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北师大版必修4高中数学1.9《三角函数的简单应用》ppt课件_图文

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三角函数在物理学中的应用 物理学中的周期现象的处理方法 三角函数是研究周期现象最重要的数学模型,它有着 重要的应用价值.由于物理学中的单摆、光波、机械波、电 流等都具有周期性,且均符合三角函数的相关知识.因此借 助于三角函数模型,正确利用物理学中的相关知识是解答 此类问题的关键.

【例1】如图,表示电流强度I与 时间t的关系式I=Asin(ω t+ ? ) (A>0,ω >0)在一个周期内的图像 (1)根据图像写出I=Asin(ω t+ ? ) 的解析式; (2)为了使I=Asin(ω t+ ? )中t在任意一段 1 秒的时间内I
100
能同时取最大值|A|和最小值-|A|,那么正整数ω 的最小值 为多少?

【审题指导】(1)由一个周期内的图像可确定图像的五个关键
点,据此可求出解析式.(2)画图分析得:要使任意一段 1秒的时间内I能同时取最大值和最小值,需要满足周期
100 T? 1 .
100

【规范解答】(1)由图可知:A=300,

周期 T ? 1 ? ( ? 1 ) ? 1 .
60 300 50
∴ ? ? 2? ,? 1此00时? 所求函数的解析式为
T
I=300sin(100πt+? )

以点(? 1 为,0“) 五点法”作图的第一关键点,则有
300

100?? ( ? 1 ) ? ? ? 0,?? ? ? .

300

3

得函数解析式为 I ? 300sin(10.0?t ? ?)

3

(2)要使t在任意一段 1秒能取得最大值和最小值,
100
必须使得周期 T ? 1
100
即 2? ? 1 ? ? ? 200? ? ?>628.3
? 100
由于ω为正整数,故ω的最小值为629.

三角函数在生产生活中的应用 对三角函数在生产生活中的应用的理解 (1)现实生产、生活中,周期现象广泛存在,在解决实际问 题时要注意搜集数据,作出相应的“散点图”,通过观察 散点图,进行函数拟合,获得具体的函数模型. (2)应用数学知识解决实际问题时,应该注意从复杂的背景 中抽取基本的数学关系,还要用相关学科知识来帮助理解 问题. (3)在阅读过程中,注意挖掘一些隐含条件.

应用问题不是单纯的数学问题,既要符合数学科学, 又要符合实际背景,因此,对于解出的结果要代入原问题 中进行检验、评判.

【例2】如图为一个缆车示意图,该缆车 半径为4.8 m,圆上最低点与地面距离为 0.8 m,60秒转动一圈,图中OA与地面垂 直,以OA为始边,逆时针转动θ 角到OB, 设B点与地面距离是h. (1)求h与θ 间的函数关系式; (2)设从OA开始转动,经过t秒后到达OB,求h与t之间的函 数解析式,并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是 多少?

【审题指导】联想到由三角函数的定义可求角θ 与点B的坐 标关系,可考虑建立恰当的直角坐标系,用θ 表示点B的坐 标,进而求h与θ 的函数关系式.对于第(2)问可求θ 与时间t 的关系,得到h与t的函数关系式.

【规范解答】(1)以圆心O为原点,建立

如图所示的坐标系,则以Ox为始边,OB

为终边的角为 ? ?,?
2

故B点坐标为(4.8cos(? ? ?), 4.8sin(? ? ?)).

2

2

∴h=5.6+4.8sin(? ? ?,θ) ∈[0,+∞).
2

(2)点A在圆上转动的角速度是 ?,故t秒转过的弧度数为
30
?, t
30
∴h=5.6+4.8sin( ? t ?,?t∈) [0,+∞).
30 2
到达最高点时,h=10.4 m.

由sin( ? t ?得? ) ? 1 ,?∴tt=? 3?0?, ?

30 2

30 2 2

∴缆车到达最高点时,用的时间最少为30秒.

三角函数在平面几何中的应用 对三角函数在平面几何中应用的认识 三角函数的基础是平面几何中的相似形与圆,但研究 的方法是采用代数中函数的研究方法和代数运算的方法, 于是使三角函数成了联系几何和代数的桥梁,使它在几何 和代数中都能有所作为,这无疑使三角函数在平面几何中 有着广泛的应用.

【例】如图,半径为1的圆与直线l相交 于A、B两个不同的点,设∠AOB=x,当 直线l平行移动时,则圆被直线扫过部 分(图中阴影部分)的面积S关于x的函 数S(x)=_______. 【审题指导】弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面 积.

【规范解答】∵

S扇形

?

1 ? x ?12 2

?

x 2

S三角形

?

1 2

?1?1? sinx

?

1 sinx 2

∴S(x)=S扇形-S三角形

= 1(x-sinx),x∈(0,2π).
2
答案:1 ?x ? sinx?, x ? (0,2?)
2

【典例】(12分)某风景美丽的海滩的浪高y(米)是时间

t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作y=f(t),下面是某日

浪高的数据:

t/h 0

3

69

12

y/m 3.50 2

0.50 1.98 3.51

t/h 15 18 21 24

y/m 2.02 0.49 1.99 3.49

经长期观察,y=f(t)的曲线可以近似地看成函数 y=Acos ω t+b的图像; (1)试根据以上数据,求出函数y=f(t)的近似表达式; (2)一般情况下,浪高在1.25 m~2 m之间可以允许冲浪爱好 者开展冲浪运动(认为是安全的),试求一天内的上午8:00至 晚上20:00之间有多少时间可供冲浪者安全地进行冲浪运动?

【审题指导】解答第(1)题的关键是确定周期和最大值、最小 值,求参数A、ω、b. 解答第(2)题时要注意根据题意构造不 等式1.25≤y≤2.0,求出t的取值范围.

【规范解答】(1)由表中数据,知周期T=12 ∴ ? ? 2? ? …2?…? …? …………………………………2分
T 12 6
由t=0,y=3.5,得A+b=3.5
由t=3,y=2.0,得b=2.0
∴A=1.5……………………………………………………4分 ∴ y ? 1.5co(s0?≤t t?≤224) ……………………………6分
6

(2)由题知,当1.25≤y≤2.0时才可对冲浪者开放,

∴ 1.25 ? 1.5cos ? t ? 2 ? 2
6

∴ ? 1 ? cos…? t…?…0 …………………………………8分

2

6

∴ 2k? ? ? ? ? t ? 2k? ? 2?

26

3

或 2k? ? 4? ? ? t ?(k2∈k?Z?)3?

36

2

即12k+3≤t≤12k+4

或12k+8≤t≤12k+9(k∈Z)………………………………①

∵0≤t≤24,故可令①中k分别为0,1, 得3≤t≤4或8≤t≤9 或15≤t≤16或20≤t≤21………………………………10分 ∴在规定时间上午8:00至晚上20:00之间,故有2个小时的时 间可供冲浪者运动:分别是上午8:00至9:00与下午15:00至 16:00.……………………………………………………12分

【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下:

1.如图,是一向右传播的绳波,在某一时刻绳子各点的位置 图,经过 1 周期后,乙点的位置将传播至( )
2
(A)甲 (B)丙 (C)丁 (D)戊 【解析】选C.由图像可知乙为最低点,丁点为相邻最高点因 此经过 1周期后,乙点的位置将传播至丁.
2

2.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开

平衡位置O的位移s cm和时间t s的函数关

系式为 s ? 6sin(2?t ? ?) ,那么单摆来回摆
6
动一次所需时间为( )

(A)2π s

(B)π s

(C)0.5 s (D)1 s

【解析】选D.因为函数 s ? 6sin(2?的t ?周?期)
6
以单摆来回摆动一次所需时间为1 s.

,T所? 2? ? 1
2?

3.由于电流强度I随时间t变化的函数关系式是I=Asin ω t,

设ω =100π (弧度/秒),A=5(安培),则电流强度I变化的周

期是______;当 t ? 3 (秒)时,电流强度是______.
200
【解析】T ? 2? ? 2(?秒?) 1
? 100? 50
∵I=5sin100πt

∴ t ? 3 ,I ? 5sin(100?? (3安)培?)5sin 3? ? ?5

200

200

2

答案: 1秒 -5安培

50

4.一半径为10的水轮,水轮的圆心距水面7,已知水轮每分

钟旋转4圈,水轮上点P到水面距离y与时间x(秒)满足函数关

系 y ? Asin??t ? ?? ? 7?A ? 0,? ? 0?,则A=_____,ω =_____.
【解析】由已知得P点离水面的距离的最大值为17,

∴A=10,又水轮每分钟旋转4圈,

?T ? 60 ? 15,?? ? 2?

4

15

答案:10 2?

15

5.弹簧挂着小球,做上下振动,如图所 示,其规律为 s ? 4cos(2t ? ?) ,这里
3
s(cm)表示时间t(s)内小球离开平衡位 置的位移(规定:当小球在平衡位置上 方时s>0),求: (1)当运动开始时,小球所在位置; (2)小球上升到最高点时和下降到最低点时的位置; (3)经过多少时间,小球重复振动一次?

【解析】(1)∵ s ? 4cos(2t ? ?)
3
∴当t=0时 s ? 4cos ? ? 4? 1 ? 2 ? 0
32
∴当运动开始时,小球在平衡位置上方2 cm.
(2)∵ cos(2t ? ? ) ? 1
3
∴小球上升到最高点时离开平衡位置向上4 cm处,下降到最
低点时离开平衡位置向下4 cm处.

(3)小球重复一次振动所需要时间就是函数 s ? 4cos(2t ? ?)
3
的周期,其周期T=π,故小球重复振动一次所需的时间是πs.

编后语
? 老师上课都有一定的思路,抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路,这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
? ① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题,有的要求回答,有的则是自问自答。一般来说,老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键,若能抓住老师提出的问题深入思考,就可以抓住老师的思路。
? ② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的,若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较,便可以抓住老师的思路。
? ③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语,如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等,这些 用语往往体现了老师的思路。来自:学习方法网
? ④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时,一般有一个推导过程,如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程,这有助于理解记忆结论,也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
? ⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候,最好是做个记号,姑且先把这个问题放在一边,继续听老师讲后面的 内容,以免顾此失彼。来自:学习方法网
? ⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆,而且有利于抓住老师的思路。

2019/8/13

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