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2012-2013高二下期期末考试文科数学

时间:2013-06-28


2012—2013 学年度下学期期末考试

高二文科数学试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1、将函数 y ? cos( x ? 平移

?
3

) 的图像上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向左
) D、 x ? ? ) D、两条相交直线 ) D、? ? ? 3 sin ? )

? 个单位,所得函数图像的一条对称轴为( 6 ? ? ? A、 x ? B、 x ? C、 x ? 9 8 2
2、极坐标方程 A、极点

? cos 2? ? ? 表示的曲线为(
B、极轴 C、一条直线

3、极坐标系中,过点 (2, A、

?
3

) 且与极轴垂直的直线方程为 (

? ? ?4 c o? s

? B、 ? c o s ? ? ? ? C、

? sin ? ? ? 3

4、下列在曲线 ?

? x ? sin 2? 上的点是( (? 为参数) ? y ? cos? ? sin ?

1 3 1 B、 ( , ) C、 (2, 3) 2 4 2 3 5、已知 f ( x)=x 的切线的斜率等于 1,则其切线方程有( )
A、 () ( , ? 2) A.1 个 B.2 个 C.多于两个

D、 (1, 3)

D.不能确定 ) D.5

3 6、 f ( x)=x +ax+3x ? 9 已知 f ( x ) 在 x ? ?3 时取得极值,则 a 等于(

A.2

B.3

C.4

7、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2an (n ? 2) ,而 a1 ? 1 ,通过计算 a2 , a3 , a4 ,猜想 an 等 于( ) A、

2 (n ? 1 2 )

B、

2 n( n ? 1 )

C、

2 2 ?1
n

D、

2 2n ? 1

8、已知函数

1 f ( x) ? ( ) x , a, b ? R ? , A ? f ( a ? b ) , B ? f ( ab ) , C ? f ( 2ab ) ,则 2 2 a?b
) B.A≤C≤B D.C≤B≤A ) B.小于 0 D.不大于 0
1

A、B、C 的大小关系为( A.A≤B≤C C.B≤C≤A

9、已知 a ? b ? c ? 0 ,则 ab ? bc ? ac 的值为( A.大于 0 C.不小于 0

10、已知 Z ? 3 ,且 Z ? 3i 是纯虚数,则 Z =( A.? 3i B. 3i

) C.? 3i ) D.4i

11、 将 8 分为两数之和,使其立方之和最小,则分法为( A.2 和 6 C.3 和 5 B.4 和 4 D.以上都不对

12、将全体正奇数排成一个三角形数阵: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 …… 按 照 以 上 排 列 的 规 律 , 第 n 行 ( n ≥3 ) 从 左 向 右 的 第 3 个 数 为 .

A、

n2 + 3 ? 1 1 n

B、 n +2n ? 2
2

C、 n ? 2n+9
2

D、 n ? n+5
2

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、 已知圆的极坐标方程 ? ? 2cos ? , 则该圆的圆心到直线 ? sin ? ? 2? cos ? ? 1 的距离是 ______________________。 14、椭圆 ?

? x ? 4 ? 2cos ? 的焦距是___________________。 (? 为参数) ? y ? 1 ? 5sin ?
5 2 ? ? x ? 5 cos ? ? ?x ? t (? 为参数) ? 和 ,它们 4 (t为参数) ? y ? sin ? ? ?y ? t ?

15、已知两曲线的参数方程分别为 ?

的交点坐标为___________________。 16、过点 P(1, 2) 的直线 ?

? x ? 1 ? 4t ,与圆 x2 ? y 2 ? 4 相较于 A、B 两点,则 (t为参数) y ? 2 ? 3t ?

________________。 三、解答题(本大题共 6 个小题,17 题 10 分,其余各题各 12 分,共 70 分) 17、已知复数 z 满足: z ? 1 ? 3i ? z, 求

(1 ? i) 2 (3 ? 4i) 2 的值. 2z

18 、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的 生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据:

2

x y

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

(1)请在给出的坐标系内画出上表数据的散点图;

? ? (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的回归直线方程 y ? bx ? a ;
(3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 92 吨标准煤.试根据(2)求出的回归方 程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考数据: 3× 2.5+4× 3+5× 4+6× 4.5=66.5)
n ? ? x i yi ? nxy ? ? ? i ?1 ?b n ? (参考公式: ? ? x i2 ? nx 2 ) ? i ?1 ? ? ?a ? y ? bx ??

19、调查 1000 名 50 岁以上有吸烟习惯与患慢性气管炎的人的情况,获数据如下表: 患慢性气管炎 吸烟 不吸烟 合计 360 140 500 未患慢性气管炎 320 180 500 总计 680 320 1000

试问:根据列联表的独立性检验,能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为吸烟 习惯与患慢性气管炎病有关?参考数据如下: n(ad-bc)2 (k= ,且 P(K2≥6.635)≈0.01, ) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

4 ? ?x ? 1? 5 t ? ? (t为参数) 20、求直线 ? 被曲线 ? ? 2 cos(? ? ) 所截的弦长。 4 ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?

21、已知 a, b, c ? R ,求证:

?

a 2 ? b2 ? c 2 a ? b ? c 。 ? 3 3

22、 设函数 f ( x) ? ? x ? 2mx ? m x ? 1 ? m,(其中m> ? 2) 的图像在
3 2 2

处的切线与直线

3

y = ? 5x+12 平行。
(1)求 m 的直线; (2)求函数 f (x) 在区间 上的最小值;

(3)若 a ? 0,b ? 0,c ? 0, 且a+b+c=1 ,利用结论(2)证明:

a b c 9 + + ? 2 2 2 1+a 1+b 1+c 10

2012—2013 学年度下学期期末考试
4

高二文科数学参考答案
一、1~12:CDBBB 二、13、 三、 17、解:设 z ? a ? bi,(a, b ? R) ,而 z ? 1 ? 3i ? z, 即 a ? b ?1 ? 3i ? a ? bi ? 0
2 2

DBADB

BD 15、(-1 ? ,

2 5 5

14、 2 21

2 5 ) 16、 5

2 3

则?

? a 2 ? b 2 ? a ? 1 ? 0 ?a ? ?4 ? ?? , z ? ?4 ? 3i ?b ? 3 ?b ? 3 ? 0 ?

(1 ? i)2 (3 ? 4i)2 2i(?7 ? 24i) 24 ? 7i ? ? ? 3 ? 4i 2z 2(?4 ? 3i) 4?i
18、解: (1)如下图

7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 产量 3 4 5

(2)

i ?1

? x i y i =3 ? 2.5+4 ? 3+5 ? 4+6 ? 4.5=66.5

x=

3? 4?5?6 =4.5 4 2.5 ? 3 ? 4 ? 4.5 =3.5 y= 4
n 2

i ?1

? xi = 3 + 4 +5 + 6
2
2

能耗
n

2

2

=86

? 66.5 ? 4 ? 4.5 ? 3.5 ? 66.5 ? 63 ? 0.7 b? 86 ? 4 ? 4.52 86 ? 81

? ? a ? y ? bx ? 3.5 ? 0.7 ? 4.5 ? 0.35

5

故线性回归方程为 y=0.7x+0.35 (3)根据回归方程的预测,现在生产 100 吨产品消耗的标准煤的数量为 0.7 ? 100+0.35=70.35 故耗能减少了 90-70.35=19.65(吨)。 19、解: (1)根据列联表的数据,得到

n(ad-bc)2 k= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) = 1000× (360× 180-320× 140)2 ≈7.353>6.635 500× 500× 680× 320

所以可以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“吸烟与患慢性气管炎病有关”.

20 解:将方程



分别化为普通方程:



;圆心 C(

) ,半径为 ,圆心到直线的距

离 d= ,弦长为



21、证明:要证

,只需证:

,

只需证: 只需证: 只需证: ,而这是显然成立的,

所以

成立。

22、解: (1)因为 f ?(x) 解得 (2)由 或 。又 ,所以 ,解得

,所以 。 。列表如下:

x

0

(0, )



1

6

f ?(x)

2 递减

0

+ 递增

0 2

f(x)

所以函数 f(x)在区间[0,1]的最小值为



(3)因为函数 所以 当 。 时,

,所以

,所以



又因为

,所以

。故

,当且仅当 a=b=c= 时取等号。

7


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