:甲乙两人参加一次考试共有 3 道选择题,3 道填空题,每人抽一道题,抽到后 不放回, (1) 求 甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率? (2) 求至少 1 人抽到选择题的概率? 【分析】 (1)由于是不放回的抽,且只抽两道题,甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的, 所以可以用独立事件的概率(2)事件“至少 1 人抽到选择题”和事件“两人都抽到填空题” 时互斥事件,所以可以用互斥事件的概率来 解:设事件 A 为“甲抽到选择题而乙抽到填空题” ,事件 B 为“至少 1 人抽到选择题” ,则 B 为“两人都抽到填空题” (1) P? A? ?

3 3 3 ? ? 6 5 10

? P1 P1 3 ? 3 3 ? ? 或者P? A? ? 3 23 ? ? ? ? 6 ? 5 10 ? P6 ? ? ? P32 1 ? 1 4 ? 或者P B ? 2 ? ? 则 P?B ? ? 1 ? P B ? 1 ? ? ? ? 5 5 5? P6 ?
3 4 ,少 1 人抽到选择题的概率为 . 10 5

3 2 1 (2) P B ? ? ? 6 5 5

??

??

??

答:甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为

变式训练 4:一只口袋里装有 5 个大小形状相同的球,其中 3 个红球,2 个黄球,从中不放 回摸出 2 个球,球两个球颜色不同的概率? 【分析】先后抽出两个球颜色相同要么是 1 红 1 球,要么是 1 黄 1 球 略解: P? A? ?

3 2 2 3 3 ? 6 3? ? 或者 P? A? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 5 4 5 4 5 ? C5 5 ? ?

变式训练 5:设盒子中有 6 个球,其中 4 个红球,2 个白球,每次人抽一个,然后放回, 若连续抽两次,则抽到 1 个红球 1 个白球的概率是多少? 略解: P? A? ?

4 2 2 4 4? 2 2? 4 4 ? ? ? ? ? ? 6 6 6 6 6?6 6?6 9


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